Векторлар қарапайым сандар емес, сондықтан қарапайым көбейтуді оларға тікелей қолдануға болмайды. Біз векторлық көбейтуді қолдануымыз керек. Векторлық көбейтудің екі түрі бар: нүктелік көбейту және айқас көбейту. Нүктелік көбейту скалярлық көбейту деп те аталады, себебі ол скалярлық шаманы береді. Айқас көбейту векторлық көбейту деп те аталады, себебі ол векторлық шаманы береді. Мысалы, екі вектор бар, атап айтқанда A Dan BВекторлардың скалярлық көбейтіндісі A Dan B көрсетілген AB KАрена нүктелік белгіні қолданатындықтан, бұл көбейту деп аталады нүктелік көбейтіндівекторлық көбейту A Dan B көрсетілген A x BСебебі ол нотацияны пайдаланады x, онда бұл көбейту айқас көбейту деп аталады.
Мысалы, вектор берілген A Dan B төмендегі суретте көрсетілгендей. Векторлар арасындағы нүктелік көбейтінді A Dan B былай жазылған AB (A нүкте B).
Векторлардың нүктелік көбейтіндісін анықтау үшін A Dan B (AB), бейнеленген вектор A және векторлар Y бойыншабұрыш түзеді θ. Әрі қарай вектордың проекциясын саламыз B векторының бағытына қарай AБұл проекция вектордың құрамдас бөлігі болып табылады. B векторына параллель A, ол өлшемімен бірдей B cos θ.
Осылайша, біз анықтаймыз AB үлкен вектор ретінде A векторлық компоненттерге көбейтінді B ол параллель AМатематикалық тұрғыдан оны келесідей жазуға болады:
AB cos θ қарапайым сан (скалярлық). Сондықтан нүктелік көбейтінді скалярлық көбейтінді деп те аталады. Егер векторлар арасындағы нүктелік көбейтінді болса ше? A Dan B кері БА анықтамас бұрын БА, алдымен вектордың проекциясын саламыз A векторларға B (төмендегі суретті қараңыз).
Осы суретке сүйене отырып, біз анықтай аламыз БА үлкен вектор ретінде B векторлық компоненттерге көбейтінді A ол параллель BМатематикалық тұрғыдан оны келесідей жазуға болады:
Нүктелік өнім нәтижесі AB = AB cos θ және нүктелік көбейтіндінің нәтижесі БА = BA cos θӨйткені AB cos θ = BA cos θ, онда ол қолданылады AB = БА
Нүктелерді көбейту туралы білуіңіз керек кейбір мәліметтер:
1. Нүктелік көбейтінді коммутативтік заңын қанағаттандырады.
AB = BA
2. Нүктелік көбейтінді дистрибутивтік заңын қанағаттандырады.
A. (B + C) = AB + AC
3. Егер A және B векторлары бір-біріне перпендикуляр болса, онда нүктелік көбейтінді AB = 0 болады
Вектор қашан A Dan B бір-біріне перпендикуляр болса, онда пайда болған бұрыш 90-қа тең боладыoКос 90o = 0. Осылайша: AB = AB cos тәте = AB cos 90o = 0. Екінші жағынан, БА = BA cos тәте = BA cos 90o = 0
4. Егер А векторы мен В векторы бір бағытта болса , онда AB = AB cos 0 o = AB болады.
Вектор қашан A Dan B сол бағытта болса, онда пайда болған бұрыш 0-ге теңoCos 0 = 1. Осылайша, AB = AB cos тәте = AB cos 0o = ABКерісінше БА = BA cos тәте = BA cos 0o = BA
(Сізді шатастырмау керек AB Dan BAҮлкен AB = үлкен BAМысалы, вектордың шамасы A = 2. вектордың шамасы B = 3. содан кейін AB = 2.3 = 6; бұл келесімен бірдей БА = 3.2 = 6.
5. Бір бағыттағы екі вектордың тағы бір шарты, егер A = B болса, онда AA = A 2 немесе BB = B 2 аламыз .
6. Егер А және В векторлары қарама-қарсы бағытта болса (екі вектор қарама-қарсы бағытта болғанда, пайда болған бұрыш 180º болады) , онда AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB көбейтіндісінің нәтижесі .
Cos 180º = -1.
Мәселелердің мысалы:
А векторының шамасы 4 бірлікке, ал В векторының шамасы 3 бірлікке тең. Егер екі вектордың құрған бұрыштары 60º, 90º және 180º болса, екі вектордың нүктелік көбейтіндісін анықтаңыз.
Талқылау
AB = BA болғандықтан , біз кез келгенін таңдай аламыз. Мысалы, біз AB қолданамыз
AB = AB cos theta
А өлшемі = 4 бірлік, ал В өлшемі = 3 бірлік.
