Қалыпты үлестірімнің күтілетін мәні туралы талқылау сұрағының мысалы
Қалыпты үлестірім, сондай-ақ Гаусс үлестірімі деп те аталады, статистика мен ықтималдықта ең жиі қолданылатын үздіксіз ықтималдық үлестірімдерінің бірі болып табылады. Бұл үлестірім симметрия және орташа (µ) және стандартты ауытқу (σ) параметрлеудегі бірегейлігі сияқты қолайлы математикалық қасиеттеріне байланысты әртүрлі статистикалық қорытындыларда негізгі болжам ретінде жиі қолданылады. Бұл мақалада осы тұжырымдаманы тереңірек түсіну үшін мысалдар талқыланады және қалыпты үлестірімнің күтілетін мәні талқыланады.
Қалыпты үлестірімді түсіну
Қалыпты үлестірім симметриялы қоңырау қисығымен бейнеленген, көптеген мәндер орташа мән немесе орташа мән айналасында шоғырланған. Бұл үлестірім ішінде орташа мән (µ) және стандартты ауытқу (σ) деректердегі таралудың орны мен мөлшерін анықтайтын екі маңызды параметр болып табылады.
Қалыпты үлестірімнің ықтималдық тығыздығы функциясы (PDF):
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Қайда:
– \( \mu \) орташа немесе орташа мән
– \( \sigma \) стандартты ауытқу болып табылады
– \( x \) кездейсоқ айнымалы
Қалыпты үлестірімдегі күтілетін мән
Қалыпты үлестірімі бар кездейсоқ айнымалының күтілетін мәні үлестірімнің орташа мәніне тең. Егер \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \) болса, онда күтілетін мән \(E(X) \):
\[ E(X) = \mu \]
Түсінуімізді нығайту үшін қалыпты үлестірімдердегі күтілетін мәндерге қатысты кейбір мәселелердің мысалдарын қарастырайық.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-мысал сұрақ:
Айталық, \(X\) \(\mu = 50\) және \(\sigma = 10\) болатын қалыпты үлестірілген кездейсоқ айнымалы. \(X\) күтілетін мәнін есептеңіз.
Талқылау:
Бұрын айтылғандай, қалыпты үлестірімде күтілетін мән \(E(X) \) \(mu \)-ге тең. Сонымен,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
2-мысал сұрақ:
Кездейсоқ айнымалы \(Y \) \(mu = 120 \) және \(sigma = 15 \) мәндерімен қалыпты таралған болса, \(Y \) мәнінің күтілетін мәнін табыңыз.
Талқылау:
Бірінші мысалға ұқсас, \(Y\) күтілетін мәні қалыпты үлестірімнің ортаңғы мәні немесе орташа мәні болып табылады, атап айтқанда:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
3-мысал сұрақ:
Егер кездейсоқ айнымалы \(Z\) \(mu = 0\) және \(sigma = 1\) (стандартты қалыпты үлестірім) болатын қалыпты үлестірімге сәйкес келсе, \(Z\) күтілетін мәні қандай?
Талқылау:
Стандартты қалыпты үлестірімнің орташа мәні \(\mu = 0 \), сондықтан күтілетін мәні \(E(Z) \):
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
4-мысал сұрақ:
Айталық, \(W\) орташа мәні \(\mu = 75\) және стандартты ауытқуы \(\sigma = 20\) болатын қалыпты үлестірілген кездейсоқ айнымалы. Егер біз жаңа кездейсоқ айнымалы \(V = 2W + 3\) анықтасақ, \(V\) күтілетін мәні қандай?
Талқылау:
\(V\) күтілетін мәнін табу үшін күтілетін мәннің сызықтық қасиетін пайдалану керек. \(V = 2W + 3\) берілгенде, онда:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Күтілетін мәннің сызықтық қасиетіне сүйене отырып, тұрақтыны кездейсоқ айнымалыдан ажыратуға болады:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Тұрақтының күтілетін мәні тұрақтының өзі екенін білу:
\[ E(3) = 3 \]
Ал \(W\) күтілетін мәні \(W\) қалыпты үлестірімнің орташа мәні болып табылады:
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Сонымен,
\[ E(V) = 2 \75 + 3 көбейтіндісі \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
5-мысал сұрақ:
Кездейсоқ айнымалы \(Q\) орташа мәні \(\mu = 40\) және стандартты ауытқуы \(\sigma = 5\) болатын қалыпты үлестірімге сәйкес келеді. Егер \[U = Q/2\] болса, \(Q\) күтілетін мәні қандай?
Талқылау:
Біз 4-мысалдағыдай принципті, атап айтқанда күтілетін мәннің сызықтық қасиетін қолданамыз. \(U = Q/2 \) екенін ескере отырып, онда:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Күтілетін мәннің сызықтық қасиетіне негізделген:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
\(Q\) күтілетін мәні \(Q\) қалыпты үлестірімнің орташа мәні екенін білеміз:
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Сонымен,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \40 еселенген \]
\[ E(U) = 20 \]
Қорытынды
Қалыпты үлестірімде кездейсоқ айнымалының күтілетін мәні әрқашан үлестірімнің орташа мәніне (µ) тең болады. Жоғарыдағы мысал есептері сызықтық қасиетті пайдаланып күтілетін мәнді есептеудің әртүрлі шарттарын көрсетеді. Бұл негізгі тұжырымдаманы түсіну статистика мен ықтималдықтағы қалыпты үлестірім есептерін шешуді жеңілдетеді.
Қалыпты үлестірім статистикада өте маңызды, себебі ол гипотезаны тексеру, параметрлерді бағалау және басқа да әртүрлі статистикалық қорытындыларды қоса алғанда, практикалық қолданбалардың кең ауқымында қолданылады. Бұл үлестірімнің күтілетін мәнін жақсы түсіну деректерді талдаудағы маңызды алғашқы қадам болып табылады.
Бұл мақалада қалыпты үлестірімдегі күтілетін мәннің нақты және пайдалы түсіндірмесі, сондай-ақ тиісті мысал сұрақтары мен талқылаулары берілген деп үміттенемін.
