နေရာဖြည့်သွင်းခြင်းဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် နေရာလွတ်များဖြည့်ရန် စည်းမျဉ်းများ

နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများ၊ permutation နှင့် combination စည်းမျဉ်းများဟုလည်း လူသိများပြီး ဖြစ်နိုင်ခြေနှင့် စာရင်းအင်းပညာတွင် အခြေခံသဘောတရားများဖြစ်သည်။ ဤစည်းမျဉ်းများသည် အရာဝတ္ထုအစုအဝေးကို စီစဉ်ရန် သို့မဟုတ် ရွေးချယ်ရန် မတူညီသောနည်းလမ်းများစွာကို ရေတွက်နိုင်စေပါသည်။ ဤဆောင်းပါးတွင်၊ နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများ၏ အခြေခံသဘောတရားများ၊ အသုံးချမှုများနှင့် လက်တွေ့ကမ္ဘာဥပမာများကို ကျွန်ုပ်တို့ လေ့လာသွားပါမည်။

အခြေခံနားလည်မှု

သင်္ချာတွင်၊ နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများကို အစုတစ်ခုရှိ ဒြပ်စင်များကို စီစဉ်ရန် သို့မဟုတ် ရွေးချယ်ရန် မတူညီသော နည်းလမ်းများကို ရေတွက်ရန် အသုံးပြုသည်။ ဤစည်းမျဉ်းများတွင် အဓိကသဘောတရားနှစ်ခုရှိသည်- ပြောင်းလဲမှုများနှင့် ပေါင်းစပ်မှုများ။

ပြောင်းလဲမှု

permutation ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထုများကို သတ်မှတ်ထားသော အစီအစဉ်အတိုင်း ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းဖြစ်သည်။ permutation များတွင် အစီအစဉ်သည် အလွန်အရေးကြီးပါသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ အရာဝတ္ထု A၊ B နှင့် C သုံးခု၏ permutation သည်-

- ABC
– အေစီဘီ
- BAC
– ဘီစီအေ
- အငှားကား
– စီဘီအေ

အရာဝတ္ထု n ခုရှိရင် အရာဝတ္ထု n ခုရဲ့ permutation အရေအတွက်က n! ပါ။ factorial notation (n!) ဆိုတာက n အထိ အပေါင်းကိန်းပြည့်အားလုံးကို မြှောက်တာကို ဆိုလိုပါတယ်။ ဥပမာ၊ 3! = 3 × 2 × 1 = 6။

တစ်ကြိမ်လျှင် r ယူထားသော အရာဝတ္ထု n ခု၏ permutation ကို တွက်ချက်လိုပါက permutation ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုပါသည်။

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!} \]

Kombinasi

ပေါင်းစပ်မှုဆိုသည်မှာ အစီအစဉ်မပါဝင်ဘဲ အရာဝတ္ထုများကို ရွေးချယ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ တစ်ချိန်တည်းတွင် နှစ်ခုယူထားသော အရာဝတ္ထု A၊ B နှင့် C သုံးခုပေါင်းစပ်မှုဖြစ်သည်-

– အေဘီ
- AC
– ဘီစီ

တစ်ကြိမ်လျှင် r ယူထားသော အရာဝတ္ထု n ခု၏ ပေါင်းစပ်မှုအရေအတွက်ကို \( C(n, r) \) သို့မဟုတ် \( \binom{n}{r} \) ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ဖော်မြူလာဖြင့် တွက်ချက်သည်-

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \]

နေရာဖြည့်တင်းခြင်းဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ အကောင်အထည်ဖော်ခြင်း

နေရာလွတ်ဖြည့်စည်းမျဉ်းများသည် စာရင်းအင်း၊ ဖြစ်နိုင်ခြေ၊ ကွန်ပျူတာသိပ္ပံနှင့် သိပ္ပံနည်းကျသုတေသနကဲ့သို့သော နယ်ပယ်များတွင် လက်တွေ့အသုံးချမှုများစွာရှိသည်။

စာရင်းအင်းများတွင်

စာရင်းအင်းများတွင်၊ နေရာလွတ်ဖြည့်ခြင်းစည်းမျဉ်းများကို ဒေတာများကို စီစဉ်ရန် ဖြစ်နိုင်ချေရှိသော နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို တွက်ချက်ရန် အသုံးပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ စစ်တမ်းတစ်ခုတွင်၊ လူဦးရေတစ်ခုမှ နမူနာတစ်ခုကို မည်မျှနည်းလမ်းဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သည်ကို ကျွန်ုပ်တို့ သိလိုပေမည်။

ဖြစ်နိုင်ခြေတွင်

ဖြစ်နိုင်ခြေတွင်၊ နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများသည် ဖြစ်ရပ်တစ်ခုဖြစ်ပွားနိုင်ခြေကို တွက်ချက်ရန် ကူညီပေးသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ ဖဲချပ်ကစားနည်းတွင် ကတ်ပေါင်းစပ်မှုတစ်ခုရရှိရန် ဖြစ်နိုင်ခြေကို ကျွန်ုပ်တို့ တွက်ချက်နိုင်သည်။

ကွန်ပျူတာသိပ္ပံဘာသာရပ်တွင်

ကွန်ပျူတာသိပ္ပံတွင်၊ နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများကို အယ်လဂိုရီသမ်များနှင့် ဒေတာဖွဲ့စည်းပုံများတွင် အသုံးပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့်၊ ပရိုဂရမ်းမင်းတွင်၊ ဒေတာများကို စီရန် နည်းလမ်းအမျိုးမျိုး၏ အရေအတွက်ကို ကျွန်ုပ်တို့ သိလိုပေမည်။

