ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှုလုပ်ဆောင်ချက်ကို ဆွေးနွေးသည့် ဥပမာမေးခွန်းများ
ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုဆိုသည်မှာ အောင်မြင်မှုနှင့် ကျရှုံးမှုဟူသော ရလဒ်နှစ်ခုပါဝင်သည့် လွတ်လပ်သော စမ်းသပ်မှုအများအပြားပါဝင်သော စမ်းသပ်မှုတစ်ခုတွင် အောင်မြင်မှုအရေအတွက်ကို ဖော်ပြသည့် သီးခြားဖြစ်နိုင်ခြေ ဖြန့်ဖြူးမှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီကို စမ်းသပ်မှုဟုခေါ်ပြီး ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုကို လွတ်လပ်သော စမ်းသပ်မှုအများအပြားတွင် အောင်မြင်မှုအရေအတွက် စိတ်ဝင်စားဖွယ်ကောင်းသော အခြေအနေများတွင် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဤဆောင်းပါးတွင် ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ အခြေခံသဘောတရားများကို ဆွေးနွေးပြီး ဥပမာများနှင့် ဖြေရှင်းချက်များကို ပေးပါမည်။
ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှုလုပ်ဆောင်ချက်၏ အခြေခံသဘောတရားများ
ဥပမာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်သို့ မဝင်ရောက်မီ၊ ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုနှင့် ဆက်စပ်သော အခြေခံသဘောတရားအချို့ကို ဆွေးနွေးကြပါစို့။
၁။ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်- ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှုကို 'n' လွတ်လပ်သောစမ်းသပ်မှုများတွင် အောင်မြင်မှုများ၏ပေါင်းလဒ်အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး၊ စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် ဖြစ်နိုင်ချေရှိသောရလဒ်နှစ်ခုရှိသည်- အောင်မြင်မှု (ဖြစ်နိုင်ခြေ p ဖြင့်) သို့မဟုတ် ကျရှုံးမှု (ဖြစ်နိုင်ခြေ q = 1 – p ဖြင့်)။
၂။ ဖြစ်နိုင်ခြေ လုပ်ဆောင်ချက်- ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဖြစ်နိုင်ခြေ လုပ်ဆောင်ချက်မှာ-
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ဘယ်နေရာ:
– \( P(X = k) \) သည် စမ်းသပ်မှု n ခုတွင် အောင်မြင်မှု k ခု ရရှိရန် ဖြစ်နိုင်ခြေဖြစ်သည်။
– \( \binom{n}{k} \) သည် n take k ၏ ပေါင်းစပ်မှုဖြစ်ပြီး၊ ၎င်းကို \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ဟု သတ်မှတ်ထားသည်။
– \( p \) သည် စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် အောင်မြင်မှုဖြစ်နိုင်ခြေဖြစ်သည်။
– \( (1-p) \) သည် စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် ကျရှုံးနိုင်ခြေဖြစ်သည်။
၃။ မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုးနှင့် ကွဲလွဲမှု-
– ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှု၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုး (ပျမ်းမျှ) မှာ \( \mu = np \) ဖြစ်သည်။
– ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှု၏ variance သည် \( \sigma^2 = np(1-p) \) ဖြစ်သည်။
ယခု၊ ပိုမိုနက်ရှိုင်းသော နားလည်မှုပေးစွမ်းနိုင်ရန် ဤသဘောတရားများကို ဥပမာပြဿနာတစ်ခုတွင် အသုံးချကြပါစို့။
ဥပမာမေးခွန်း ၁: ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှု၏ အခြေခံတွက်ချက်မှုများ
မေးခွန်း:
ကုမ္ပဏီတစ်ခုသည် အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီသည် အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှုကို အောင်မြင်နိုင်ခြေ ၀.၉၅ ဖြင့် အီလက်ထရွန်းနစ် အစိတ်အပိုင်းများကို ထုတ်လုပ်သည်။ အစိတ်အပိုင်း ၁၀ ခု ထုတ်လုပ်ပါက အစိတ်အပိုင်း ၈ ခုသာ အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှုကို အောင်မြင်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
ဒီပြဿနာကို ဖြေရှင်းဖို့ binomial distribution formula ကို အသုံးပြုနိုင်ပါတယ်။ ပထမဦးစွာ အောက်ပါ parameters တွေကို ဖော်ထုတ်ပါတယ်။
– \( n \) (စုစုပေါင်း စမ်းသပ်မှုအရေအတွက်) = ၁၀
– \( k \) (အောင်မြင်မှုအရေအတွက်) = ၈
– \( p \) (အောင်မြင်မှုဖြစ်နိုင်ခြေ) = 0.95
– \( q \) (ပျက်ကွက်နိုင်ခြေ) = 1 – 0.95 = 0.05
ထို့နောက် ဤတန်ဖိုးများကို binomial distribution formula ထဲသို့ အစားထိုးပါ။
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
ပထမဦးစွာ \( \binom{10}{8} \) ပေါင်းစပ်မှုကို တွက်ချက်ပါ-
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
