មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ
ប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិ គឺជាវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រពីរដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីភាពមិនប្រាកដប្រជា និងការធ្វើការសម្រេចចិត្តដោយផ្អែកលើទិន្នន័យ។ ក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ យើងតែងតែជួបប្រទះសំណួរដូចជា "តើឱកាសនៃភ្លៀងនៅថ្ងៃនេះជាអ្វី?" "តើថ្នាំមានប្រសិទ្ធភាពទេ?" ឬ "តើយុទ្ធសាស្ត្រទីផ្សារនឹងបង្កើនការលក់ដែរឬទេ?"។ ប្រូបាប៊ីលីតេផ្តល់នូវក្របខ័ណ្ឌគណិតវិទ្យាសម្រាប់វាស់ស្ទង់លទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ខណៈពេលដែលស្ថិតិជួយយើងដំណើរការទិន្នន័យ ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន និងធ្វើការព្យាករណ៍។ អត្ថបទនេះពិភាក្សាអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ ដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគទិន្នន័យទំនើប។
១. ការយល់ដឹងអំពីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិ
ប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង។ ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ និងវាស់ស្ទង់ភាពមិនប្រាកដប្រជាជាបរិមាណ។ តម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេមានចាប់ពី 0 ដល់ 1។ តម្លៃ 0 បង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួច ខណៈពេលដែលតម្លៃ 1 បង្ហាញពីភាពប្រាកដប្រជា។
ស្ថិតិគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាពីរបៀបប្រមូល រៀបចំ វិភាគ និងបកស្រាយទិន្នន័យ។ ស្ថិតិត្រូវបានបែងចែកជាពីរផ្នែកសំខាន់ៗ៖
១. ស្ថិតិពិពណ៌នា ពោលគឺវិធីសាស្រ្តសម្រាប់សង្ខេប និងពិពណ៌នាអំពីទិន្នន័យ (ឧទាហរណ៍ មធ្យមភាគ មេឌីយ៉ាន ក្រាហ្វ)។
២. ស្ថិតិសន្និដ្ឋាន ពោលគឺវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីចំនួនប្រជាជនដោយផ្អែកលើគំរូ (ឧទាហរណ៍ ការប៉ាន់ស្មាន ការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្ម)។
ទាំងពីរនេះមានទំនាក់ទំនងគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេច្រើនតែបម្រើជាមូលដ្ឋានទ្រឹស្តីសម្រាប់ស្ថិតិសន្និដ្ឋាន ពីព្រោះនៅពេលដែលយើងយកសំណាកពីចំនួនប្រជាជន លទ្ធផលគឺចៃដន្យ ហើយអាចត្រូវបានវិភាគដោយប្រើគោលគំនិតប្រូបាប៊ីលីតេ។
២. គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន៖ ការពិសោធន៍ លំហគំរូ និងព្រឹត្តិការណ៍
ទាក់ទងនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ជំហានដំបូងគឺត្រូវកំណត់ការពិសោធន៍ចៃដន្យ ដែលជាដំណើរការដែលមិនអាចទស្សន៍ទាយលទ្ធផលជាមុនបាន។ ឧទាហរណ៍រួមមាន ការបោះកាក់ ការរមៀលគ្រាប់ឡុកឡាក់ ឬការជ្រើសរើសមនុស្សម្នាក់ដោយចៃដន្យពីក្រុម។
លទ្ធផលដែលអាចកើតមាននៃការពិសោធន៍ចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាលំហសំណាក ហើយជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយ \(S\) ឬ \(\Omega\)។ ឧទាហរណ៍៖
– បោះកាក់៖ \( S = \{រូបភាព, លេខ\} \)
– រមៀលគ្រាប់ឡុកឡាក់៖ \( S = \{1,2,3,4,5,6\} \)
ព្រឹត្តិការណ៍គឺជាសំណុំរងនៃលំហគំរូ។ ឧទាហរណ៍៖
– ព្រឹត្តិការណ៍នៃការទទួលបានចំនួនគូ៖ \( A = \{2,4,6\} \)
– ព្រឹត្តិការណ៍ដែលទទួលបានចំនួនធំជាង 4៖ \( B = \{5,6\} \)
៣. ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃប្រូបាប៊ីលីតេ
ប្រសិនបើលទ្ធផលទាំងអស់នៅក្នុងលំហគំរូមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា (សមមូល) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) អាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖
\[
P(A) = \frac{\text{ចំនួនលទ្ធផលដែលគាំទ្រ} A}{\text{ចំនួនលទ្ធផលទាំងអស់នៅក្នុង} S}
