Компонент бойынша векторлық қосуды талқылайтын мысал сұрақтар
Векторлық қосу - физика мен математикада екі немесе одан да көп векторлардың қосындысын табу үшін қолданылатын негізгі процедура. Векторлық қосуды шешудің компоненттік тәсілі, әсіресе екі немесе үш өлшемді векторлармен жұмыс істегенде, өте пайдалы әдіс болып табылады. Бұл мақалада компоненттік векторлық қосу тұжырымдамасы түсіндіріледі және бірнеше мысал есептері мен шешімдері келтіріледі.
Компоненттік векторлық қосу тұжырымдамасы
Екі өлшемді (2D) кеңістіктегі әрбір векторды екі компонентке бөлуге болады: x (көлденең) компоненті және y (тік) компоненті. Үш өлшемді (3D) векторлардың қосымша компоненті, z (тереңдік) компоненті болады.
Айталық, бізде екі A және B векторы бар. Бұл векторлардың компоненттерін келесідей өрнектеуге болады:
– А векторы 2D форматында \(A_x\) және \(A_y\) компоненттеріне ие (немесе 3D форматында \(A_z\) да бар).
– В векторының 2D форматында \(B_x\) және \(B_y\) компоненттері бар (немесе 3D форматында \(B_z\) да бар).
Осы екі векторды қосу нәтижесінде келесі компоненттерден тұратын R векторы пайда болады:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
3D векторлары үшін z компоненті де келесідей:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Алынған вектордың әрбір компонентін есептегеннен кейін, келесі формуланы пайдаланып, алынған вектордың модулін (шамамен) және бағытын таба аламыз:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (екі өлшемді сурет үшін)
Немесе 3D үшін:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Ал алынған вектордың бағытын координата осьтеріне бұрышпен анықтауға болады.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ
Екі өлшемді жазықтықта екі вектор берілген:
– A шығысқа қарай \(5 \, \text{unit}\) орналасқан.
– B солтүстікке қарай \(3 \, \text{unit}\) орналасқан.
Нәтижесінде пайда болған R векторын анықтаңыз.
Талқылау
Алдымен векторды оның тиісті компоненттеріне түрлендіреміз.
– А векторы: \(A = (5, 0)\), себебі оның тек x компоненті бар.
– В векторы: \(B = (0, 3)\), себебі оның тек y компоненті бар.
Міне, компоненттердің қосындысы:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Сонда алынған R векторы:
\[ R = (5, 3) \]
R векторының ұзындығын (модулін) есептеу үшін:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \шамамен 5.83 \]
R векторының бағытын x осіне θ бұрышын пайдаланып есептеуге болады:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Осылайша, алынған R векторының ұзындығы шамамен 5.83 бірлікке тең және x осімен 30.96° бұрыш жасайды.
2-сұрақ
Үш өлшемді екі вектор берілген:
– A – \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B – \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
Нәтижесінде пайда болған R векторын анықтаңыз.
Талқылау
Алдымен әрбір вектордың компоненттерін анықтаймыз:
– А векторы: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– В векторы: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Міне, компоненттердің қосындысы:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Сонда алынған R векторы:
\[ R = (4, 6, 3) \]
R векторының ұзындығын (модулін) есептеу үшін:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \шамамен 7.81 \]
R векторының x, y және z осьтеріне қатысты бағытын бағыттаушы осьтің косинусын пайдаланып есептеуге болады:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \шамамен 0.512 \]
\[ \alpha = \arccos(0.512) \шамамен 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \шамамен 0.768 \]
\[ \бета = \arccos(0.768) \шамамен 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \шамамен 0.384 \]
\[ \гамма = \arccos(0.384) \шамамен 67.64^\circ \]
Осылайша, алынған R векторының ұзындығы шамамен 7.81 бірлікке тең және оның x, y және z осьтеріне қатысты бағыттары 59.50°, 39.50° және 67.64° құрайды.
3-сұрақ
Екі вектор берілген:
– P-ның 4 бірлік шамасы бар және оң x осіне 45° бұрыш жасайды.
– Q шамасы 6 бірлікке тең және оң x осіне 120° бұрыш жасайды.
Нәтижесінде пайда болған R векторын анықтаңыз.
Талқылау
Алдымен векторды оның x және y компоненттеріне бөлеміз:
– P векторы: \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– Q векторы: \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
Міне, компоненттердің қосындысы:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Сонда алынған R векторы:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
R векторының ұзындығын (модулін) есептеу үшін:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \шамамен 8.03 \]
R векторының бағыты:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \шамамен -88.99^\circ \]
Дегенмен, бұл бұрыш теріс x осі бойынша өлшенеді, сондықтан есептің контекстіндегі нақты бұрыш:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \шамамен 91.01^\circ \]
Осылайша, алынған R векторының ұзындығы шамамен 8.03 бірлікке тең және оң x осі бойынша 91.01° бұрыш құрайды.
Бұл мақалада компонент бойынша векторларды қосу талқыланды, бірнеше мысал есептері мен шешімдері келтірілді. Компонент бойынша әдіс есептеулерді жеңілдетуде және кеңістіктің математикалық өлшеміндегі векторлық есептерді шешудің жүйелі жолын ұсынуда өте пайдалы.
