일의 역학적 에너지 원리 – 문제점과 해결책

1. 2kg 상자가 10m/s²의 속도에서 정지할 때까지 감속합니다. 운동 마찰 계수는 0.2이고, 중력 가속도 는 10m/s²입니다 ^. 변위 의 크기는 얼마입니까?

알려진;

질량 (m) = 2 kg

초기 속도(vo ₎ = 10 m/s

최종 속도(v _t ) = 0 m/s

운동 마찰 계수( _μk ) = 0.2

무게 (w) = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 kg m/s² ⁼ 10 N

구하는 값: 변위의 크기(d)

솔루션 :

일의 역학적 에너지 원리 :

W _nc = ΔEM

W _nc = ΔEK + ΔEP

W _nc = ½ m (v _t ² – v _o ² ) + mgh

Wnc ₌ 물체에 작용하는 비 보존력 이 한 일

ΔEK = 운동 에너지 의 변화량

ΔEP = 위치 에너지 의 변화

m = 질량

v = 속도

g = 중력 가속도

h = 높이 변화량

높이 변화량 h = 0이므로 ΔEP = 0

W _nc = ΔEK

비보존력에 의한 일:

W _nc = -F _c d = – μ _k N d = – μ _k wd = – μ _k mgd

W _nc = -(0.2)(2)(10)(s)

W _nc = – (4)(2)

마이너스 부호는 운동 마찰력의 방향이 변위 방향과 반대임을 나타냅니다.

운동 에너지의 변화량:

ΔEK = ½ m (v _t ² – v _o ² ) = ½ (2)(0 – 10 ² ) = 0 – 100 = -100

변위의 크기:

W _nc = ΔEK

– 4초 = – 100

s = -100/-4

s = 25m

[아이알피]

2. 블록이 경사면을 따라 미끄러져 내려갑니다. 운동 마찰 계수는 0.4이고, 중력 가속도는 g = 10 m/ ^s² 입니다 . 블록이 지면에 닿을 때의 최종 속도를 구하세요.

알려진 바에 따르면:

초기 높이(h _o ) = 6m

최종 높이(h _t ) = 0m

초기 속도(vo ₎ = 0

운동 마찰 계수( _μk ) = 0.4

중력 가속도(g) = 10 ^ms⁻²

cos θ = 8/10

무게의 수직 성분 = w _y = w cos θ = mg cos θ = m (10) (8/10) = m (10)(4/5) = m (40/5) = 8 m

수직항력 = N = w _y = 8 m

운동 마찰력 = f _k = μ _k N = μ _k w _y = (0.4)(8 m) = 3.2 m

구하는 값: 최종 속도(v _t )

솔루션 :

일의 역학적 에너지 원리:

W _nc = Δ EM

W _nc = Δ EK + Δ EP

운동 에너지의 변화량:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - V_o²) = 1/2 m (v_t² - 0) = 1/2 mv_t²

위치 에너지의 변화량:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-6) = m (10)(-6) = – 60 m

운동 마찰력에 의해 수행된 일:

W _nc = – f _k s = – ( 3.2 m)(10) = – 32 m

마이너스 부호는 운동 마찰력의 방향이 변위 방향과 반대임을 나타냅니다.

최종 속도(v _t ):

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 32m = 1/2mv _t ² – 60m

– 32 m = m (1/2 v _t ² – 60)

– 32 = 1/2 v _t ² – 60

– 32 + 60 = 1/2 v _t ²

28 = 1/2 v _t ²

2 (28) = v _t ²

56 = v _t ²

v _t = √4.14

v _t = 2 √14 ms ^-1

[아이알피]

3. 어떤 물체가 거친 경사면을 따라 미끄러져 내려갑니다. 초기 속도는 0 m/s이고 최종 속도는 10 m/ ^s 입니다 . 운동 마찰력이 2 N이고 중력 가속도 g = 10 m/ ^s² 일 때 , 높이(h)는 얼마입니까?

