Шеңберлер мен жанамаларды талқылайтын мысал сұрақтар
Шеңберлер матрицалық геометриядағы маңызды тақырып болып табылады, онда қашықтық, бұрыштар және пішіндер туралы терең түсініктер көрсетіледі. Бұл тақырыпта жиі талқыланатын бір ұғым - шеңберге жанама түзу. Бұл мақалада біз шеңберлер мен жанамаларды қамтитын бірнеше мысал есептерді талқылаймыз.
Шеңберлер мен жанамалардың негізгі түсініктері
Шеңбер
Шеңбер – жазықтықтағы барлық нүктелердің жиынынан тұратын және шеңбердің центрі деп аталатын берілген нүктеден белгіленген қашықтықта орналасқан геометриялық пішін. Бұл белгіленген қашықтық шеңбердің радиусы деп аталады.
Тангенс
Шеңберге жанама - шеңберге дәл бір нүктеде жанасатын түзу. Бұл нүкте жанама нүктесі деп аталады. Жанамалардың бірнеше маңызды қасиеттері бар, соның ішінде:
– Жанама сызық әрқашан жанама нүктесіндегі шеңбердің радиусына перпендикуляр болады.
– Шеңберден тыс орналасқан нүктеден шеңберге дейінгі жанаманың ұзындығы, егер сол нүктеден екі жанама жүргізілсе, бірдей болады.
Үлгі сұрақтар мен талқылаулар
Төменде шеңберлер мен жанамалар ұғымын егжей-тегжейлі талқылайтын бірнеше мысал сұрақтарды ұсынамыз.
1-мысал: Жанама түзудің ұзындығын табу
Сұрақ:
Центрі \(O\) және радиусы \(r = 6\, \text{cm}\ болатын шеңбер берілген. Шеңбердің сыртындағы, шеңбердің центрінен 10 см қашықтықтағы \(P\) нүктесінен шеңберге екі жанама \(PA\) және \(PB\) жүргізілген. Жанаманың ұзындығын \(PA\) есептеңіз.
Талқылау:
Бұл есепте біз Пифагор теоремасын қолдана аламыз. \(\triangle OAP\ үшбұрышын салыңыз):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (шеңбердің сыртқы нүктесінен центріне дейінгі қашықтық)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (шеңбердің радиусы)
– \(PA\) – табылуы тиіс жанама түзу.
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Сонымен, жанама сызығының ұзындығы \(PA\) 8 см.
2-мысал: Жанасу нүктесін табу
Сұрақ:
\((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) теңдеуімен шеңбер және \(y = 2x + 1\) түзуі берілген. Шеңбер мен түзу арасындағы жанасу нүктесін анықтаңыз.
Талқылау:
Алдымен шеңбердің центрі мен радиусын анықтаймыз:
– Орталық \(O(3, 4)\)
– Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\)
Жанасу нүктесін табу үшін, жанасу нүктесі \(T(x_1, y_1)\) деп есептейік, ол да \(y = 2x + 1\) түзуінде жатыр. Сонда:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) шеңбердің теңдеуін де қанағаттандыруы керек:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Шеңбер теңдеуіне \(y_1 = 2x_1 + 1\) қойып, оны келесідей етіп қойыңыз:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Біз екі шаршыны есептеуіміз керек.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Екі нәтижені біріктіріңіз:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Екі жағынан да 25 санын азайтыңыз:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Квадрат теңдеуді шешіңіз:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
\(y_1\) мәнін есептеңіз:
y = 2x + 1 теңдеуін қанағаттандыратын нәрсе:
– Егер \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) болса, онда \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\) болады.
– Егер \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) болса, онда \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\) болады.
Бағалау:
Сонымен, шеңбер теңдеуінің сол түзумен қиылысуының екі нүктесін аламыз.
3-мысал: Жанама түзудің теңдеуін анықтау
Сұрақ:
\((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) теңдеуімен шеңбер берілген. \((6, 7)\) нүктесі арқылы өтетін шеңберге жанама түзудің теңдеуін анықтаңыз.
Талқылау:
Белгілі сыртқы нүктеден центрі \(h, k)\) және радиусы \(r\) болатын шеңберге жанаманы келесі теңдеу арқылы табуға болады:
Жанама түзу \((x_1, y_1)\) сыртқы нүктесі арқылы өтеді:
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Сыртқы нүктені ((6, 7)) ауыстырыңыз:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Тангенс түзуінің теңдеуі:
\[
x + y = 9
\]
Демек, шеңбер сызығының нүктесі арқылы өтетін түзу теңдеуінің вариациясы өте үлкен және нәтижеге немесе көрнекі көрініске байланысты өзгеруі мүмкін.
Қорытынды
Шеңберлер мен жанамаларды талқылау математиканың бірнеше негізгі аспектілерін қамтиды, Пифагор теоремасы сияқты негізгі формулаларды қолданудан бастап, квадрат теңдеулерді шешуге дейін. Осы мысалдар арқылы біз бұл ұғымдарды күрделі жағдайларда қалай қолдану керектігін жақсырақ түсіне аламыз. Бұл мақала шеңберлер мен жанамаларға қатысты есептерді қалай қарастыру және шешу керектігі туралы нақты түсінік беруге көмектесті деп үміттенемін.