နမူနာမေးခွန်းများနှင့် ဆွေးနွေးချက်

ပိုမိုနားလည်နိုင်ရန်အတွက် ဥပမာမေးခွန်းအချို့နှင့် ၎င်းတို့၏ဆွေးနွေးချက်များကို ကြည့်ကြပါစို့။

ဥပမာ ၁: ထပ်ခါတလဲလဲမပြုလုပ်ဘဲ ပြောင်းလဲမှု

“သင်္ချာ” ဆိုတဲ့ စကားလုံးကို ဘယ်နှစ်နည်းနဲ့ စီစဉ်နိုင်မလဲ။

"MATHEMICS" ဆိုတဲ့ စကားလုံးမှာ အက္ခရာ ၁၀ လုံးပါဝင်ပြီး တချို့ကတော့ ထပ်နေပါတယ်။ ဒီစကားလုံးရဲ့ လှည့်ပတ်ကိန်းစဉ်အရေအတွက်ကို တွက်ချက်ဖို့အတွက် ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုပါတယ်-

\[ \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!} \]

ဤတွင် \( n \) သည် စာလုံးအရေအတွက် စုစုပေါင်းဖြစ်ပြီး \( k_1, k_2, \ldots, k_m \) သည် စာလုံးတစ်လုံးချင်းစီ၏ ထပ်ခါတလဲလဲ ရေတွက်သည့် အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ “သင်္ချာ” ဟူသော စကားလုံးတွင်-

– M: ၂ ကြိမ်
– A: ၃ ကြိမ်
– တီ: ၂ ကြိမ်
– E: ၁ ကြိမ်
– ကျွန်ုပ်: ၁ ကြိမ်
– K: ၁ ကြိမ်

ဒါကြောင့်၊ permutation အရေအတွက်က -

\[ \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{3628800}{24} = 151200 \]

ဒါကြောင့် “သင်္ချာ” ဆိုတဲ့ စကားလုံးကို စီစဉ်ဖို့ နည်းလမ်း ၁၅၁၂၀၀ ရှိပါတယ်။

ဥပမာ ၂: ပေါင်းစပ်မှု

ကျောင်းသား ၅ ယောက်ထဲက ၃ ယောက်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်းဘယ်နှစ်ခုရှိလဲ။

ကျွန်ုပ်တို့သည် ပေါင်းစပ်ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုပါသည်-

\[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \]

n = 5 နှင့် r = 3 ဖြင့်-

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

ဒါကြောင့် ကျောင်းသား ၁၀ ယောက်ထဲက ကျောင်းသား ၄ ယောက်ကို ရွေးချယ်ဖို့ နည်းလမ်း ၂၁၀ ရှိပါတယ်။

ဥပမာ ၃: ထပ်ခါတလဲလဲပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ဇယားကွက်ပြောင်းလဲခြင်း

"BALLOON" ဆိုတဲ့ စကားလုံးကို O အက္ခရာ နှစ်ကြိမ်ပေါ်လာရင် ဘယ်နှစ်နည်းနဲ့ စီစဉ်နိုင်မလဲ။

“BALLOON” ဆိုတဲ့ စကားလုံးမှာ အက္ခရာ ၅ လုံးပါဝင်ပြီး အက္ခရာတစ်လုံး (O) ထပ်နေပါတယ်။ ကျွန်တော်တို့ ဖော်မြူလာကို အသုံးပြုပါတယ်-

\[ \frac{n!}{k!} \]

ဤတွင် n သည် စာလုံးအရေအတွက် စုစုပေါင်းဖြစ်ပြီး k သည် စာလုံးများ၏ ထပ်ခါတလဲလဲ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ “BALLOON” စကားလုံးတွင်-

– n = 5
– k = 2 (အက္ခရာ O)

ဒါကြောင့်၊ permutation အရေအတွက်က -

\[ \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]

ဒါကြောင့် “BALLOON” ဆိုတဲ့ စကားလုံးကို O အက္ခရာ နှစ်ကြိမ်ပေါ်လာအောင် စီစဉ်ဖို့ နည်းလမ်း ၆၀ ရှိပါတယ်။

နိဂုံး

နေရာဖြည့်စည်းမျဉ်းများသည် သင်္ချာတွင် အစုတစ်ခုအတွင်းရှိ အစိတ်အပိုင်းများကို စီစဉ်ရန် သို့မဟုတ် ရွေးချယ်ရန် နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးကို ရေတွက်ရန် အသုံးပြုသည့် အရေးကြီးသော အယူအဆတစ်ခုဖြစ်သည်။ ပြောင်းလဲမှုများနှင့် ပေါင်းစပ်မှုများကို နားလည်ခြင်းသည် ဖြစ်နိုင်ခြေ၊ စာရင်းအင်းနှင့် အခြားနယ်ပယ်များစွာတွင် ပြဿနာအမျိုးမျိုးကို ဖြေရှင်းနိုင်စေပါသည်။ ဤသဘောတရားများကို နားလည်ခြင်းနှင့် ကျွမ်းကျင်ခြင်းသည် ဘာသာရပ်အမျိုးမျိုးတွင် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော ပြဿနာများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ဖြေရှင်းခြင်းအတွက် အခွင့်အလမ်းများစွာကို ဖွင့်ပေးပါသည်။