ပေါင်းစပ်ဆွေးနွေးမှုမေးခွန်းများ၏ ဥပမာ
ပေါင်းစပ်မှုများသည် ဖြစ်နိုင်ခြေသီအိုရီနှင့် စာရင်းအင်းများတွင် အရေးကြီးသော အယူအဆတစ်ခုဖြစ်ပြီး အစီအစဉ်မပါဝင်ဘဲ အစုတစ်ခုမှ အရာဝတ္ထုများကို ရွေးချယ်ရန် နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို ရေတွက်နိုင်စေပါသည်။ ပေါင်းစပ်မှုများတွင် ရွေးချယ်မှုအစီအစဉ်သည် အဓိကကျသော permutations များနှင့်မတူဘဲ ရွေးချယ်မှုအစီအစဉ်သည် မပြောင်းလဲဘဲ ရှိနေပါသည်။ ပေါင်းစပ်မှုများကို ကွန်ပျူတာသိပ္ပံနှင့် ဇီဝဗေဒမှ စီးပွားရေးနှင့် သင်္ချာအထိ နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးတွင် အသုံးပြုကြသည်။ ဤဆောင်းပါးသည် ပေါင်းစပ်မှုများ၏ အခြေခံအယူအဆကို ရှင်းပြပြီး သင့်နားလည်မှုကို အထောက်အကူပြုရန် ဥပမာပြဿနာများနှင့် ဆွေးနွေးမှုများစွာကို ပေးပါမည်။
ပေါင်းစပ်မှု၏ အခြေခံသဘောတရား
ဥပမာပြဿနာများဆီ မသွားမီ၊ ပေါင်းစပ်မှုများအကြောင်း အခြေခံနားလည်မှုဖြင့် စတင်ကြပါစို့။
တစ်ချိန်တည်းတွင် \(r\) ယူထားသော \(n\) အရာဝတ္ထုများ၏ ပေါင်းစပ်မှုကို \(\binom{n}{r}\) သို့မဟုတ် \(\mathbf{C}(n, r)\) သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြပါသည်။ ပေါင်းစပ်မှုကို တွက်ချက်ရန် ဖော်မြူလာမှာ-
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \( n \) သည် ရရှိနိုင်သော အရာဝတ္ထု စုစုပေါင်း အရေအတွက် ဖြစ်သည်။
–\( r\) သည် ရွေးချယ်ရမည့် အရာဝတ္ထု အရေအတွက် ဖြစ်သည်။
– ! (factorial) သည် ဂဏန်းတစ်ခုကို ၎င်းအောက်ရှိ အပေါင်းဂဏန်းအားလုံးဖြင့် ၁ အထိ မြှောက်သည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။
နမူနာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်
ဥပမာမေးခွန်း ၁: ကျောင်းသားအဖွဲ့မှ အဖွဲ့တစ်ဖွဲ့ရွေးချယ်ခြင်း
မေးခွန်း:
အတန်းတစ်တန်းမှာ ကျောင်းသား ၁၀ ယောက်ရှိပါတယ်။ အတန်းထဲက ကျောင်းသား ၄ ယောက်ကို ပြိုင်ပွဲမှာ ပါဝင်ဖို့ နည်းလမ်းဘယ်နှစ်ခုနဲ့ ရွေးချယ်နိုင်မလဲ။
ဆွေးနွေးချက်:
ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
factorial တွက်ချက်ခြင်း-
– \( ၁၀! = ၁၀ \အမြှောက် ၉ \အမြှောက် ၈ \အမြှောက် ၇ \အမြှောက် ၆! \)
– \( ၄! = ၄ \x၃ \x၂ \x၁ = ၂၄ \)
– \( 6! \) သည် အပေါ်ဆုံးတွင် ရှိနှင့်ပြီးဖြစ်သောကြောင့် \(10!\) တွင် 6! ကို ပယ်ဖျက်နိုင်သည်။
ဒါကြောင့်:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
ဒါကြောင့် ကျောင်းသား ၁၀ ယောက်ထဲက ကျောင်းသား ၄ ယောက်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ၂၁၀ ရှိပါတယ်။
ဥပမာမေးခွန်း ၂: ကတ်အစုံများကို အသုံးပြု၍ ပေါင်းစပ်မှုများ
မေးခွန်း:
ကတ် ၅၂ ကတ်ပါ တစ်ထုပ်ထဲက ကတ် ၅ ကတ်ပါ ဖဲချပ်တစ်ချပ်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ဘယ်နှစ်ခုရှိလဲ။
ဆွေးနွေးချက်:
ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
factorial တွက်ချက်ခြင်း-
– \( ၅၂! = ၅၂ \ ၅၁ \ ၅၀ \ ၄၉ \ ၄၈ \ ၄၇! \)
– \( ၅! = ၅ \x၄ \x၃ \x၂ \x၁ = ၁၂၀ \)
– \( 47! \) သည် အပေါ်ဆုံးတွင် ရှိနှင့်ပြီးဖြစ်သောကြောင့် \(52!\) တွင် 47! ကို ပယ်ဖျက်နိုင်သည်။
ဒါကြောင့်:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \x51 \x50 \x49 \x48}{5 \x4 \x3 \x2 \x1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
ဒါကြောင့် ကတ် ၅၂ ကတ်ထဲက ကတ် ၅ ကတ်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ၂,၅၉၈,၉၆၀ ရှိပါတယ်။
