ဂျီဩမေတြီစီးရီးများကို ဆွေးနွေးသည့် ဥပမာမေးခွန်းများ
ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်များသည် အထက်တန်းကျောင်းများတွင် မကြာခဏ သင်ကြားပေးလေ့ရှိသော သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အခြေခံသဘောတရားတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤအစီအစဥ်များတွင် ဂဏန်းအစုံတစ်ခုပါဝင်ပြီး ၎င်းတို့တစ်ခုစီသည် "အချိုး" ဟုလူသိများသော ကိန်းသေတစ်ခုဖြင့် ယခင်ဂဏန်း၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ဤဆောင်းပါးသည် စာဖတ်သူများအား ဤသဘောတရားကို ပိုမိုနားလည်စေရန် မျှော်လင့်ချက်ဖြင့် ဥပမာပြဿနာများနှင့် ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်များ၏ ဆွေးနွေးချက်များကို လွှမ်းခြုံပါမည်။
ဂျီဩမေတြီစီးရီးများကို နားလည်ခြင်း
ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်ဆိုသည်မှာ ပထမဂဏန်း (a) ကို ပုံသေအချိုး (r) ဖြင့် မြှောက်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ဂဏန်းအစီအစဥ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်၏ ယေဘုယျပုံစံမှာ-
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
ဒီမှာ:
- “a” သည် အစီအစဉ်၏ ပထမဆုံး အသုံးအနှုန်းဖြစ်သည်။
– “r” သည် ကိန်းတစ်ခုနှင့် ရှေ့ကိန်း၏ အချိုးဖြစ်သည်။
– “n” သည် အစီအစဥ်တွင် n ခုမြောက် ကိန်းဖြစ်သည်။
နမူနာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်
ဂျီဩမေတြီ အစီအစဉ်တွေအကြောင်း ပိုမိုနားလည်နိုင်ဖို့ ဥပမာပြဿနာအချို့ကို ဆွေးနွေးကြည့်ရအောင်။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
မေးခွန်း:
ပထမအသုံးအနှုန်း (a) သည် 3 ဖြစ်ပြီး အချိုး (r) သည် 2 ဖြစ်သော ဂျီဩမေတြီ အစီအစဉ်တစ်ခုကို ပေးထားသည်။ အောက်ပါတို့ကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
၁။ အစီအစဥ်၏ ၁၀ ခုမြောက် ကိန်း။
၂။ အစီအစဉ်၏ ပထမဆုံး ၆ ခု၏ ပေါင်းလဒ်။
ဆွေးနွေးချက်:
၁။ ၅ ခုမြောက် ကိန်းစု (U5) ကို ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်၏ n ခုမြောက် ကိန်းစုအတွက် ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ-
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
a = 3၊ r = 2 နှင့် n = 5 တို့ကို ဖော်မြူလာထဲသို့ အစားထိုးခြင်း-
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_၅ = ၃ \cdot ၁၆ \]
\[ U_၅ = ၄၈ \]
ဒါကြောင့် အစီအစဥ်ရဲ့ ၅ ခုမြောက် ကိန်းစုက ၄၈ ပါ။
၂။ ဂျီဩမေတြီ အစီအစဉ်၏ ပထမဆုံး ကိန်းရှင် ၆ ခု (S6) ၏ ပေါင်းလဒ်ကို ပထမဆုံး n ကိန်းရှင်များ၏ ပေါင်းလဒ်အတွက် ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ-
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
a = 3၊ r = 2 နှင့် n = 6 တို့ကို ဖော်မြူလာထဲသို့ အစားထိုးခြင်း-
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_၆ = ၃ \ဘယ်ဘက်( \frac{၆၄ – ၁}{၁} \ညာဘက်) \]
\[ S_၆ = ၃ \ဘယ်ဘက် ( ၆၃ \ညာဘက်) \]
\[ S_၆ = ၁၈၉ \]
ဒါကြောင့် အစီအစဉ်ရဲ့ ပထမဆုံး ၆ ခုရဲ့ ပေါင်းလဒ်က ၁၈၉ ပါ။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
မေးခွန်း:
ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်တွင် ၂၇ ၏ တတိယမြောက် အடைத்துနှင့် ၂၄၃ ၏ ပဉ္စမမြောက် အடுத்துရှိသည်။ ပထမ အடை (a) ၏ တန်ဖိုးနှင့် အချိုး (r) ကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်:
U3 = 27 နှင့် U5 = 243 ပေးထားသည်။ ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်၏ n ခုမြောက် ကိန်းအတွက် ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍-
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3 အတွက်-