ထို့နောက် \( (0.95)^8 \) နှင့် \( (0.05)^2 \) ဖြစ်နိုင်ခြေများကို တွက်ချက်ပါ-
\[
(၀.၉၅)^၈ \၀.၆၆၃၄ ခန့်
\]
\[
(၀.၀၅)^၂ = ၀.၀၀၂၅
\]
နောက်ဆုံးအနေနဲ့၊ အဲဒီတန်ဖိုးအားလုံးကို မြှောက်ပြီး ရလာတဲ့တန်ဖိုးတွေကို ရယူပါ-
\[
P(X = 8) = ၄၅ x ၀.၆၆၃၄ x ၀.၀၀၂၅ x ၀.၀၇၄၄ ခန့်
\]
ထို့ကြောင့် အစိတ်အပိုင်း ၁၀ ခုတွင် ၈ ခုသာ အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှုကို အောင်မြင်နိုင်ခြေမှာ ၀.၀၇၄၄ သို့မဟုတ် ၇.၄၄% ခန့်ဖြစ်သည်။
ဥပမာမေးခွန်း ၂: စုပေါင်းဖြစ်နိုင်ခြေ
မေးခွန်း:
ကုမ္ပဏီတစ်ခုတည်းမှာပဲ ရှိနေရင်တောင် အစိတ်အပိုင်း ၁၀ ခုမှာ အနည်းဆုံး ၉ ခု အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှု အောင်မြင်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
ဒီပြဿနာကို ဖြေရှင်းဖို့အတွက် cumulative probability ကို တွက်ချက်ဖို့ လိုအပ်ပါတယ်။ အစိတ်အပိုင်း ၁၀ ခုမှာ အနည်းဆုံး ၉ ခုက စမ်းသပ်မှုကို အောင်မြင်နိုင်ခြေဆိုတာက \( P(X \geq 9) \) ကို တွက်ချက်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်ပါတယ်။
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှုဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍-
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
ပထမဦးစွာ၊ ကိစ္စတစ်ခုစီအတွက် ပေါင်းစပ်မှုကို တွက်ချက်ပါ-
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
ထို့နောက် \(P(X = 9)\) နှင့် \(P(X = 10)\) အတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေများကို တွက်ချက်ပါ-
\[
P(X = 9) = 10 x (0.95)^9 x 0.05
\]
\[
(၀.၉၅)^၈ \၀.၆၆၃၄ ခန့်
\]
\[
P(X = 9) = ၄၅ x ၀.၆၆၃၄ x ၀.၀၀၂၅ x ၀.၀၇၄၄ ခန့်
\]
\[
P(X = 10) = 1 x (0.95)^{10} x 1 ၏ အဆ
\]
\[
(၀.၉၅)^{၁၀} \ခန့်မှန်းခြေ ၀.၅၉၈၇
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\( P(X \geq 9) \) အတွက် စုစုပေါင်းဖြစ်နိုင်ခြေ-
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \ခန့်မှန်းခြေ 0.9138
\]
ထို့ကြောင့် အစိတ်အပိုင်း ၁၀ ခုတွင် အနည်းဆုံး ၉ ခုသည် အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှုကို အောင်မြင်နိုင်ခြေမှာ ၀.၉၁၃၈ သို့မဟုတ် ၉၁.၃၈% ခန့်ဖြစ်သည်။
ဥပမာမေးခွန်း ၃: မျှော်မှန်းတန်ဖိုးနှင့် ကွဲလွဲမှု
မေးခွန်း:
ထုတ်လုပ်ထားသော အစိတ်အပိုင်း ၁၀ ခုမှ အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှုကို အောင်မြင်သော အစိတ်အပိုင်းအရေအတွက်၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးနှင့် ကွဲလွဲမှုကို 0.95 ဖြင့် တွက်ချက်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်
အောက်ပါဖော်မြူလာကိုသုံးပါ-
- မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုး (ပျမ်းမျှ) \( \mu = np \)
– ကွဲလွဲမှု \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\( n = 10 \) နှင့် \( p = 0.95 \) ဖြင့်-
\[
\mu = ၁၀ \x၀.၉၅ = ၉.၅
\]
\[
\sigma^2 = 10 x 0.95 x 0.05 = 0.475
\]
ထို့ကြောင့် အရည်အသွေးစစ်ဆေးမှုကို အောင်မြင်သော အစိတ်အပိုင်းအရေအတွက်၏ မျှော်မှန်းတန်ဖိုးမှာ 9.5 ဖြစ်ပြီး၊ ကွေကွင်းမှုမှာ 0.475 ဖြစ်သည်။
နိဂုံး
အထက်ဖော်ပြပါ ဥပမာပြဿနာသုံးခုမှတစ်ဆင့်၊ အခြေအနေအမျိုးမျိုးအတွက် ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုကို အသုံးပြု၍ ဖြစ်နိုင်ခြေကို မည်သို့တွက်ချက်ရမည်ကို ကျွန်ုပ်တို့ ဆွေးနွေးခဲ့ပြီးဖြစ်သည်- တိကျသော ဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်ခြင်း၊ စုပေါင်းဖြစ်နိုင်ခြေနှင့် မျှော်မှန်းထားသောတန်ဖိုးနှင့် ကွဲလွဲမှုကို တွက်ချက်ခြင်း။ ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုဆိုင်ရာ အသိပညာသည် ထုတ်လုပ်ရေး၊ ဆေးဘက်ဆိုင်ရာသုတေသနနှင့် လူမှုရေးစာရင်းအင်းများကဲ့သို့သော နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးတွင် အသုံးဝင်ပြီး ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော ရလဒ်နှစ်ခုဖြင့် ထပ်ခါတလဲလဲ စမ်းသပ်ချက်များ၏ ရလဒ်များကို ဆုံးဖြတ်ချက်ချရာတွင် အထောက်အကူဖြစ်စေရန် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်ပါသည်။ ပေးထားသော ဥပမာပြဿနာများနှင့် ဆွေးနွေးချက်များသည် ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုအကြောင်း သင့်နားလည်မှုကို ပိုမိုနားလည်စေရန် အထောက်အကူဖြစ်စေမည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။
