វិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតក្នុងការស្វែងរកឫសគល់
នៅក្នុងគណិតវិទ្យាអនុវត្ត រូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ បញ្ហានៃ "ការស្វែងរកឫស" កើតឡើងជាញឹកញាប់។ ឫសគឺជាតម្លៃនៃ \(x\) ដែលធ្វើឱ្យអនុគមន៍សូន្យ ពោលគឺដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ៖
\[
f(x)=0
\]
មិនមែនសមីការទាំងអស់សុទ្ធតែមានដំណោះស្រាយដែលអាចត្រូវបានបង្ហាញជារូបមន្តទម្រង់បិទដូចជាសមីការការ៉េនោះទេ។ ចំពោះករណីពិតជាច្រើនដូចជាសមីការមិនលីនេអ៊ែរស្មុគស្មាញយើងត្រូវការវិធីសាស្រ្តលេខ។ វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសំខាន់បំផុតគឺវិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត ដែលជានីតិវិធីដែលបង្កើតដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលជាបន្តបន្ទាប់ដែលកាន់តែខិតទៅជិតឫសតាមរយៈការធ្វើម្តងទៀត។
អត្ថបទនេះពិភាក្សាអំពី គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញ លក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នារបស់វា និងវិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញមួយចំនួនដែលត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅសម្រាប់ស្វែងរកឫសគល់។
-
១. គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀត
វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញដំណើរការដោយធ្វើការស្មានដំបូង \(x_0\) បន្ទាប់មកកែលម្អវាបន្តិចម្តងៗដើម្បីទទួលបានលំដាប់៖
\[
x_0, x_1, x_2, ចំណុចៗ, x_n
\]
ជាមួយនឹងការរំពឹងទុក៖
\[
x_n \ ទៅ \ អាល់ហ្វា
\]
ដែល \(\alpha\) ជាឫសគល់ពិតនៃសមីការ \(f(x)=0\)។
ជាទូទៅ វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញបំលែងបញ្ហា \(f(x)=0\) ទៅជាទម្រង់សមមូល៖
\[
x = g(x)
\]
បន្ទាប់មកការចម្លងត្រូវបានអនុវត្ត៖
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
ប្រសិនបើដំណើរការនេះប្រសព្វគ្នា នោះចំណុចថេរនៃ \(g(x)\) គឺជាដំណោះស្រាយឫសនៃសមីការដើម។
-
២. ការបញ្ចូលគ្នា៖ តើពេលណាដែលការធ្វើម្តងទៀតទទួលបានជោគជ័យ?
មិនមែនអនុគមន៍ \(g(x)\) ទាំងអស់សុទ្ធតែបង្កើតការធ្វើឡើងវិញដែលមានស្ថេរភាពនោះទេ។ ដើម្បីឱ្យការធ្វើឡើងវិញ \(x_{n+1}=g(x_n)\) បញ្ចូលគ្នាទៅជាឫស \(\alpha\) លក្ខខណ្ឌទូទៅដែលត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់គឺ៖
១. \(g(\alpha)=\alpha\) (ឫសជាចំណុចថេរ)
២. \(|g'(\alpha)| < 1\) (ការរួមតូចក្នុងតំបន់)
វិចារណញាណនៃ \(|g'(\alpha)| < 1\) គឺ៖ នៅជិតដំណោះស្រាយ អនុគមន៍ \(g\) គឺ "មិនចោតពេកទេ" ដូច្នេះការធ្វើឡើងវិញនីមួយៗនាំតម្លៃរបស់ \(x_n\) ឱ្យកាន់តែខិតជិត មិនមែនឆ្ងាយជាងនេះទេ។
ការបង្រួបបង្រួមក៏ត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយការស្មានដំបូងដែរ។ វិធីសាស្ត្រពីរដូចគ្នាអាចជោគជ័យ ឬបរាជ័យអាស្រ័យលើ \(x_0\)។
-
៣. វិធីសាស្ត្រកាត់ជាការធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ
ទោះបីជាជារឿយៗត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ដាច់ដោយឡែកពីគ្នាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រ bisection អាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាវិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតដ៏មានឥទ្ធិពលខ្លាំង។ លក្ខខណ្ឌគឺ៖ អនុគមន៍ \(f(x)\) គឺបន្តលើចន្លោះពេល \([a,b]\) ហើយមានការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា៖
