အခွင့်အလမ်းများ ဖြန့်ဖြူးခြင်းဆိုင်ရာ ဆွေးနွေးမှု မေးခွန်းတစ်ခု၏ ဥပမာ

ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှု၏ ဥပမာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်

ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုသည် စာရင်းအင်းနှင့် ဖြစ်နိုင်ခြေတွင် အခြေခံသဘောတရားများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ကျပန်းနံပါတ်တစ်ခု၏ ကွဲပြားသောတန်ဖိုးများ၏ ဖြစ်နိုင်ခြေကို နားလည်ရန် အသုံးပြုသည်။ ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနေသော အချက်အလက်၏ သဘောသဘာဝပေါ် မူတည်၍ ပုံစံအမျိုးမျိုးဖြင့် ရှိနိုင်သည်။ ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှု၏ အသုံးအများဆုံး အမျိုးအစားနှစ်မျိုးမှာ discrete နှင့် continuous တို့ဖြစ်သည်။ ဤဆောင်းပါးတွင်၊ ဤခေါင်းစဉ်ကို ပိုမိုနားလည်ရန် ဥပမာပြဿနာအချို့ကို ပြန်လည်သုံးသပ်ပြီး ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများကို ဆွေးနွေးပါမည်။

သီးခြားဖြန့်ဖြူးမှု

discrete distribution ဆိုသည်မှာ discrete random variable တစ်ခု၏ ဖြစ်နိုင်ခြေကို တွက်ချက်သည့် distribution တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဆိုလိုသည်မှာ အချို့သောတန်ဖိုးများကိုသာ လက်ခံနိုင်သည့် variable တစ်ခု ဖြစ်သည်။ discrete distribution များ၏ လူသိများသော ဥပမာများမှာ Binomial Distribution နှင့် Poisson Distribution တို့ဖြစ်သည်။

ဥပမာ ၁: ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှု
ဒွိနိုမီရယ် ဖြန့်ဖြူးမှုသည် ဘာနူးလီ စမ်းသပ်မှု စီးရီးတစ်ခုတွင် အောင်မြင်မှု အရေအတွက်ကို ဖော်ပြသည်။ ဘာနူးလီ စမ်းသပ်မှုတစ်ခုစီတွင် ရလဒ်နှစ်ခုရှိသည်- အောင်မြင်မှု သို့မဟုတ် ကျရှုံးမှု။ အောင်မြင်မှု ဖြစ်နိုင်ခြေသည် စမ်းသပ်မှုတစ်လျှောက်လုံးတွင် တသမတ်တည်း ရှိနေပါသည်။

မေးခွန်း:
ဆေးဝါးကုမ္ပဏီတစ်ခုသည် လူနာ ၁၀ ဦးတွင် ဆေးဝါးအသစ်တစ်မျိုးကို စမ်းသပ်နေပါသည်။ ဆေးဝါးသည် မည်သည့်လူနာတစ်ဦးတွင်မဆို အာနိသင်ပြနိုင်ခြေမှာ ၀.၇ ဖြစ်သည်။ ဆေးဝါးသည် လူနာ ၁၀ ဦးတွင် ၇ ဦးတွင် အာနိသင်ပြနိုင်ခြေကို တွက်ချက်ပါ။

ဆွေးနွေးချက်:
ကျပန်းကိန်းရှင် \(X\) သည် \(n = 10\) နှင့် \(p = 0.7\) တို့ဖြင့် ဒွိစုံဖြန့်ဖြူးမှုကို လိုက်နာသည်။ ဒွိစုံဖြစ်နိုင်ခြေ လုပ်ဆောင်ချက်မှာ-
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

\(k = 7\) အတွက်-
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

ဘိုင်နိုမီရယ် ကိန်း \(\binom{10}{7}\) တွက်ချက်ခြင်း-
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

ဖြစ်နိုင်ခြေတန်ဖိုးများကို တွက်ချက်ခြင်း-
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \ခန့်မှန်းခြေ ၁၂၀ \အဆ ၀.၀၈၂၃၅၄၃ \အဆ ၀.၀၂၇ \]
\[ P(X = 7) \approx 0.231 \]

