တန်ဂျင့်များနှင့် ကွန်နစ်အပိုင်းများ၏ ဥပမာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်
Pendahuluan
conic section ဆိုသည်မှာ dipolar cone နှင့် မျက်နှာပြင်ဆုံရာမှ ဖြစ်ပေါ်လာသော မျဉ်းကွေးတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤမျဉ်းကွေးများတွင် စက်ဝိုင်းများ၊ ဘဲဥပုံများ၊ parabolas များနှင့် hyperbolas များ ပါဝင်သည်။ conic sections များကို နားလည်ရာတွင် အရေးကြီးသော အကြောင်းအရာတစ်ခုမှာ tangent line ဖြစ်သည်။ conic section နှင့် tangent ဆိုသည်မှာ conic curve ကို တစ်နေရာတည်းတွင်သာ ထိသော မျဉ်းကွေးဖြစ်သည်။ ဤဆောင်းပါးသည် ဥပမာပြဿနာများစွာနှင့် conic sections များနှင့် tangents များအကြောင်း ဆွေးနွေးချက်ကို ဆွေးနွေးပါမည်။
စက်ဝိုင်းတစ်ခုနှင့် ထိတွေ့ခြင်း
စက်ဝိုင်းဆိုသည်မှာ အရိုးရှင်းဆုံးပုံသဏ္ဍာန်နှင့် ပြီးပြည့်စုံသော ဆ៊ီမက်တီရှိသည့် ကွန်ပိုင်းခြားပုံတစ်ခုဖြစ်သည်။ စက်ဝိုင်းနှင့် တန်းဂျင့်များဆိုင်ရာ ဥပမာပြဿနာတစ်ခုဖြင့် စတင်ကြပါစို့။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) ညီမျှခြင်းပါသော စက်ဝိုင်းတစ်ခုပေးထားသည်။ စက်ဝိုင်းပေါ်ရှိ \((5, -3)\) အမှတ်ရှိ တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
စက်ဝိုင်းတစ်ခု၏ အထွေထွေညီမျှခြင်းသည် \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) ဖြစ်ပြီး၊ \( (h, k) \) သည် စက်ဝိုင်း၏အလယ်ဗဟိုဖြစ်ပြီး \( r \) သည် အချင်းဝက်ဖြစ်သည်။ ဤပြဿနာတွင်၊ စက်ဝိုင်း၏အလယ်ဗဟိုသည် \((2, -3)\) ဖြစ်ပြီး အချင်းဝက်သည် \( r = \sqrt{25} = 5 \) ဖြစ်သည်။
စက်ဝိုင်းပေါ်ရှိ \((x_1, y_1)\) အမှတ်ရှိ တန်းဂျင့်မျဉ်းကို အောက်ပါဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍ ရှာဖွေနိုင်သည်။
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
သိထားသော တန်ဖိုးများကို ထည့်သွင်းပါ-
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ ၃(x – ၂) = ၂၅ \]
\[ ၃x – ၅ = ၀ \]
\[ ၃x = ၅ \]
\[ x = \frac{ 31}{ 3} \]
တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းသည် \(x = \frac{31}{3}\) ဖြစ်သော်လည်း ဤနည်းလမ်းတွင် အမှားတစ်ခုရှိသည်၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် \((5, -3)\) အမှတ်သည် စက်ဝိုင်းပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခုဖြစ်သည်မှာ ထင်ရှားသောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့်၊ ဤသတ်မှတ်ထားသောအမှတ်တွင် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ စောင်းကို အစားထိုးခြင်းဖြင့် ရိုးရာနည်းလမ်းကို အသုံးပြုပါသည်-
တန်းဂျင့်အမှတ်သည် \((5, -3)\) ဖြစ်သောကြောင့်၊ အချင်းဝက်မျဉ်း၏ gradient (m) သည် \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) ဖြစ်ကာ၊ တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ gradient သည် ရှေ့ရှိ ဒေါင်လိုက်တန်းဂျင့်အတွက် သတ်မှတ်မထားပါ။
ဘဲဥပုံနှင့် တန်ဂျင့်မျဉ်း
ဘဲဥပုံဆိုသည်မှာ အဓိက (ရှည်လျားသော) ဝင်ရိုးနှင့် မိုင်နာ (တိုသော) ဝင်ရိုးဟူ၍ ဆ៊ီမက်ထရီဝင်ရိုးနှစ်ခုရှိသည့် ကွန်ပိုင်းဖြတ်ပုံတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဘဲဥပုံများနှင့်ပတ်သက်သည့် ပြဿနာအချို့ကို ဤနေရာတွင် ဖော်ပြထားပါသည်။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) ညီမျှခြင်းပါရှိသော ဘဲဥပုံတစ်ခု ပေးထားပါ။ ဘဲဥပုံပေါ်ရှိ \((2, \frac{3}{2})\) အမှတ်ရှိ တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
\((x_1, y_1)\) အမှတ်ရှိ ဘဲဥပုံ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) နှင့် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ-
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 4\) နှင့် \(b = 3\) ဖြင့်၊ \(a\), \(b\) နှင့် အမှတ် \((2, \frac{3}{2})\ တို့၏ တန်ဖိုးများကို အစားထိုးပါ-