\[
f(ក) ចំណុច f(ខ) < ០
\]
នោះគឺមានឫសរវាង \(a\) និង \(b\)។ ក្បួនដោះស្រាយគឺ៖
១. គណនាចំណុចកណ្តាល \(c=\frac{a+b}{2}\)
2. កំណត់ចន្លោះរងដែលនៅតែភ្ជាប់ជាមួយឫស (ដោយផ្អែកលើការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា)
៣. ធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់ឈានដល់ការអត់ធ្មត់
គុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្រនេះគឺថា វាត្រូវបានធានាថានឹងបញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាត្រូវបានបំពេញ។ គុណវិបត្តិគឺថា ការបញ្ចូលគ្នាមានល្បឿនយឺត ពីព្រោះកំហុសថយចុះប្រហែលពាក់កណ្តាលជាមួយនឹងការធ្វើម្តងទៀតនីមួយៗ (ការបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ)។
-
៤. វិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតចំណុចថេរ
នេះគឺជាទម្រង់នៃការធ្វើម្តងទៀតដោយផ្ទាល់បំផុត៖
\[
x_{n+1} = g(x_n)
\]
ជំហាននានា៖
១. ប្តូរ \(f(x)=0\) ទៅជា \(x=g(x)\)
2. ជ្រើសរើសការទាយដំបូង \(x_0\)
៣. ធ្វើម្តងទៀតរហូតដល់ \(|x_{n+1}-x_n|\) ឬ \(|f(x_n)|\) តូចជាងភាពអត់ឱន។
គុណសម្បត្តិរបស់វាគឺភាពសាមញ្ញរបស់វា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រនេះងាយនឹងរងផលប៉ះពាល់ខ្លាំងចំពោះជម្រើសនៃ \(g(x))\)។ ចំពោះសមីការដូចគ្នា មានវិធីជាច្រើនដើម្បីសរសេរ \(x=g(x))\ ប៉ុន្តែមានតែវិធីមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះដែលបញ្ចូលគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងចង់រកឫសនៃ \(f(x)=x^3-2x-5) យើងអាចសរសេរថា៖
– \(x = \sqrt[3]{2x+5}\) ដូច្នេះ \(g(x)=\sqrt[3]{2x+5}\)
បន្ទាប់មកធ្វើការធ្វើឡើងវិញ \(x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n+5}\)។ ភាពជោគជ័យនៃការធ្វើឡើងវិញអាស្រ័យលើថាតើ \(|g'(x)|<1\) នៅជុំវិញឫសឬអត់។
-
៥. វិធីសាស្ត្រញូតុន-រ៉ាហ្វសុន៖ ការធ្វើម្តងទៀតលឿនដោយផ្អែកលើដេរីវេ
វិធីសាស្ត្រញូតុន-រ៉ាបសុន គឺជាវិធីសាស្ត្រមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្ត្រដ៏ពេញនិយមបំផុត ពីព្រោះការបញ្ចូលគ្នារបស់វាជាធម្មតាលឿនណាស់។ រូបមន្តធ្វើម្តងទៀតគឺ៖
\[
x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
ការបកស្រាយ៖ នៅចំណុច \(x_n\) យើងបង្កើតតង់សង់ទៅនឹងអនុគមន៍ \(f(x)\)។ ចំនុចប្រសព្វនៃតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស \(x\) ត្រូវបានប្រើជាការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់។
គុណសម្បត្តិ៖
– ការរួមបញ្ចូលគ្នាការ៉េ (លឿនខ្លាំង) ប្រសិនបើវាជិតឫសគ្រប់គ្រាន់ និង \(f'(\alpha)\neq 0\)។
កង្វះ៖
– តម្រូវឱ្យមានដេរីវេ \(f'(x)\)។
– អាចបរាជ័យ ប្រសិនបើការស្មានដំបូងមិនល្អ ឬប្រសិនបើ \(f'(x_n)\) ជិតដល់សូន្យ ដូច្នេះជំហានធ្វើម្តងទៀតក្លាយជាមិនស្ថិតស្ថេរ។
វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព ការធ្វើគំរូរូបវិទ្យា និងការគណនាវិស្វកម្ម ដោយសារតែប្រសិទ្ធភាពរបស់វានៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌអំណោយផល។
-
៦. វិធីសាស្ត្រសេកង់៖ ជម្រើសរបស់ញូតុនដោយគ្មានដេរីវេ
ប្រសិនបើដេរីវេពិបាកគណនា វិធីសាស្ត្រសេកង់ផ្តល់នូវការសម្របសម្រួលមួយ។ គំនិតចម្បងគឺដើម្បីប្រហាក់ប្រហែលដេរីវេដោយភាពខុសគ្នាកំណត់៖
\[
f'(x_n)\ប្រហាក់ប្រហែល \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}
\]
