एकक सदिश – समस्या आणि उपाय

एकक सदिश – समस्या आणि उपाय

१. एक वस्तू v = (2i − 1.5j) m/s या वेगाने गतिमान आहे. ४ सेकंदांनंतर त्या वस्तूचे विस्थापन किती असेल ?

ज्ञात :

वेगाचा क्षैतिज घटक (v _x ) = 2 m/s

वेगाचा उभा घटक (v _y ) = 1.5 m/s

वेळेचे अंतर (t) = १५ सेकंद

हवे आहे: विस्थापन

उपाय:

वेगाचा (v) परिणामी :

विस्थापन:

s = vt = (2.5 m/s)(4 s)

s = ५०४ मीटर

2. सदिश F ₁ = 14 N आणि F ₂ = 10 N. जर परिणामी सदिश R = i + j मध्ये दिला असेल तर तो निश्चित करा.

उपाय:

सदिशांचे घटक:

F _1x = (F ₁ )(cos 60 ^o ) = (14)(0.5) = -7 N (ऋणात्मक कारण हा वेक्टर घटक ऋण x अक्षाच्या दिशेने (डावीकडे) आहे)

F _1y = (F ₁ )(sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (धनात्मक कारण हा वेक्टर घटक धन y अक्षाच्या दिशेने (उजवीकडे) निर्देशित करतो)

F _2x = 10 N

F _2y = 0

परिणामी सदिशांचे घटक :

F _x = F _1x + F _2x + F _3x = -7 + 10 = 3 N

F _y = F _1y + F _2y + F _3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

एकक सदिशामधील परिणामी सदिश :

R = 3 i + 7√3 j

1. एकक सदिश म्हणजे काय? उत्तरएकक सदिश हा एक सदिश आहे ज्याचे परिमाण १ असते. तो सामान्यतः परिमाणाबद्दल कोणतीही माहिती न देता दिशा दर्शवतो.
2. सदिश गणित आणि भौतिकशास्त्रामध्ये एकक सदिश महत्त्वाचे का आहेत? उत्तरएकक सदिश आवश्यक आहेत कारण ते दिशांचे वर्णन करण्यासाठी एक प्रमाणित पद्धत प्रदान करतात. त्यांना एका विशिष्ट दिशेत इच्छित लांबीचा सदिश तयार करण्यासाठी परिमाणाने वाढवता येते.
3. दिलेल्या सदिशापासून एकक सदिश कसा मिळवायचा? उत्तरदिलेल्या सदिशाच्या दिशेतील एकक सदिश, त्या सदिशाला त्याच्या परिमाणाने भागून मिळवता येतो.
4. कार्टेशियन निर्देशांकांमधील मानक एकक सदिश कोणते आहेत आणि त्यांच्या दिशा काय असतात? उत्तरकार्टेशियन निर्देशांकांमधील मानक एकक सदिश हे आहेत i, jआणि k. i एक्स-अक्षाच्या दिशेने निर्देशित करतो, j वाय-अक्षाच्या दिशेने निर्देशित करतो, आणि k झेड-अक्षाच्या दिशेने निर्देशित करतो.
5. एका एकक सदिशाचे घटक 1 किंवा -1 व्यतिरिक्त असू शकतात का? उत्तरहोय. एकक सदिशाचे घटक त्याच्या दिशेवर अवलंबून असतात. फक्त एकक सदिशच निर्देशक अक्षांशी संरेखित असतात (जसे की i, j, k कार्टेशियन निर्देशांकांमध्ये) 1, -1, किंवा 0 चे घटक असतील.
6. दोन एकक सदिशांची बेरीज ही एकक सदिशच असेल असे नाही. उत्तरनाही. दोन एकक सदिशांची बेरीज सामान्यतः एकक सदिश नसते, जोपर्यंत ते दोन सदिश एकरेषीय आणि विरुद्ध दिशेचे नसतात.
7. वेगळ्या परिमाणाच्या पण त्याच दिशेच्या सदिशाला दर्शवण्यासाठी एका एकक सदिशाला प्रमाणबद्ध करता येते का? उत्तरहोय. एकक सदिशाला अदिशाने गुणल्यास त्याची दिशा तीच राहून त्याचे परिमाण बदलते.
8. दोन एकक सदिशांच्या सदिश गुणाकाराचे परिमाण काय असते? उत्तरदोन एकक सदिशांच्या सदिश गुणाकाराचे परिमाण हे त्यांच्यामधील कोनाच्या साइन इतके असते. जेव्हा सदिश एकमेकांना लंब असतात तेव्हा त्याचे कमाल मूल्य 1 असते आणि जेव्हा सदिश समांतर असतात तेव्हा त्याचे किमान मूल्य 0 असते.
9. दोन एकक सदिशांचा बिंदू गुणाकार त्यांच्यामधील कोनाचा कोसाइन का देतो? उत्तरदोन सदिशांच्या बिंदू गुणाकाराचे सूत्र त्यांच्या परिमाणांचा गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाचा कोसाइन असे असते. जेव्हा दोन्ही सदिश एकक सदिश असतात, तेव्हा त्यांचे परिमाण १ असते, त्यामुळे बिंदू गुणाकार सोपा होऊन फक्त कोनाचा कोसाइन बनतो.

10. एकक सदिशाची संकल्पना अ-कार्टेशियन निर्देशक प्रणालींमध्ये कशी विस्तारित केली जाते? उत्तर : अ-कार्टेशियन निर्देशक प्रणालींमध्ये, जसे की गोलाकार किंवा दंडगोलाकार निर्देशक प्रणालींमध्ये, प्रत्येक निर्देशक दिशेशी संबंधित वेगवेगळे एकक सदिश असतात. उदाहरणार्थ, गोलाकार निर्देशक प्रणालींमध्ये, एकक सदिश हे r (त्रिज्यीय दिशा), θ (ध्रुवीय कोन दिशा), आणि φ (अझिमथल दिशा) आहेत.