Exempla quaestionum de momento angulari

Septem Exempla Problematum Momenti Angularis

Momentum Angulare

1. Obiectum habet momentum inertiae 2 kg m² et circum axem fixum rotatur cum velocitas angularis 1 rad/s. Quantum? momentum angulare illud obiectum?
Disputatio
Constat:
Momentum inertiae (I) = 2 kg m²²
Velocitas angularis (ω) = 1 rad/s
Rogatus/a: Momentum angulare (L)
Responsum:
Formula momenti angularis:
L = Iω
Descriptio: L = momentum angulare (kg m²)²/s), I = momentum inertiae (kg m²), ω = velocitas angularis (rad/s)
Momentum angulare:
L = Iω = (2)(1) = 2 kg m²²/s

2. Trochlea discoidea solida massam 2 kg et radium 0,1 metrorum habet. Si trochlea circum axem suum cum velocitate angulari constanti 2 rad/secundo rotatur, quid est momentum angulare trochleae?
Disputatio
Constat:
Massa trochleae disci solidi (m) = 2 chiliogrammata
Radius trochleae disci solidi (r) = 0.1 metrum
Velocitas angularis (ω) = 2 radiani/secundum
Rogatus/a: Momentum angulare trochleae
Responsum:
Formula momenti inertiae disci solidi si circa axem rotatur ut in imagine monstratur:
I = 1/2 mr²
Descriptio: I = momentum inertiae (kg m²)²), m = massa (kg), r = radius (metra)
Momentum inertiae disci solidi:
I = 1/2 (2)(0,1)² = (1)(0,01) = 0,01 kg m²²

Momentum angulare:
L = Iω = (0,01)(2) = 0,02 kg m²²/s

3. Pila solida massa 2 kg et radio 0,2 metrorum circum axem suum velocitate angulari 4 rad/s rotatur. Determina momentum angulare pilae solidae!
Disputatio
Constat:
Massa pilae solidae (m) = 2 chiliogrammata
Radius sphaerae solidae (r) = 0,2 metra
Velocitas angularis (ω) = 4 radiani/secundum
Rogatus/a: Momentum angulare sphaerae solidae
Responsum:
Formula momenti inertiae pilae solidae si circa axem rotatur ut in imagine monstratur:
I = (2/5) dominus²
Descriptio: I = momentum inertiae (kg m²)²), m = massa (kg), r = radius (metra)
Momentum inertiae sphaerae solidae:
I = (2/5)(2)(0,2)² = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m²²

Momentum angulare sphaerae solidae:
L = Iω = (0,032)(4) = 0,128 kg m²²/s

4. Res massae 1 kg in circulo movetur velocitate angulari constanti 2 rad/s. Determina momentum angulare si radius viae particulae 10 cm est.
Disputatio
Constat:
Massa obiecti (m) = 1 chiliogrammata
Radius sphaerae solidae (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 metra
Velocitas angularis (ω) = 2 radiani/secundum
Rogatus/a: Momentum angulare
Responsum:
Formula momenti inertiae particulae:
Ego = Dominus² = (1)(0,1)² = (1)(0,01) = 0,01 kg m²²

Momentum angulare:
L = Iω = (0,01)(2) = 0,02 kg m²²/s

Lex conservationis momenti angularis

5. Discus cylindricus solidus homogeneus initialiter circum axem suum cum velocitate angulari 5 rad/s rotat. Planum disci parallelum est plano horizontali. Massa et radius disci sunt 2 kg et 0,2 metra. Si anulus cum massa 0,1 kg et radius 0,2 metrorum supra discum ponitur, ubi centrum anuli directe supra centrum disci est, tum discus et anulus simul rotabunt cum velocitate angulari...
Disputatio
Constat:
Massa cylindri solidi (m₁) = 2 chiliogrammata
Radius cylindri solidi (r₁) = 0,2 metra
Celeritas angularis cylindri solidi (ω₁) = 5 rad/s
Massa anularis (m₂) = 0,1 chiliogrammata
Radius anuli (r)₂) = 0,2 metra
Rogatus/a: Celeritas angularis cylindrorum et anulorum
Responsum:
Momentum inertiae cylindri solidi: I = 1⁄2 m₁ r₁² = 1⁄2 (2)(0,2)² = (1)(0,04) = 0,04 kg m²²
Momentum inertiae anuli: I = mr² = (0,1)(0,2)² = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m²²
Momentum inertiae cylindri solidi et anuli (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m²

Momentum angulare initiale (L₁) = Momentum angulare finale (L₂)
I₁ ω₁ et =₂ ω₂
(0,04)(5) = (0,044)(ω)₂)
(0,2) = (0,044)(ω)₂)
ω₂ = 0,2 : 0,044
ω₂ = 4,5 rad/s

6. Saltatrix classica bracchiis extensis ad longitudinem 150 cm et velocitate angulari 10 radianorum/secundum rotat. Deinde saltatrix bracchia sua ad longitudinem 75 cm ad cubitum complicat. Quae est velocitas angularis finalis?
Disputatio
Constat:
Radius 1 (r₁) = 150 cm = 1,5 metra
Radius 2 (r₂) = 75 cm = 0,75 metra
Velocitas angularis 1 (ω₁) = 10 rad/s
Rogatus/a: Velocitas angularis 2 (ω₂)
Responsum:
Momentum inertiae initiale: I₁ = Dominus₁² = (m)(1,5)² 2,25 = m,
Momentum inertiae ultimum: I₂ = Dominus₂² = (m)(0,75)² 0,5625 = m,

Momentum angulare initiale (L₁) = Momentum angulare finale (L₂)
I₁ ω₁ et =₂ ω₂
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω)₂)
22,5 m = (0,5625 m)(ω)₂)
22,5 = (0,5625)(ω)₂)
ω₂ = 22,5 / 0,5625
ω₂ = 40 rad/s

7. Discus cylindricus solidus homogeneus initialiter circa axem suum celeritate angulari 4 rad s rotatur.^-1Massa et radius disci sunt 1 kg et 0,5 m. Si anulus super discum ponitur, qui massam et radium 0,2 kg et 0,1 m habet, et centrum anuli exacte supra centrum disci cylindrici solidi est, tum discus cylindricus solidus et anulus simul rotabuntur cum celeritate angulari...
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s

Disputatio :

Momentum Inertiae cylindrus solidus: I = ½ mr² = ½ (1 kg)(0,5 m)² = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m²²
Momentum Inertiae anuli: I = mr² = (0,2 kg)(0,1 m)² = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m²²

Momentum Angulare Initiale (L₁) = Momentum Angulare Finale (L₂)

I₁ ω₁ et =₂ ω₂

(0,125 kg m²)²)(4 rad/s) = (0,125 kg m²)² + 0,002 kg m²)(ω₂)

(0,5) = (0,127)(ω)₂)

ω₂  = 0,5 : 0,127

ω₂  = 4 rad/s

Responsum rectum est D.