ដូច្នេះរូបមន្តធ្វើម្តងទៀតគឺ៖
\[
x_{n+1}=x_n – f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}
\]
វិធីសាស្ត្រនេះតម្រូវឱ្យមានការស្មានដំបូងពីរគឺ \(x_0\) និង \(x_1\)។ ល្បឿនចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាទូទៅល្អជាងល្បឿនកាត់សាមញ្ញ និងចំណុចថេរ ទោះបីជាជាធម្មតាយឺតជាងល្បឿនញូតុនបន្តិចក៏ដោយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារតែវាមិនតម្រូវឱ្យមានដេរីវេ សេកង់ច្រើនតែមានលក្ខណៈជាក់ស្តែងជាង។
-
៥. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ឈប់
ក្នុងការគណនាលេខ ការធ្វើម្តងទៀតគួរតែត្រូវបានបញ្ឈប់នៅពេលដែលវាមានភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ ឬប្រសិនបើវាត្រូវបានសង្ស័យថាមិនបញ្ចូលគ្នា។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទូទៅ៖
១. កំហុសតូចតាចរវាងការធ្វើម្តងទៀត៖
\[
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon
\]
2. តម្លៃអនុគមន៍ខិតជិតសូន្យ៖
\[
|f(x_n)|<\varepsilon
\]
៣. ដែនកំណត់នៃការធ្វើឡើងវិញអតិបរមាដើម្បីការពាររង្វិលជុំគ្មានទីបញ្ចប់៖
\[
n \le n_{\max}
\]
ជម្រើសនៃការអត់ធ្មត់ \(\varepsilon\) អាស្រ័យលើតម្រូវការ៖ ការក្លែងធ្វើវិស្វកម្មអាចតម្រូវឱ្យមានការអត់ធ្មត់តឹងរ៉ឹង ខណៈពេលដែលការគណនារដុបគឺធូររលុងណាស់។
-
៨. ការប្រៀបធៀបសង្ខេបនៃវិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀត
សរុបមក៖
– ការបំបែកជាពីរ៖ មានស្ថេរភាពបំផុត ពិតជាចូលគ្នា (ដរាបណាមានការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា) ប៉ុន្តែយឺត។
– ចំណុចថេរ៖ សាមញ្ញណាស់ ប៉ុន្តែការបញ្ចូលគ្នាមិនត្រូវបានធានាជានិច្ចនោះទេ។
– ញូតុន-រ៉ាបសុន៖ លឿនណាស់ ប៉ុន្តែតម្រូវឱ្យមានដេរីវេ ហើយងាយនឹងស្មានដំបូង។
– សេកង់៖ មិនតម្រូវឱ្យមានដេរីវេទេ លឿនណាស់ ប៉ុន្តែអាចមានស្ថេរភាពតិចជាងការបំបែកជាពីរ។
នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង ជម្រើសនៃវិធីសាស្ត្រអាស្រ័យលើលក្ខណៈនៃអនុគមន៍ ភាពអាចរកបាននៃដេរីវេ តម្រូវការសម្រាប់ល្បឿន និងស្ថេរភាព។
-
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញគឺជាឆ្អឹងខ្នងនៃ ការស្វែងរកឫសគល់ជាលេខសម្រាប់សមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ តាមរយៈការបង្កើតលំដាប់នៃការប៉ាន់ស្មានដែលបានធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពម្តងហើយម្តងទៀត យើងអាចចូលទៅរកដំណោះស្រាយនៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រវិភាគមិនអាចប្រើបាន។ ការយល់ដឹងអំពីការបញ្ចូលគ្នា ការជ្រើសរើសការស្មានដំបូង និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យបញ្ឈប់គឺមានសារៈសំខាន់ណាស់សម្រាប់ការធ្វើឡើងវិញដើម្បីបង្កើតឫសគល់ត្រឹមត្រូវ និងមានប្រសិទ្ធភាព។
នៅក្នុងកម្មវិធីពិភពពិត យុទ្ធសាស្ត្ររួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់៖ ចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងវិធីសាស្ត្រដែលមានស្ថេរភាពដូចជាការកាត់ជាពីរផ្នែកដើម្បី "ចាក់សោ" ចន្លោះឫស បន្ទាប់មកប្តូរទៅញូតុន ឬសេកង់ដើម្បីបង្កើនល្បឿននៃការបញ្ចូលគ្នា។ តាមវិធីនេះ យើងសម្រេចបាននូវតុល្យភាពរវាងភាពជឿជាក់ និងល្បឿន - ទិដ្ឋភាពពីរដ៏មានតម្លៃខ្លាំងនៅក្នុងការគណនាលេខ។
-
ប្រសិនបើអ្នកចង់បាន ខ្ញុំអាចបន្ថែមឧទាហរណ៍គណនាជាជំហានៗ (ជាលេខ) សម្រាប់វិធីសាស្ត្រណាមួយខាងលើ ដើម្បីធ្វើឱ្យអត្ថបទកាន់តែច្បាស់លាស់។
