Планктың кванттық теориясын талқылайтын мысал сұрақтар
Планктың кванттық теориясы қазіргі физикадағы маңызды бетбұрыс болды, қара дене сәулеленуі мен кванттық механика туралы түсінігімізді түбегейлі өзгертті. 1900 жылы Макс Планк енгізген бұл теория классикалық физика түсіндіре алмайтын құбылыстарды түсіндіруге көмектеседі. Бұл мақалада Планктың кванттық теориясы негізгі ұғымдардан бастап қолданбаларға дейінгі мәселелерді талқылау арқылы зерттеледі.
Планктың кванттық теориясының негізі
Мысал есебін талқыламас бұрын, Планктың кванттық теориясының негізін түсіну маңызды. 19 ғасырдың соңында классикалық физика қара дене сәулелену спектрін түсіндіруде үлкен қиындыққа тап болды. Қара дене сәулеленуі - белгілі бір температурада объектілер шығаратын электромагниттік сәулелену.
Классикалық физика Рейли-Джинс заңын қолдана отырып, сәулелену энергиясының жоғары жиіліктерде шексіз артатынын болжады, бұл «ультракүлгін апат» деп аталады. Міне, осы жерде Макс Планк революциялық шешім ойлап тапты: ол энергияның «кванттар» деп аталатын дискретті пакеттерде шығарылатынын немесе сіңірілетінін ұсынды.
Планктың кванттық теориясының негізгі формуласы
Планк теориясы бойынша кванттық энергияның негізгі формуласы:
\[ E = h \nu \]
Қайда:
– \( E \) – кванттық пакеттің энергиясы (квант деп те аталады),
– \( h \) – Планк тұрақтысы (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \( \nu \) – сәулелену жиілігі.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ: Кванттық энергияны есептеу
Сұрақ:
Фотонның жиілігі \(5 \times 10^{14} \, \text{Hz} \). Планк теориясына сәйкес фотонның энергиясын есептеңіз.
Талқылау:
Белгілі:
– Жиілік \( \nu = 5 \times 10^{14} \, \text{Hz} \)
– Планк тұрақтысы \( h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js} \)
Планктың кванттық энергия формуласын қолдану:
\[ E = h \nu \]
\[ E = (6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}) \times (5 \times 10^{14} \, \text{Hz}) \]
\[ E = 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \]
Сонымен, фотонның энергиясы \( 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \) тең.
2-сұрақ: Толқын ұзындығы мен энергия арасындағы байланыс
Сұрақ:
Толқын ұзындығы \(600 \, \text{nm} \) болатын фотонның энергиясын анықтаңыз.
Талқылау:
Белгілі:
– Толқын ұзындығы \( \lambda = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m} \)
– Жарық жылдамдығы \( c = 3 \times 10^{8} \, \text{m/s} \)
– Планк тұрақтысы \( h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js} \)
Алдымен, толқын ұзындығы мен жиілік арасындағы байланысты пайдаланып, жиілікті табуымыз керек:
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]
\[ \nu = \frac{3 \times 10^{8} \, \text{m/s}}{600 \times 10^{-9} \, \text{m}} \]
\[ \nu = 5 \times 10^{14} \, \text{Hz} \]
Енді Планктың кванттық энергия формуласын қолдануға болады:
\[ E = h \nu \]
\[ E = (6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}) \times (5 \times 10^{14} \, \text{Hz}) \]
\[ E = 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \]
Сонымен, толқын ұзындығы \(600 \, \text{nm} \) болатын фотонның энергиясы \(3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \)-ге тең.
3-сұрақ: Қара дене сәулеленуімен байланысты энергия
Сұрақ:
Қара дене 3000 К температурада. Нысан шығаратын сәулеленудің ең жоғары жиілігі қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– Температура \( T = 3000 \, \text{K} \)
– Больцман тұрақтысы \( k = 1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K} \)
Виен заңына сәйкес, қара дене сәулеленуінің толқын ұзындығының шыңы \( лямбда_{\text{max}} \) келесі формуламен анықталады:
\[ \lambda_{\text{max}} T = 2.898 \times 10^{-3} \, \text{m K} \]
Сондай-ақ:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3} \, \text{m K}}{3000 \, \text{K}} \]
\[ \lambda_{\text{max}} = 9.66 \times 10^{-7} \, \text{m} \]
Ең жоғары жиілікті табу үшін \( \nu_{\text{max}} \), біз келесіні қолданамыз:
\[ \nu_{\text{max}} = \frac{c}{\lambda_{\text{max}}} \]
\[ \nu_{\text{max}} = \frac{3 \times 10^{8} \, \text{m/s}}{9.66 \times 10^{-7} \, \text{m}} \]
\[ \nu_{\text{max}} \approx 3.10 \times 10^{14} \, \text{Hz} \]
Осылайша, 3000 К температурада қара дене шығаратын сәулеленудің шың жиілігі шамамен \(3.10 \times 10^{14} \, \text{Hz} \) құрайды.
4-сұрақ: Сәулелену энергиясының таралуы
Сұрақ:
5000 К температурада қара дененің бетінің бірлігіне шығаратын жалпы сәулелену энергиясын есептеңіз.
Талқылау:
Белгілі:
– Температура \( T = 5000 \, \text{K} \)
– Стефан-Больцман тұрақтысы \( \sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4 \)
Қара дене шығаратын жалпы сәулелену энергиясының таралу формуласы:
\[ E = \sigma T^4 \]
\[ E = (5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/m}^2\text{K}^4) \times (5000 \, \text{K})^4 \]
\[E = 5.67 \times 10^{-8} \times 625 \times 10^{12} \]
\[ E \шамамен 3.54375 \уақыт 10^{7} \, \text{W/m}^2 \]
Сонымен, 5000 К температурада қара дене шығаратын жалпы сәулелену энергиясы √(3.54375 \times 10^{7} \, √Вт/м}^2 \) құрайды.
Қорытынды
Планктың кванттық теориясы қазіргі заманғы физика үшін маңызды негіз болып табылады, энергияның квант түрінде қалай шығарылатынын және жұтылатынын түсінуге көмектеседі. \(E = h \nu \) негізгі формуласын пайдаланып, біз фотон энергиясын, электромагниттік сәулеленумен байланысты жиілік пен толқын ұзындығын және қара денеден шығатын сәулеленудің энергия таралуын қоса алғанда, әртүрлі маңызды ақпаратты есептей аламыз. Бұл зерттеу классикалық физиканың шекараларын бұзып қана қоймай, сонымен қатар кванттық механика мен әртүрлі технологиялық инновациялардың дамуына жол ашты.