알려진 바에 따르면:

질량(m) = 1 kg

초기 속도(vo ₎ = 0 (블록 정지)

최종 속도(v _t ) = 10 ms ^-1

초기 높이(h _o ) = h

최종 높이(h _t ) = 0

운동 마찰력(fk ₎ = 2N

중력 가속도(g) = 10 ^ms⁻²

구하는 키 (h)

솔루션 :

운동 마찰력이 한 일:

W _nc = – f _k s = – (2 )(15) = – 30

마이너스 부호는 운동 마찰력의 방향이 변위 방향과 반대임을 나타냅니다.

운동 에너지의 변화량:

ΔEK = 1/2 m (v_t² - V_o²) = 1/2 (1)(10² - 0) = 1/2 (10²) = 1/2 (100) = 50

위치 에너지의 변화량:

Δ EP = mg (h _t – h _o ) = (1)(10)(0-h) = (10)(-h) = -10 h

일의 역학적 에너지 원리:

W _nc = Δ EK + Δ EP

– 30 = 50 – 10시간

10시간 = 50 + 30

10시간 = 80

h = 80/10

h = 8m

4만약 어떤 물체가 대략 경사진 면을 따라 내려간다면…
A. 중력이 블록에 한 일은 블록의 위치 에너지 변화량보다 크다.
B. 역학적 에너지가 증가합니다.
C. 운동 에너지와 위치 에너지의 양이 감소합니다.
D. 마찰력이 한 일은 블록의 운동 에너지 변화량과 같습니다.
해법

A는 틀렸습니다

중력이 블록에 한 일은 블록의 중력 위치 에너지 변화량과 같습니다.

B는 틀렸습니다.

경사면이 매끄러우면 물체의 역학적 에너지는 일정합니다. 경사면 꼭대기에 도달하여 아직 움직이지 않을 때, 물체의 역학적 에너지는 중력 위치 에너지와 같습니다. 물체는 정지 상태이므로 운동 에너지는 0입니다. 경사면을 따라 내려갈 때, 물체의 높이가 줄어들기 때문에 중력 위치 에너지도 줄어듭니다. 중력 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌면서 감소하는 것입니다. 중력 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌더라도 역학적 에너지는 일정합니다.

경사면이 거칠면 마찰력이 한 일의 양이 줄어들어 물체의 역학적 에너지가 감소합니다. 마찰력은 비보존력입니다. 비보존력이 물체에 한 일은 물체의 역학적 에너지를 감소시키는 원인이 됩니다.

C가 정답입니다.

경사면이 거칠기 때문에 블록의 운동을 방해하는 마찰력이 발생합니다. 마찰력은 비보존력입니다. 일-역학적 에너지 정리에 따르면 비보존력(예: 마찰력)이 한 일은 역학적 에너지의 변화량과 같습니다. 따라서 역학적 에너지는 감소합니다.

블록의 역학적 에너지 = 중력 위치 에너지 + 운동 에너지.

D는 틀렸습니다.

마찰력이 블록에 한 일은 블록의 운동 에너지 변화량이 아니라 역학적 에너지 변화량과 같습니다. 마찰력이 블록의 운동을 방해하므로 블록의 속도를 감소시키고 운동 에너지를 감소시키는 것은 맞습니다. 하지만 블록의 운동 에너지는 중력 위치 에너지에서 비롯된다는 점을 명심해야 합니다. 따라서 마찰력이 한 일은 역학적 에너지 변화량(역학적 에너지 감소)과 같다는 것이 맞는 말입니다.

정답은 C입니다.

5. 거친 바닥 위에 있는 물체가 충격을 받아 3초 동안 움직이다가 멈춥니다. 물체의 질량이 10그램이고 물체와 바닥 사이의 마찰력이 2킬로다인일 때, 마찰력이 한 일을 구하세요.

