Momentum inertiae

Momentum Inertiae Materiae

Duo obiecta sunt, quorum unum parvam massam, alterum maiorem habet. Quod obiectum facilius movetur si eadem vi impellitur? Hoc demonstrat obiecta minore massa facilius moveri quam obiecta maiore massa. Ergo magnitudo massae obiecti magnitudinem accelerationis obiecti determinat si vis adhibeatur. Si in motu recto, massa obiecti determinat utrum obiectum facile an difficile moveatur (acceleratur), tum in motu rotatorio, momentum inertiae obiecti determinat utrum obiectum facile an difficile moveatur.

Particula
Considera particulam rotantem. Particulae cum massa m vis F datur ita ut circa axem rotationis O rotetur. Particula distantia r ab axe rotationis distat. Initio particula quiescit (v = 0). Postquam vi F mota est, particula certa celeritate rotatur ita ut accelerationem tangentialem (tan) habeat.
Relatio inter vim (F), massam (m), et accelerationem tangentialem (tan) particulae aequatione exprimitur:
Particula rotatur ita ut accelerationem angularem habeat. Relatio inter accelerationem tangentialem et accelerationem angularem aequatione exprimitur:
Substitue vel repone accelerationem tangentialem (tan) in aequatione 3 acceleratione tangentiali (tan) in aequatione 4.
Latera sinistra et dextra per r multiplicantur:
r F est momentum vis et mr² est momentum inertiae particulae I). Aequatio 5 relationem inter momentum vis, momentum inertiae et accelerationem angularem particulae rotantis indicat. Aequatio 5 est aequatio legis secundae Newtoni pro particula rotanti.
I est productum massae particulae (m) et quadrati distantiae particulae ab axe rotationis (r).²).
dictis:
I = momentum inertiae particulae, m = massa particulae, r = distantia inter particulam et axem rotationis
Aequatio 6 ad momentum inertiae particulae rotantis determinandum adhibetur.
Ut recensionem de momento inertiae particularum melius intellegere possis, quaeso... Exempla problematum momenti inertiae particularum stude.

Corpus rigidum homogeneum
Corpus rigidum ex multis particulis per corpus dispersis constat. Momentum corporis rigidi est summa omnium momentorum cuiusque particulae quae corpus rigidum constituit.
Ad determinandum I obiecti rigidi, obiectum dum rotatur spectatur, quia situs axis rotationis valorem momenti afficit. Praeterquam quod a situ axis rotationis pendet, I particulae etiam a massa particulae (m) et quadrato distantiae particulae ab axe rotationis (r) pendet.²Massa omnium particularum quae rem constituunt eadem est ac massa ipsius rei. Problema est quod distantia cuiusque particulae ab axe rotationis variat.
Considera derivationem formulae pro anulo tenui radii R et massae M. Si axis rotationis in centro anuli est, tum omnes particulae anulum constituentes distantiam r ab axe rotationis distant. I anuli tenuis aequalis est summae momentorum omnium particularum anulum constituentium.
Quaeque particula quae anulum tenuem constituit distantiam r ab axe rotationis habet, ita ut r₁ r =₂ r =₃ = r = R.
Formula pro anulo tenui:
I = MR²
dictis:
I = momentum inertiae anuli tenuis, M = massa anuli tenuis, R = radius anuli tenuis
Quid si axis rotationis non in centro anuli locatur? Si axis rotationis non in centro anuli locatur, formula anuli tenuis per methodum supra descriptam derivari non potest, quia distantia cuiusque particulae ab axe rotationis variat.

Formula pro corpore rigido homogeneo
Formulae sequentes pro pluribus corporibus rigidis homogeneis sunt.

Exempla problematum

1. Quaestiones Examinationis Nationalis anni 2017 pro Schola Superiore/Schola Superiore Professionali

Ad sequentem tabulam attende!

Obiecta P, Q, et R virga sine massa coniunguntur. Magnitudo momenti inertiae systematis circa axem perpendicularem plano per axem obiecti P est…

Disputatio

Notum est:

Quaesitum: Momentum inertiae systematis

Responsum:

Momentum inertiae obiecti Q:

IQ = mr² ₌ (0,5)(10² ^{) =} (0,5)(100) = 50 kg ^m²

Momentum inertiae obiecti R:

R ₌ mr² = (3)( ^{6² )} = (3)(36) = 108 kg ^m²

Momentum inertiae obiecti P:

Axis rotationis per axem obiecti P transit ita ut r = 0.

Momentum inertiae systematis:

I = 50 kg ^m² + 108 kg ^m²

I = 158 kg ^m²