ဥပမာမေးခွန်း ၃: အားကစားအသင်းရွေးချယ်မှုအတွက် ပေါင်းစပ်မှုများကို တွက်ချက်ခြင်း
မေးခွန်း:
ဘတ်စကက်ဘောအသင်းတစ်သင်းမှာ ကစားသမား ၁၅ ယောက်ပါဝင်ပါတယ်။ နည်းပြက ကစားသမား ၅ ယောက်ကို ပွဲထွက်ကစားသမားအဖြစ် ရွေးချယ်ချင်တယ်ဆိုရင် နည်းလမ်းဘယ်နှစ်ခုနဲ့ ရွေးချယ်နိုင်မလဲ။
ဆွေးနွေးချက်:
ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
factorial တွက်ချက်ခြင်း-
– \( ၅၂! = ၅၂ \ ၅၁ \ ၅၀ \ ၄၉ \ ၄၈ \ ၄၇! \)
– \( ၅! = ၅ \x၄ \x၃ \x၂ \x၁ = ၁၂၀ \)
– \( 10! \) သည် အပေါ်ဆုံးတွင် ရှိနှင့်ပြီးဖြစ်သောကြောင့် \(15!\) တွင် 10! ကို ပယ်ဖျက်နိုင်သည်။
ဒါကြောင့်:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \x14 \x13 \x12 \x11}{5 \x4 \x3 \x2 \x1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
ဒါကြောင့် ကစားသမား ၁၅ ယောက်ထဲက ကစားသမား ၅ ယောက်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ၃၀၀၃ ခု ရှိပါတယ်။
ဥပမာမေးခွန်း ၄: ဇီဝဗေဒတွင် ပေါင်းစပ်မှုများ
မေးခွန်း:
ဥယျာဉ်တစ်ခုတွင် ပန်းအမျိုးအစား ၈ မျိုးရှိသည်။ ပန်းစည်းပြုလုပ်ရန် ပန်းအမျိုးအစား ၃ မျိုးကိုရွေးချယ်နိုင်သည့် နည်းလမ်းမည်မျှရှိသနည်း။
ဆွေးနွေးချက်:
ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
factorial တွက်ချက်ခြင်း-
– \( ၈ ! = ၈ \x၇ \x၆ \x၅! \)
– \( ၃! = ၃ \၂ \၁ = ၆ \)
– \( 5! \) သည် အပေါ်ဆုံးတွင် ရှိနှင့်ပြီးဖြစ်သောကြောင့် \(8!\) တွင် 5! ကို ပယ်ဖျက်နိုင်သည်။
ဒါကြောင့်:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
ဒါကြောင့် ပန်းအမျိုးအစား ၈ မျိုးထဲက ပန်းအမျိုးအစား ၃ မျိုး ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ၅၆ ခု ရှိပါတယ်။
ဥပမာမေးခွန်း ၅: အဖွဲ့တည်ဆောက်ခြင်းတွင် ပေါင်းစပ်မှု
မေးခွန်း:
စာအုပ်စင်ပေါ်မှာ စာအုပ် ၁၂ အုပ်ရှိတယ်။ ၁၂ အုပ်ထဲက ၅ အုပ်ကို ဘယ်နှစ်နည်းနဲ့ ရွေးချယ်နိုင်မလဲ။
ဆွေးနွေးချက်:
ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
factorial တွက်ချက်ခြင်း-
– \( ၅၂! = ၅၂ \ ၅၁ \ ၅၀ \ ၄၉ \ ၄၈ \ ၄၇! \)
– \( ၅! = ၅ \x၄ \x၃ \x၂ \x၁ = ၁၂၀ \)
– \( 7! \) သည် အပေါ်ဆုံးတွင် ရှိနှင့်ပြီးဖြစ်သောကြောင့် \(12!\) တွင် 7! ကို ပယ်ဖျက်နိုင်သည်။
ဒါကြောင့်:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \x11 \x10 \x9 \x8}{5 \x4 \x3 \x2 \x1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
ဒါကြောင့် စာအုပ် ၁၂ အုပ်ထဲက စာအုပ် ၅ အုပ်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ၇၉၂ ခု ရှိပါတယ်။
နိဂုံး
ပေါင်းစပ်မှုများသည် အထူးသဖြင့် အစီအစဉ်မပါဝင်ဘဲ အရာဝတ္ထုများကို ရွေးချယ်ရန် နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို သိရန်လိုအပ်သည့်အခါတွင် နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးတွင် အလွန်အသုံးဝင်သော အယူအဆတစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေခံပေါင်းစပ်ပုံသေနည်း \(\binom{n}{r}\) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် factorial များ မည်သို့အလုပ်လုပ်သည်ကို ကျွန်ုပ်တို့ နားလည်သရွေ့ ၎င်းတို့ကို မြန်မြန်ဆန်ဆန်နှင့် အလွယ်တကူ တွက်ချက်နိုင်ပါသည်။ အထက်ပါ ဥပမာများမှတစ်ဆင့် ပေါင်းစပ်မှုများအကြောင်း ပိုမိုပြည့်စုံပြီး ရှင်းလင်းစွာ နားလည်နိုင်လိမ့်မည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။ သင့်နားလည်မှုကို ပိုမိုခိုင်မာစေရန်အတွက် ပြဿနာအမျိုးမျိုးဖြင့် ဆက်လက်လေ့ကျင့်ပါ။