ထို့ကြောင့် လူနာ ၁၀ ယောက်တွင် ၇ ယောက်တွင် ဆေးဝါးအာနိသင်ပြနိုင်ခြေမှာ ၀.၂၃၁ သို့မဟုတ် ၂၃.၁% ခန့်ဖြစ်သည်။

ဥပမာ ၂: Poisson ဖြန့်ဖြူးမှု
Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို ပေးထားသော အချိန် သို့မဟုတ် အာကာသအပိုင်းအခြားအတွင်း ရှားပါးဖြစ်ရပ်တစ်ခု ဖြစ်ပွားသည့်အရေအတွက်ကို မော်ဒယ်လုပ်ရန် အသုံးပြုသည်။

မေးခွန်း:
ဆိုင်တစ်ဆိုင်ဟာ တစ်နာရီကို ပျမ်းမျှအားဖြင့် ဖောက်သည် ၄ ​​ယောက် ရပါတယ်။ ဆိုင်တစ်ဆိုင်ဟာ တစ်နာရီအတွင်းမှာ ဖောက်သည် ၅ ယောက် အတိအကျ ရရှိနိုင်ခြေ ဘယ်လောက်ရှိပါသလဲ။

ဆွေးနွေးချက်:
ကျပန်းကိန်းရှင် \(X\) သည် \(\lambda = 4\) ကန့်သတ်ချက်ပါသော Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုကို လိုက်နာသည်။ Poisson ဖြစ်နိုင်ခြေ mass function မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်-
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

\(k = 5\) အတွက်-
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]

ရေတွက်ရန်:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx 0.156 \]

ဒါကြောင့် ဆိုင်တစ်ဆိုင်ဟာ တစ်နာရီအတွင်း ဖောက်သည် ၅ ယောက်တိတိ ရရှိနိုင်ခြေက ၀.၁၅၆ ဒါမှမဟုတ် ၁၅.၆% ခန့်ရှိပါတယ်။

စဉ်ဆက်မပြတ်ဖြန့်ဖြူးမှု

တိုင်းတာနေသော ကျပန်းကိန်းရှင်သည် သတ်မှတ်ထားသော အပိုင်းအခြားအတွင်းရှိ မည်သည့်တန်ဖိုးကိုမဆို ယူနိုင်သည့်အခါ စဉ်ဆက်မပြတ် ဖြန့်ဖြူးမှုများကို အသုံးပြုသည်။ စဉ်ဆက်မပြတ် ဖြန့်ဖြူးမှုများ၏ လူသိများသော ဥပမာများမှာ ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးမှုနှင့် အဆတိုး ဖြန့်ဖြူးမှုတို့ ဖြစ်သည်။

ဥပမာ ၃: ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးမှု
ပုံမှန်ဖြန့်ဖြူးမှုကို Gaussian Distribution ဟုခေါ်လေ့ရှိပြီး သိပ္ပံ၊ အင်ဂျင်နီယာနှင့် စီးပွားရေး အပါအဝင် နယ်ပယ်အမျိုးမျိုးတွင် အသုံးများသော ဖြန့်ဖြူးမှုတစ်ခုဖြစ်သည်။

မေးခွန်း:
မြို့တစ်မြို့ရှိ အရွယ်ရောက်ပြီးသော အမျိုးသားများ၏ အရပ်အမြင့်ကို ပျမ်းမျှ ၁၇၀ စင်တီမီတာနှင့် စံသွေဖည်မှု ၁၀ ​​စင်တီမီတာဖြင့် ပုံမှန်ဖြန့်ဝေထားသည်။ ကျပန်းရွေးချယ်ထားသော အမျိုးသားတစ်ဦးသည် ၁၆၀ စင်တီမီတာမှ ၁၈၀ စင်တီမီတာအကြား အရပ်ရှိနိုင်ခြေကား အဘယ်နည်း။

ဆွေးနွေးချက်:
၁၆၀ စင်တီမီတာ နှင့် ၁၈၀ စင်တီမီတာ အတွက် z-score ကို တွက်ချက်ရန် လိုအပ်ပါသည်။ z-score ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

