ការយល់ដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរួម

ការយល់ដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរួម

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា យើងតែងតែជួបប្រទះច្បាប់ជាមូលដ្ឋានដែលហាក់ដូចជាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងរបៀបដែលយើងគណនា បង្កើតរូបមន្ត និងដោះស្រាយបញ្ហា។ ច្បាប់សំខាន់មួយបែបនេះគឺលក្ខណៈសម្បត្តិសមាគម។ ខណៈពេលដែលឈ្មោះរបស់វាអាចស្តាប់ទៅដូចជាបច្ចេកទេស គោលគំនិតរបស់វាពិតជាពាក់ព័ន្ធនឹងនព្វន្តប្រចាំថ្ងៃ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនេះជួយយើងឱ្យយល់ថានៅក្នុងប្រតិបត្តិការជាក់លាក់ យើងអាច "ដាក់ជាក្រុម" ចំនួនតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាដោយមិនផ្លាស់ប្តូរលទ្ធផលចុងក្រោយ។ អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាអំពីនិយមន័យនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសមាគម ឧទាហរណ៍របស់វា ពេលណាដែលវាអនុវត្ត និងពេលណាដែលវាមិនអនុវត្ត និងមូលហេតុដែលវាសំខាន់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។

តើទ្រព្យសម្បត្តិរួមជាអ្វី?

លក្ខណសម្បត្តិ​សមាគម​គឺជា​ច្បាប់​មួយ​ក្នុង​ប្រតិបត្តិការ​គណិតវិទ្យា​ដែល​ចែង​ថា វិធី​ដែល​លេខ​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ជា​ក្រុម (ដោយ​ដាក់​វង់ក្រចក) មិន​ផ្លាស់ប្ដូរ​លទ្ធផល​ទេ។ ពាក្យ "សមាគម" ខ្លួន​វា​ទាក់ទង​នឹង "សមាគម" ឬ "ការ​ដាក់​ជា​ក្រុម" នៃ​ធាតុ។

ជាទូទៅ ប្រសិនបើប្រតិបត្តិការមួយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ◦ នោះលក្ខណសម្បត្តិរួមអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\[
(ក \circ ខ) \circ គ = ក \circ (ខ \circ គ)
\]

នេះមានន័យថា យើងមានសេរីភាពក្នុងការជ្រើសរើសគណនាផ្នែកខាងឆ្វេងមុន ឬផ្នែកខាងស្តាំមុន ហើយលទ្ធផលនឹងដូចគ្នា — ប៉ុន្តែសម្រាប់តែប្រតិបត្តិការមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិរួមនៃការបូក

ប្រតិបត្តិការបូកគឺជាឧទាហរណ៍ទូទៅបំផុតនៃលក្ខណសម្បត្តិសមាគម។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖

\[
(២ + ៣) + ៤ = ២ + (៣ + ៤)
\]

គណនាផ្នែកខាងឆ្វេង៖
– (២ + ៣) = ៥
– ១ + ០ = ១

គណនាផ្នែកខាងស្តាំ៖
– (២ + ៣) = ៥
– ១ + ០ = ១

លទ្ធផលគឺដូចគ្នា ពោលគឺ ៩។ ដូច្នេះការបូកបំពេញតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរួម។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

\[
(២ + ៣) + ៤ = ២ + (៣ + ៤)
\]
– ឆ្វេង៖ (១០ + ២០) = ៣០ បន្ទាប់មក ៣០ + ៥ = ៣៥
– ស្តាំ៖ (២០ + ៥) = ២៥ បន្ទាប់មក ១០ + ២៥ = ៣៥

តែងតែដូចគ្នា។ នេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅពេលដែលយើងចង់ដាក់ជាក្រុមលេខដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល។ ឧទាហរណ៍ 25 + 75 + 10 គឺលឿនជាងប្រសិនបើយើងដាក់ជាក្រុម (25 + 75) + 10 = 100 + 10។

លក្ខណៈសម្បត្តិរួមនៃការគុណ

ក្រៅពីការបូក ការគុណក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិរួមផងដែរ។ ឧទាហរណ៍៖

\[
(២ \ គុណ ៣) \ គុណ ៤ = ២ \ ដង (៣ \ គុណ ៤)
\]

ផ្នែកខាងឆ្វេង៖
– (២ × ៣) = ៦
– ៩០ × ១ = ៩០

ផ្នែកខាងស្តាំ៖
– (២ × ៣) = ៦
– ៩០ × ១ = ៩០

ទាំងពីរគឺ 24។ នេះមានន័យថាការគុណក៏ជាសហករណ៍ផងដែរ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

\[
(២ \ គុណ ៣) \ គុណ ៤ = ២ \ ដង (៣ \ គុណ ៤)
\]
– ខាងឆ្វេង៖ ៥×២=១០ បន្ទាប់មក ១០×១០=១០០
– ស្តាំ៖ ២ × ១០ = ២០ បន្ទាប់មក ៥ × ២០ = ១០០