\]
ឧទាហរណ៍៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានលេខគូនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់៖
\[
P(A) = \frac{3}{6} = 0,5
\]
ច្បាប់សំខាន់ៗមួយចំនួន៖
១. ដែនកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ៖
\[
០ \le P(A) \le ១
\]
២. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបំពេញបន្ថែម (ព្រឹត្តិការណ៍មិនកើតឡើង)៖
\[
P(A^c)=1-P(A)
\]
៣. ច្បាប់បូកសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ៖
– ប្រសិនបើ \( A \) និង \( B \) មិនរាប់បញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក (មិនអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាបានទេ):
\[
P(A \ ពែង B) = P(A) + P(B)
\]
- ប្រសិនបើមិនផ្តាច់ចេញពីគ្នា៖
\[
P(A \ ពែង B)=P(A) + P(B) - P(A \ ពែង B)
\]
៤. ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ និងឯករាជ្យភាព
ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ \(A\) នឹងកើតឡើង ដោយផ្តល់ថាព្រឹត្តិការណ៍ \(B\) បានកើតឡើងរួចហើយ។ សរសេរថា៖
\[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
ជាមួយ \( P(B) \ne 0 \)។
គោលគំនិតនេះមានសារៈសំខាន់នៅក្នុងវិស័យជាច្រើន ដូចជាការធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យជំងឺដោយផ្អែកលើលទ្ធផលតេស្ត។ ប្រសិនបើយើងដឹងថានរណាម្នាក់មានរោគសញ្ញាជាក់លាក់រួចហើយ ឱកាសនៃការត្រូវបានគេធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យថាមានជំងឺអាចផ្លាស់ប្តូរ។
ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ \(A\) និង \(B\) ត្រូវបានគេនិយាយថាឯករាជ្យ ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃ \(A\) មិនប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃ \(B\)។ តាមគណិតវិទ្យា៖
\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\]
ឬស្មើនឹង៖
\[
ភី(ក|ខ)=ភី(ក)
\]
៥. អថេរចៃដន្យ និងការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ
នៅក្នុងស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ យើងតែងតែប្រើអថេរចៃដន្យ ដែលជាអនុគមន៍ដែលភ្ជាប់លទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ចៃដន្យទៅនឹងលេខ។ អថេរចៃដន្យត្រូវបានបែងចែកជា៖
១. ដាច់ពីគ្នា៖ តម្លៃអាចរាប់បាន (ឧទាហរណ៍ ចំនួនកូនក្នុងគ្រួសារ)។
២. បន្ត៖ តម្លៃអាចស្ថិតនៅក្នុងជួរមួយ (ឧ. កម្ពស់ ពេលវេលារង់ចាំ)។
ចំពោះអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា យើងដឹងអនុគមន៍ម៉ាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ (PMF) ចំណែកឯចំពោះអថេរបន្ត យើងដឹងអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ (PDF)។
ឧទាហរណ៍នៃការចែកចាយដាច់ពីគ្នាសំខាន់ៗ៖
– ការចែកចាយ Bernoulli៖ មានតែលទ្ធផលពីរប៉ុណ្ណោះ គឺជោគជ័យ (1) និងបរាជ័យ (0)។
– ការចែកចាយប៊ីណូមាល់៖ ចំនួនជោគជ័យពីការសាកល្បង \(n\) Bernoulli។
– ការចែកចាយ Poisson៖ គណនាចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ក្នុងចន្លោះពេល/លំហជាក់លាក់មួយ។
ឧទាហរណ៍នៃការចែកចាយជាបន្តបន្ទាប់៖
– ការចែកចាយធម្មតា៖ ការចែកចាយ "កណ្ដឹង" ដែលជារឿយៗលេចឡើងនៅក្នុងបាតុភូតធម្មជាតិ និងសង្គម។
– ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ជារឿយៗត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូពេលវេលារវាងព្រឹត្តិការណ៍នានា ដូចជាពេលវេលារវាងការមកដល់របស់អតិថិជន។
៦. វិធានការនៃការធ្វើមជ្ឈការ និងការបែកខ្ញែក
ស្ថិតិពិពណ៌នាតម្រូវឱ្យមានវិធានការដែលសង្ខេបទិន្នន័យ។
វិធានការធ្វើមជ្ឈការ៖
– មធ្យមភាគ (មធ្យមភាគ)៖ ផលបូកនៃទិន្នន័យចែកនឹងចំនួនទិន្នន័យ។
