Векторлар қарапайым сандар емес, сондықтан қарапайым көбейтуді оларға тікелей қолдануға болмайды. Біз векторлық көбейтуді қолдануымыз керек. Векторлық көбейтудің екі түрі бар: нүктелік көбейту және айқас көбейту. Нүктелік көбейту скалярлық көбейту деп те аталады, себебі ол скалярлық шаманы береді. Айқас көбейту векторлық көбейту деп те аталады, себебі ол векторлық шаманы береді. Мысалы, екі вектор бар, атап айтқанда A Dan BВекторлардың скалярлық көбейтіндісі A Dan B көрсетілген AB KАрена нүктелік белгіні қолданатындықтан, бұл көбейту деп аталады нүктелік көбейтіндівекторлық көбейту A Dan B көрсетілген A x BСебебі ол нотацияны пайдаланады x, онда бұл көбейту айқас көбейту деп аталады.
Мысалы, вектор берілген A Dan B төмендегі суретте көрсетілгендей. Векторлар арасындағы нүктелік көбейтінді A Dan B былай жазылған AB (A нүкте B).
Векторлардың нүктелік көбейтіндісін анықтау үшін A Dan B (AB), бейнеленген вектор A және векторлар Y бойыншабұрыш түзеді θ. Әрі қарай вектордың проекциясын саламыз B векторының бағытына қарай AБұл проекция вектордың құрамдас бөлігі болып табылады. B векторына параллель A, ол өлшемімен бірдей B cos θ.
Осылайша, біз анықтаймыз AB үлкен вектор ретінде A векторлық компоненттерге көбейтінді B ол параллель AМатематикалық тұрғыдан оны келесідей жазуға болады:
AB cos θ қарапайым сан (скалярлық). Сондықтан нүктелік көбейтінді скалярлық көбейтінді деп те аталады. Егер векторлар арасындағы нүктелік көбейтінді болса ше? A Dan B кері БА анықтамас бұрын БА, алдымен вектордың проекциясын саламыз A векторларға B (төмендегі суретті қараңыз).
Осы суретке сүйене отырып, біз анықтай аламыз БА үлкен вектор ретінде B векторлық компоненттерге көбейтінді A ол параллель BМатематикалық тұрғыдан оны келесідей жазуға болады:
Нүктелік өнім нәтижесі AB = AB cos θ және нүктелік көбейтіндінің нәтижесі БА = BA cos θӨйткені AB cos θ = BA cos θ, онда ол қолданылады AB = БА
Нүктелерді көбейту туралы білуіңіз керек кейбір мәліметтер:
1. Нүктелік көбейтінді коммутативтік заңын қанағаттандырады.
AB = БА
2. Нүктелік көбейтінді дистрибутивтік заңын қанағаттандырады.
A. (B + C) = AB + AC
3. Егер вектор A Dan B бір-біріне перпендикуляр, содан кейін нүктелік көбейтіндінің нәтижесі AB = 0
Вектор қашан A Dan B бір-біріне перпендикуляр болса, онда пайда болған бұрыш 90-қа тең боладыoКос 90o = 0. Осылайша: AB = AB cos тәте = AB cos 90o = 0. Екінші жағынан, БА = BA cos тәте = BA cos 90o = 0
4. Егер вектор A және векторлар B Бір жол, мака AB = AB cos 0o = AB
Вектор қашан A Dan B сол бағытта болса, онда пайда болған бұрыш 0-ге теңoCos 0 = 1. Осылайша, AB = AB cos тәте = AB cos 0o = ABКерісінше БА = BA cos тәте = BA cos 0o = BA
(Сізді шатастырмау керек AB Dan BAҮлкен AB = үлкен BAМысалы, вектордың шамасы A = 2. вектордың шамасы B = 3. содан кейін AB = 2.3 = 6; бұл келесімен бірдей БА = 3.2 = 6.
5. Екі вектордың бір бағытта болуының тағы бір шарты, егер A = B содан кейін алынған А.А = A2 немесе BB = B2
6. Егер вектор A Dan B қарама-қарсы бағыт (Егер екі вектор қарама-қарсы бағытта болса, онда пайда болған бұрыш 180º болады), содан кейін көбейту нәтижесі AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Мәселелердің мысалы:
Вектор A 4 бірлікке тең және вектор болып табылады B 3 бірлікке ие. Егер екі вектордың бұрыштары 60º, 90º және 180º болса, екі вектордың нүктелік көбейтіндісін анықтаңыз.o
Талқылау
Өйткені AB = БА онда біз біреуін пайдалануды таңдай аламыз. Мысалы, біз пайдаланамыз AB
AB = AB cos тәте
Үлкен A = 4 бірлік және үлкен B = 3 бірлік.