ជាមួយនឹងលក្ខណសម្បត្តិនេះ យើងអាចដាក់ជាក្រុមកត្តាដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាកាន់តែងាយស្រួល។ ឧទាហរណ៍ 4 × 25 × 2 ត្រូវបានគណនាកាន់តែងាយស្រួលដូចជា (4 × 25) × 2 = 100 × 2 = 200។

តើវាខុសគ្នាពីទ្រព្យសម្បត្តិប្តូរវេនយ៉ាងដូចម្តេច?

លក្ខណសម្បត្តិ​រួម​តែងតែ​ត្រូវ​បាន​ច្រឡំ​ជាមួយ​លក្ខណសម្បត្តិ​ប្រែប្រួល ទោះបីជា​ទាំងពីរ​នេះ​ខុសគ្នា​ក៏ដោយ។

- ការផ្លាស់ប្តូរ៖ លំដាប់លេខអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ
\[
a + b = b + a, \\ quadra a \ គុណ b = b \ គុណ a
\]
- សមាគម៖ ការដាក់ជាក្រុមនៃលេខអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ
\[
(a+b)+c=a+(b+c)
\]

ដូច្នេះ កិរិយាសព្ទប្តូរវេន និយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរជំហរ ខណៈពេលដែល កិរិយាសព្ទភ្ជាប់ និយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរវង់ក្រចក។

ប្រតិបត្តិការមិនជាប់ទាក់ទងគ្នា៖ ការដក

មិនមែនប្រតិបត្តិការទាំងអស់សុទ្ធតែបំពេញតាមលក្ខណៈសម្បត្តិសមាគមនោះទេ។ ដកគឺជាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងបំផុត។ ចំណាំ៖

\[
(10 – 3) – 2 \neq 10 – (3 – 2)
\]

គណនាផ្នែកខាងឆ្វេង៖
– ៩០ − ៧៤ = ១៦
– ៩០ − ៧៤ = ១៦

គណនាផ្នែកខាងស្តាំ៖
– ៩០ − ៧៤ = ១៦
– ៩០ − ៧៤ = ១៦

លទ្ធផលគឺខុសគ្នា៖ ៥ និង ៩។ ដូច្នេះការដកមិនមែនជាការជាប់ទាក់ទងគ្នាទេ។

នេះពន្យល់ពីមូលហេតុដែលវង់ក្រចកមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងក្នុងការដក។ ការដាក់វង់ក្រចកខុសអាចបង្កើតចម្លើយខុសគ្នាទាំងស្រុង។

ប្រតិបត្តិការមិនសហការ៖ ផ្នែក

ការបែងចែកក៏មិនជាប់ទាក់ទងគ្នាដែរ។ ឧទាហរណ៍៖

\[
(24 \div 3) \div 2 \neq 24 \div (3 \div 2)
\]

ផ្នែកខាងឆ្វេង៖
– ១២ ÷ ១២ = ១
– ១២ ÷ ១២ = ១

ផ្នែកខាងស្តាំ៖
– ១២ ÷ ១២ = ១
– ១២ ÷ ១២ = ១

ខុសគ្នាខ្លាំង៖ ៤ និង ១៦។ នេះបង្ហាញថាការចែកក៏មិនបំពេញលក្ខណៈសម្បត្តិរួមដែរ។

ហេតុអ្វីបានជាទ្រព្យសម្បត្តិរួមមានសារៈសំខាន់?

ទោះបីជាវាស្តាប់ទៅដូចជាទ្រឹស្តីក៏ដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិរួមមានអត្ថប្រយោជន៍ជាច្រើននៅក្នុងការអនុវត្តគណិតវិទ្យា៖

១. ធ្វើឱ្យការគណនាផ្លូវចិត្តកាន់តែងាយស្រួល
យើងអាចដាក់ជាក្រុមលេខដើម្បីធ្វើឱ្យវាលឿនជាងមុន។ ឧទាហរណ៍៖
\[
១៨ + ២៧ + ៣ = ១៨ + (២៧ + ៣) = ១៨ + ៣០ = ៤៨
\]

