Векторлық азайтуға мысал сұрақтар және талқылау
Пендахулуан
Математика мен физикада векторлар көптеген табиғи және инженерлік құбылыстарды түсіндіру үшін қолданылатын негізгі ұғым болып табылады. Вектор - бұл шамасы да, бағыты да бар шама. Векторлардың кейбір маңызды мысалдары - ығысу, жылдамдық, үдеу және күш. Бұл мақалада біз векторды азайтуды талқылаймыз, дегенмен бұл тақырып көбінесе векторлық комбинация контексінде баса назар аударылады.
Векторлық азайту - векторлық талдауда өте маңызды іргелі операция. Бұл тұжырымдаманы тереңірек зерттеу үшін векторлық азайтуға қатысты кейбір мысал есептері мен талқылауларды қарастырайық.
Векторлық азайту
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} векторын азайту амалы {\displaystyle \mathbf{A}} векторын {\displaystyle -\mathbf{B}} векторымен қосу операциясы ретінде анықталады, мұндағы {\displaystyle -\mathbf{B}} – {\displaystyle \mathbf{B}} векторымен бірдей, бірақ қарама-қарсы бағыттағы вектор. Математикалық тұрғыдан мұны былай жазуға болады:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ: Екі өлшемді векторларды азайту
Декарттық координаттарда екі вектор бар деп есептейік:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} және {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} мәндерін есептеңіз.
Талқылау:
Бірінші қадам - {\displaystyle \mathbf{B}} теріс векторын табу, атап айтқанда:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Келесіде, {\displaystyle -\mathbf{B}} бар {\displaystyle \mathbf{A}} векторын қосыңыз:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Әрбір x және y компонентін қосу арқылы векторлық қосуды орындаңыз:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Сонымен, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} векторларын азайту нәтижесі (3, 1) векторы болып табылады.
2-сұрақ: Үш өлшемді векторларды азайту
Үш өлшемді координаталарда екі вектор берілген:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} және {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} мәндерін есептеңіз.
Талқылау:
Бірінші қадам - {\displaystyle \mathbf{Q}} теріс векторын табу:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Келесіде, {\displaystyle -\mathbf{Q}} бар {\displaystyle \mathbf{P}} векторын қосыңыз:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Әрбір x, y және z компоненттерін қосу арқылы векторларды қосуды орындаңыз:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Сонымен, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} векторларын азайту нәтижесі (5, -9, -1) векторы болып табылады.
3-сұрақ: Комплекс жазықтықта векторлық азайту
Комплекс сандармен көрсетілген екі вектор бар делік:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} және {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i} деп есептеңіз. {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} деп есептеңіз.
Талқылау:
Бірінші қадам - {\displaystyle \mathbf{N}} теріс векторын табу:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Келесіде, {\displaystyle -\mathbf{N}} бар {\displaystyle \mathbf{M}} векторын қосыңыз:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Әрбір нақты және жорамал компонентті қосу арқылы векторлық қосуды орындаңыз:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Сонымен, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} векторларын азайту нәтижесі 2 + 2i комплекс саны болып табылады.
4-сұрақ: Полярлық координаттар жүйесіндегі векторлық азайту
Полярлық координаталарда екі вектор бар делік:
{\displaystyle \mathbf{U}} 5 шамасына және 30° бұрышына ие,
және {\displaystyle \mathbf{V}} мәні 3-ке және бұрышы 150°-қа тең.
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} есептеңіз.
Талқылау:
Бірінші қадам - {\displaystyle \mathbf{U}} және {\displaystyle \mathbf{V}} векторларын декарттық координаттарға түрлендіру.
{\displaystyle \mathbf{U}} үшін:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Сонымен, декарттық тілдегі {\displaystyle \mathbf{U}} (4.33, 2.5) теңдеуіне тең.
{\displaystyle \mathbf{V}} үшін:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Сонымен, декарттық тілдегі {\displaystyle \mathbf{V}} (-2.598, 1.5) тең.
Келесі қадамда, декарттық тілдегі векторлық азайтуды есептеңіз:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Вектордың теріс таңбасын қосу дегеніміз:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Сонымен, {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} векторын декарттық координаталарда азайту нәтижесі (6.928, 1) теңдеуіне тең.
Қорытынды
Векторлық азайту векторлық талдауды қолданатын көптеген салаларда маңызды математикалық операция болып табылады. Екі өлшемді, үш өлшемді, күрделі немесе полярлық координат жүйелерінде болсын, негізгі принцип өзгеріссіз қалады: бір векторды екіншісінің терісіне қосу. Жоғарыдағы мысалдар бұл операцияны әртүрлі контексттерде қолданудың әртүрлі жолдарын көрсетеді, бұл бізге тұжырымдаманы тереңірек және практикалық тұрғыдан түсінуге көмектеседі.