A. 0.18 J

B. -0.18 J

C. 0.36 J

D. -0.36 J

알려진 바에 따르면:

시간 간격(t) = 3초

최종 속도(v _t ) = 0 m/s (물체가 정지함)

물체의 질량(m) = 10그램 = 10/1000kg = 1/100kg = 0.01kg

마찰력(F) = 2킬로다인 = 2 x 10 ³ 다인

구하는 것: 마찰력이 한 일(W)

솔루션 :

힘의 단위 변환:

1 뉴턴 = 1 x ^10⁵ 다인

1 다인 = 1 / 10⁵ ^뉴턴 = 1 x 10⁻⁵ ^뉴턴 = ^10⁻⁵ 뉴턴

마찰력(F) = 2 x 10³ ^다인 = 2 x 10³ ^x 10⁻⁵ ^뉴턴 = 2 x 10⁻² ^뉴턴 = 2/100 뉴턴 = 0.02 뉴턴

일-역학적 에너지 정리 는 비보존력이 물체에 작용하여 하는 일은 물체의 역학적 에너지 변화량과 같다는 것을 나타냅니다.

물체가 경사면에서 움직일 때 역학적 에너지(ME)는 중력 위치 에너지(PE)와 운동 에너지(KE)의 합입니다. 하지만 물체가 수평면에서 움직일 때는 높이 변화가 없으므로 역학적 에너지와 운동 에너지가 같습니다. 수평면에서는 높이 변화가 없기 때문에 중력 위치 에너지는 0입니다.

마찰력은 비보존력입니다. 마찰력은 일반적으로 물체의 속도와 운동 에너지를 감소시킵니다. 따라서 마찰력이 물체에 한 일은 운동 에너지 감소량과 같다고 결론지을 수 있습니다.

수학적으로:

일(W) = 역학적 에너지의 변화량(ΔEM)

F s = ΔEP + ΔEK

F s = mg Δh + ½ m (v _t ² – v _o ² )

F s = mg (0) + ½ m (0 ² – v _o ² )

F s = 0 + ½ m (– (v _o ² ))

F s = – ½ mv _o ² ———— 방정식 1

설명: F = 마찰력, d = 변위, m = 질량, v₀ ₌ 초기 속도

변위(d)와 초기 속도(vo ₎ 는 아직 알 수 없습니다. 먼저 vo 또는 d를 계산해야 하기 때문입니다 _. 마찰력이 한 일은 vo 또는 d를 알게 된 후 방정식 중 하나를 사용하여 계산 _합니다.

비균일 선형 운동에서의 변위(d) 방정식:

v _t ² = v _o ² + 2 (-a) s

최종 속도(v_t ₎ 는 0이고 가속도(a)는 물체가 감속(물체의 속도가 감소)되므로 음수 부호를 갖습니다.

0 = 브이_o² – 광고 2개

v_o² = 2 광고

d = v _o ² / 2 a ———— 방정식 2

방정식 2의 d를 방정식 1의 d로 바꾸세요.

F d = – ½ mv _o ²

F (v _o ² /2a) = – ½ mv _o ²

(F/2a) v _o ² = – ½ mv _o ²

F/2a = – ½ m

F = (2)(a)(-1/2)(m)

F = – (a)(m)

a = – (F / m)

a = – 0.02 뉴턴 / 0.01 킬로그램

a = – 2 뉴턴/킬로그램

a = – 2 m/ ^s²

비균일 선형 운동에서 초기 속도(vo)를 계산하는 방정식 _:

v _t = v _o + at —–> 최종 속도(v _t ) = 0, 가속도(a) = 2 m/s² ^, 시간 간격(t) = 3초

0 = v _o + (-2)(3)

0 = v _o – 6

v _o = 6미터/초

마찰력이 한 일(W):

W = – ½mv _o ² = -1/2 (0.01)(6 ² ) = -1/2 (0.01)(36)

W = -1/2 (0.36)

W = – 0.18 줄

마찰력이 한 일은 음수 부호를 가지므로, 이 일은 물체의 역학적 에너지를 감소시킵니다.

일의 양 d를 알면 W = F d라는 공식을 사용하여 일의 양을 계산할 수 있습니다.

정답은 B입니다.

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