2. ជួយសម្រួលទម្រង់ពិជគណិត
នៅក្នុងពិជគណិត យើងច្រើនតែដោះស្រាយជាមួយពាក្យជាច្រើន។ លក្ខណសម្បត្តិសមាគមអនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់ជាក្រុមពាក្យដោយមិនផ្លាស់ប្តូរលទ្ធផល។ នេះជួយសម្រួលដល់ការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងការរៀបចំសមីការ។

៣. ច្បាប់ប្រតិបត្តិការស្មុគស្មាញជាងនេះជាមូលដ្ឋាន
គោលគំនិតកម្រិតខ្ពស់ជាច្រើនដូចជាម៉ាទ្រីស វ៉ិចទ័រ និងរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិត (ឧទាហរណ៍ ក្រុម និងរង្វង់) វាយតម្លៃថាតើប្រតិបត្តិការមួយជាប្រតិបត្តិការសហសម្ព័ន្ធឬអត់។ សហសម្ព័ន្ធភាពគឺជាតម្រូវការដ៏សំខាន់សម្រាប់ការបង្កើតប្រព័ន្ធគណិតវិទ្យា "ស៊ីសង្វាក់គ្នា"។

៤. ជៀសវាងកំហុសក្នុងការប្រើវង់ក្រចក
តាមរយៈការយល់ដឹងថាតើប្រតិបត្តិការណាជាប្រតិបត្តិការសហករណ៍ និងប្រតិបត្តិការណាមិនមែនជាប្រតិបត្តិការសហករណ៍ យើងអាចកាន់តែច្បាស់លាស់នៅក្នុងការគណនារបស់យើង។ កំហុសទូទៅដែលសិស្សធ្វើគឺសន្មតថាប្រតិបត្តិការទាំងអស់អាចត្រូវបានចាត់ទុកដូចគ្នា ខណៈពេលដែលតាមពិតទៅ ការដក និងការចែកត្រូវការការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេស។

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ

លក្ខណៈសម្បត្តិ​សហការី​ច្រើនតែកើតឡើងនៅក្នុងស្ថានភាពដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការបូក ឬគុណកត្តា។

– ការបូកសរុបការទិញ៖ តម្លៃសរុបនៃរបស់របរជាច្រើននៅតែដដែល ទោះបីជាយើងបូកវាឡើងក្នុងមួយក្រុមក៏ដោយ (ឧទាហរណ៍ បូកអាហារមុន បន្ទាប់មកភេសជ្ជៈ)។
– ការរាប់ចំនួនរបស់របរនៅក្នុងប្រអប់មួយ៖ ប្រសិនបើមានប្រអប់ចំនួន ៣ ប្រអប់នីមួយៗមាន ៤ កញ្ចប់ ហើយកញ្ចប់នីមួយៗមាន ៥ របស់របរ៖
\[
(៣គុណនឹង ៤)គុណនឹង ៥ = ៣គុណនឹង (៤គុណនឹង ៥) = ៦០
\]
ការដាក់ជាក្រុមណាមួយផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

លក្ខណសម្បត្តិ​សហករណ៍​គឺជា​គោលគំនិត​ជាមូលដ្ឋាន​ក្នុង​គណិតវិទ្យា។ ជាទូទៅ លក្ខណសម្បត្តិ​នេះ​បញ្ជាក់​ថា ការ​ដាក់​ជា​ក្រុម​ចំនួន​ក្នុង​ប្រតិបត្តិការ​ជាក់លាក់​មួយ​មិន​ផ្លាស់ប្តូរ​លទ្ធផល​ទេ។ ការបូក និង​គុណ​គឺជា​សហករណ៍ ចំណែក​ការដក និង​ការចែក​មិនមែនជា​សហករណ៍​ទេ។ ការយល់ដឹង​អំពី​លក្ខណសម្បត្តិ​សហករណ៍​មិន​ត្រឹមតែ​ជួយ​យើង​គណនា​បាន​លឿន និង​ត្រឹមត្រូវ​ប៉ុណ្ណោះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ថែមទាំង​ពង្រឹង​ការយល់ដឹង​របស់​យើង​អំពី​ពិជគណិត និង​ប្រតិបត្តិការ​គណិតវិទ្យា​កម្រិតខ្ពស់​ជាង​នេះ​ទៀតផង។ ដោយ​ដឹង​ពី​ពេលណា​ដែល​លក្ខណសម្បត្តិ​នេះ​អនុវត្ត យើង​អាច​មាន​ទំនុកចិត្ត​កាន់តែ​ខ្លាំង​ក្នុង​ការដោះស្រាយ​បញ្ហា និង​ជៀសវាង​កំហុស​ដែល​បង្កឡើង​ដោយ​ការដាក់​ជា​ក្រុម​មិន​ត្រឹមត្រូវ។