- មេឌីយ៉ាន៖ តម្លៃកណ្តាលបន្ទាប់ពីទិន្នន័យត្រូវបានតម្រៀប។
– របៀប៖ តម្លៃដែលលេចឡើងញឹកញាប់បំផុត។
ទំហំរាលដាល៖
- ជួរ៖ ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមា។
– ភាពខុសគ្នា៖ ជារង្វាស់នៃគម្លាតមធ្យមភាគការ៉េពីមធ្យមភាគ។
– គម្លាតស្តង់ដារ៖ ឫសការ៉េនៃភាពខុសគ្នា ងាយយល់ជាងក្នុងឯកតាដូចគ្នានឹងទិន្នន័យ។
វិធានការទាំងនេះមានសារៈសំខាន់ណាស់ ដើម្បីមើលថាតើទិន្នន័យត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅជិតតម្លៃជាក់លាក់មួយ ឬរីករាលដាលយ៉ាងទូលំទូលាយ។
៧. គោលគំនិតនៃគំរូ ចំនួនប្រជាជន និងការប៉ាន់ស្មាន
នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវ យើងកម្រអាចវាស់វែងចំនួនប្រជាជនទាំងមូលបានណាស់ ដោយសារតែការរឹតបន្តឹងលើការចំណាយ និងពេលវេលា។ ដូច្នេះ យើងយកគំរូមួយ។ ពីគំរូនេះ យើងគណនាស្ថិតិ (ឧទាហរណ៍ មធ្យមភាគគំរូ) ដើម្បីប៉ាន់ស្មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំនួនប្រជាជន (ឧទាហរណ៍ មធ្យមភាគចំនួនប្រជាជន)។
ដំណើរការនៃការប៉ាន់ស្មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានគេហៅថាការប៉ាន់ស្មាន។ ការប៉ាន់ស្មានអាចជា៖
– ការប៉ាន់ស្មានចំណុច៖ តម្លៃប៉ាន់ស្មានមួយ (ឧទាហរណ៍៖ មធ្យមភាគគំរូ)។
- ចន្លោះជឿជាក់៖ ជួរនៃតម្លៃដែលត្រូវបានគេជឿថាមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំនួនប្រជាជនជាមួយនឹងកម្រិតទំនុកចិត្តជាក់លាក់មួយ (ឧទាហរណ៍ 95%)។
៨. ការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្ម (ទិដ្ឋភាពទូទៅ)
ស្ថិតិសន្និដ្ឋានក៏រួមបញ្ចូលទាំងការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្មផងដែរ ដែលជានីតិវិធីសម្រាប់ធ្វើតេស្តការអះអាងអំពីចំនួនប្រជាជន។ ឧទាហរណ៍ ក្រុមហ៊ុនមួយអាចចង់ដឹងថាតើពេលវេលាផលិតជាមធ្យមបានថយចុះឬអត់បន្ទាប់ពីអនុវត្តវិធីសាស្ត្រថ្មី។
ការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្មជាធម្មតាពាក់ព័ន្ធនឹង៖
– សម្មតិកម្មសូន្យ (\( H_0 \)): សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដំបូង (ឧទាហរណ៍ "គ្មានការផ្លាស់ប្តូរ")។
– សម្មតិកម្មជំនួស (\( H_1 \)): សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបញ្ជាក់ (ឧទាហរណ៍ "មានការថយចុះនៃពេលវេលាផលិត")។
– តម្លៃ p ឬដែនកំណត់សំខាន់សម្រាប់ការសម្រេចចិត្តទទួលយក ឬបដិសេធ \(H_0\)។
ខណៈពេលដែលគោលគំនិតនេះអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញនៅពេលដំបូង ចំណុចសំខាន់គឺការធ្វើការសម្រេចចិត្តដោយផ្អែកលើភស្តុតាងទិន្នន័យជាមួយនឹងហានិភ័យនៃកំហុសដែលអាចវាស់វែងបាន។
Penutup
មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិផ្តល់ឱ្យយើងនូវការយល់ដឹងអំពីភាពមិនប្រាកដប្រជា និងរបៀបទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានពីទិន្នន័យ។ ចាប់ពីគោលគំនិតនៃលំហគំរូ និងព្រឹត្តិការណ៍ ច្បាប់ប្រូបាប៊ីលីតេ ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ រហូតដល់អថេរចៃដន្យ និងការចែកចាយ ទាំងអស់បង្កើតបានជាមូលដ្ឋានសំខាន់សម្រាប់ការវិភាគទិន្នន័យ ការស្រាវជ្រាវ និងការធ្វើការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងពិភពលោកដែលជំរុញដោយទិន្នន័យសព្វថ្ងៃនេះ ការយល់ដឹងអំពីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិមិនត្រឹមតែជាតម្រូវការសិក្សាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ជាជំនាញជាក់ស្តែងដែលមានប្រយោជន៍នៅក្នុងវិស័យដូចជា អាជីវកម្ម ការថែទាំសុខភាព បច្ចេកវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រសង្គមផងដែរ។
ប្រសិនបើអ្នកចង់បាន ខ្ញុំក៏អាចបង្កើតអត្ថបទនេះដែលមានលក្ខណៈពិសេសជាងនេះ (ជាមួយនឹងសំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា) ឬកំណែសាមញ្ញជាងនេះសម្រាប់កម្រិតសាលារៀន។