\(X = 160\) အတွက်-
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]

\(X = 180\) အတွက်-
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]

အခု z ဇယားမှာ -1 မှ 1 အထိ ဖြစ်နိုင်ခြေတန်ဖိုးတွေကို ကြည့်ရပါမယ်။ z = -1 မှ z = 1 အထိ တန်ဖိုးက ခန့်မှန်းခြေအားဖြင့် 0.6826 ဖြစ်ပါတယ်။

ထို့ကြောင့် ကျပန်းရွေးချယ်ထားသော အမျိုးသားတစ်ဦးသည် ၁၆၀ စင်တီမီတာမှ ၁၈၀ စင်တီမီတာအကြား အရပ်ရှိနိုင်ခြေမှာ ၀.၆၈၂၆ သို့မဟုတ် ၆၈.၂၆% ခန့်ဖြစ်သည်။

ဥပမာ ၄: အဆပွားခြင်း ဖြန့်ဖြူးမှု
Poisson လုပ်ငန်းစဉ်တွင် အဖြစ်အပျက်များအကြား အချိန်ကို ပုံစံပြုရန်အတွက် Exponential Distribution ကို အသုံးပြုသည်။

မေးခွန်း:
ဆိုင်တစ်ဆိုင်ကို ဖောက်သည်နှစ်ယောက် ရောက်လာတဲ့အချိန်ကြားက ပျမ်းမျှအချိန် ၁၅ မိနစ်ပါ။ ဖောက်သည်နှစ်ယောက် ရောက်လာတဲ့အချိန်ကြားက ၁၀ မိနစ်ထက်နည်းနိုင်ခြေက ဘယ်လောက်လဲ။

ဆွေးနွေးချက်:
Exponential Distribution တွင် ပျမ်းမျှ (\(\mu\)) ၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော \(\lambda\) parameter တစ်ခုရှိသည်။ ပျမ်းမျှ ၁၅ မိနစ်ဖြင့်-
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]

အဆတိုးတိုးပွား ဖြန့်ဖြူးမှု လုပ်ဆောင်ချက်မှာ-
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]

\(x = 10\) အတွက်-
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \approx 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \approx 0.4866 \]

ထို့ကြောင့် ဖောက်သည်နှစ်ဦး ရောက်ရှိချိန် ၁၀ မိနစ်ထက်နည်းနိုင်ခြေမှာ ၀.၄၈၆၆ သို့မဟုတ် ၄၈.၆၆% ခန့်ဖြစ်သည်။

နိဂုံး

ဖြစ်နိုင်ခြေဖြန့်ဖြူးမှုများ၊ discrete နှင့် continuous နှစ်မျိုးလုံးသည် ကျပန်းကိန်းရှင်များ၏ အပြုအမူကို မော်ဒယ်လ်လုပ်ရန်နှင့် နားလည်ရန်အတွက် အလွန်အသုံးဝင်သော သဘောတရားများဖြစ်သည်။ binomial နှင့် Poisson ဖြန့်ဖြူးမှုများကို discrete variable များအတွက် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိပြီး normal နှင့် exponential ဖြန့်ဖြူးမှုများသည် continuous ဖြန့်ဖြူးမှုများ၏ ဥပမာများဖြစ်သည်။

အထက်ပါ ဥပမာများမှတစ်ဆင့်၊ ဖြစ်နိုင်ခြေ ဖြန့်ဖြူးမှုများတွင် ဖြစ်နိုင်ခြေများကို မည်သို့တွက်ချက်ပြီး အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရမည်ကို သင်ပိုမိုနားလည်လာမည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။ စဉ်ဆက်မပြတ်လေ့ကျင့်ခြင်းဖြင့်၊ ဖြစ်နိုင်ခြေ ဖြန့်ဖြူးမှုများကို နားလည်နိုင်စွမ်း တိုးတက်လာမည်ဖြစ်ပြီး ဘာသာရပ်အမျိုးမျိုးတွင် အသုံးချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။