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ ၂၇ = a \cdot r^2 \] \[ (၁) \]
U5 အတွက်-
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ ၂၇ = a \cdot r^4 \] \[ (၁) \]
a ကို ဖယ်ရှားရန် ညီမျှခြင်း (1) နှင့် (2) ကို နှိုင်းယှဉ်ခြင်း-
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a\cdot r^4}{a\cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ ၉ = r^၂ \]
\[ r = 3 \text{ သို့မဟုတ် } r = -3 \]
r ရဲ့တန်ဖိုးကို ညီမျှခြင်း (1) ထဲ အစားထိုးပါ-
\( r = 3 \) ဖြစ်ပါက-
\[ ၂၇ = a \cdot ၃^၂ \]
\[ ၂၇ = a \cdot ၉ \]
\[ a = 3 \]
\( r = -3 \) ဖြစ်ပါက-
\[ ၂၇ = a \cdot (-၃)^၂ \]
\[ ၂၇ = a \cdot ၉ \]
\[ a = 3 \]
ဒါကြောင့် ပထမ term (a) က 3 ဖြစ်ပြီး အချိုး (r) က 3 သို့မဟုတ် -3 ဖြစ်နိုင်ပါတယ်။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
မေးခွန်း:
ပထမကိန်း (a) သည် 8 ဖြစ်ပြီး အချိုး (r) သည် 1/2 ဖြစ်ပါက အောက်ပါ ဂျီဩမေတြီစီးရီး၏ အဆုံးမဲ့ပေါင်းလဒ်ကို ရှာပါ။
ဆွေးနွေးချက်:
ဂျီဩမေတြီစီးရီး၏ အဆုံးမဲ့ပေါင်းလဒ်ကို အောက်ပါဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်နိုင်သည်-
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
a = 8 နှင့် r = 1/2 ကို ဖော်မြူလာထဲသို့ အစားထိုးခြင်း-
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = ၈ \x၂ \]
\[ S_{\infty} = ၁၆ \]
ဒါကြောင့် ဂျီဩမေတြီစီးရီးရဲ့ အဆုံးမဲ့ပေါင်းလဒ်က ၁၆ ပါ။
ဥပမာမေးခွန်း ၉
မေးခွန်း:
ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်တွင် ၁၂ ၏ ဒုတိယမြောက် အစီအစဥ်နှင့် ၁၀၈ ၏ စတုတ္ထမြောက် အစီအစဥ်ရှိသည်။ အစီအစဥ်၏ အချိုးနှင့် ပထမအစီအစဥ်ကို ဆုံးဖြတ်ပါ။
ဆွေးနွေးချက်:
\( U_2 = 12 \) နှင့် \( U_4 = 108 \) ပေးထားသည် ။ ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်၏ n ခုမြောက် ကိန်းအတွက် ဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍
\( U_2 \ အတွက်):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\( U_4 \ အတွက်):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ ၂၇ = a \cdot r^3 \] \[ (၁) \]
a ကို ဖယ်ရှားရန် ညီမျှခြင်း (1) နှင့် (2) ကို နှိုင်းယှဉ်ခြင်း-
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ ၉ = r^၂ \]
\[ r = 3 \text{ သို့မဟုတ် } r = -3 \]
r ရဲ့တန်ဖိုးကို ညီမျှခြင်း (1) ထဲ အစားထိုးပါ-
\( r = 3 \) ဖြစ်ပါက-
\[ ၂၇ = a \cdot ၉ \]
\[ a = 4 \]
\( r = -3 \) ဖြစ်ပါက-
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
ဒါကြောင့် ပထမ term (a) က 4 ဒါမှမဟုတ် -4 ဖြစ်နိုင်ပြီး အချိုး (r) က 3 ဒါမှမဟုတ် -3 ဖြစ်နိုင်တယ်။
နိဂုံး
ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်များသည် နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် မကြာခဏ အသုံးပြုလေ့ရှိသော အရေးကြီးသော သင်္ချာဆိုင်ရာ အယူအဆတစ်ခုဖြစ်သည်။ အခြေခံများကို နားလည်ခြင်းနှင့် ပြဿနာဖြေရှင်းခြင်းစွမ်းရည်များကို လေ့ကျင့်ခြင်းဖြင့်၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် အယူအဆကို နားလည်ပြီး အသုံးချရာတွင် ပိုမိုကျွမ်းကျင်လာမည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။ ဤဆောင်းပါးတွင် စာဖတ်သူများ ဂျီဩမေတြီ အစီအစဥ်များကို ပိုမိုနက်ရှိုင်းစွာ လေ့လာနားလည်နိုင်စေရန်အတွက် ဥပမာပြဿနာများနှင့် ဆွေးနွေးချက်များစွာ ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် အထောက်အကူဖြစ်လိမ့်မည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။