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
အပိုင်းအစများကို ဖယ်ရှားရန် ညီမျှခြင်းတစ်ခုလုံးကို ၈ ဖြင့် မြှောက်ပါ-
\[ x + 4y = 8 \]
ထို့ကြောင့် ဘဲဥပုံနှင့် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းသည် \( x + 4y = 8 \ ) ဖြစ်သည်။
တန်ဂျင့်မျဉ်းမှ ပါရာဘိုလာသို့
ပါရာဘိုလာဆိုသည်မှာ ဆ៊ီမေထရီဝင်ရိုးတစ်ခုနှင့် ထိပ်တစ်ခုပါသော ကွန်နစ်အပိုင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ပါရာဘိုလာများနှင့်ပတ်သက်သည့် ပြဿနာအချို့ကို ဥပမာအဖြစ် ဖော်ပြထားပါသည်။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
\( y^2 = 4x \ ညီမျှခြင်းပါရှိသော ပါရာဘိုလာတစ်ခုပေးထားသည်။ ပါရာဘိုလာပေါ်ရှိ \((1, 2)\) အမှတ်ရှိ တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
\((x_1, y_1)\) အမှတ်ရှိ ပါရာဘိုလာ \( y^2 = 4ax \) နှင့် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ -
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
ပါရာဘိုလာညီမျှခြင်း \( y^2 = 4x \) မှ၊ \( 4a = 4 \) ကို ရသည်၊ ထို့ကြောင့် \( a = 1 \) ဖြစ်သည်။ \( a \) နှင့် အမှတ် \((1, 2)\ တို့ကို အစားထိုးပါ။
\[ ၂y = ၂(၁)(x + ၁) \]
\[ ၂y = ၂x + ၂ \]
\[ y = x + 1 \]
ထို့ကြောင့် ပါရာဘိုလာနှင့် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းသည် \( y = x + 1 \ ) ဖြစ်သည်။
တန်ဂျင့်မျဉ်းမှ ဟိုက်ပါဘိုလာသို့
ဟိုက်ပါဘိုလာဆိုသည်မှာ အကိုင်းအခက်နှစ်ခုနှင့် အက်ဆမ်တိုတုတ်နှစ်ခုပါသည့် ကွန်ပိုင်းခြားပုံသဏ္ဍာန်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဟိုက်ပါဘိုလာများနှင့်ပတ်သက်သည့် ပြဿနာအချို့ကို ဥပမာအဖြစ် ဖော်ပြထားပါသည်။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
\( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) ညီမျှခြင်းပါရှိသော ဟိုက်ပါဘိုလာတစ်ခုကို ပေးထားသည်။ ဟိုက်ပါဘိုလာပေါ်ရှိ \((5, 0)\) အမှတ်ရှိ တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
\((x_1, y_1)\) အမှတ်ရှိ ဟိုက်ပါဘိုလာ \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) နှင့် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ -
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\( a = 5 \) နှင့် \( b = 4 \) ဖြင့်၊ \( a \), \( b \) နှင့် အမှတ် \((5, 0)\ တို့ကို အစားထိုးပါ-
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
ထို့ကြောင့် ဟိုက်ပါဘိုလာနှင့် တန်းဂျင့်မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းသည် \( x = 5 \) ဖြစ်သည်။
နိဂုံး
ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကြောင်းများနှင့် ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကြောင်းများသည် သင်္ချာနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုအမျိုးမျိုးတွင် အရေးပါသောအခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ စက်ဝိုင်း၊ ဘဲဥပုံ၊ ပါရာဘိုလာနှင့် ဟိုက်ပါဘိုလာကဲ့သို့သော ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကြောင်းအမျိုးမျိုးအတွက် ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကြောင်းများ၏ ညီမျှခြင်းများကို မည်သို့ရှာဖွေရမည်ကို နားလည်ခြင်းသည် ကဲကုလပ်စ်နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာဂျီသြမေတြီတွင် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော ကျွမ်းကျင်မှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ အထက်ဖော်ပြပါ ဥပမာများနှင့် ဆွေးနွေးချက်များဖြင့် စာဖတ်သူများသည် ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကြောင်းများနှင့် ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကြောင်းများကို ဆုံးဖြတ်ရန် အယူအဆများနှင့် နည်းလမ်းများကို ပိုမိုနားလည်လာလိမ့်မည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။
