Қалыпты үлестірім туралы талқылау сұрағының мысалы
Қалыпты үлестірім, сондай-ақ Гаусс үлестірімі деп те аталады, статистикада ең көп қолданылатын ықтималдық үлестірімі болып табылады. Бұл үлестірім симметриялы қоңырау пішініне ие, бұл деректер орташа мәннің айналасында орналасқанын және экстремумдардың (орташа мәннен алыс мәндер) ықтималдығы төмен екенін көрсетеді.
Бұл мақалада біз қалыпты үлестірімге қатысты әртүрлі мысал есептерін және оларды қалай шешу керектігін талқылаймыз. Алдымен кейбір негізгі ұғымдарды енгізіп, содан кейін күрделі мысалдарға көшеміз.
Қалыпты үлестірімнің негіздері
Қалыпты үлестірім – екі параметрі бар үздіксіз үлестірім: орташа мән және стандартты ауытқу (СД). Орташа мән үлестірімнің центрін, ал стандартты ауытқу үлестірімнің енін анықтайды.
Қалыпты үлестірімнің маңызды сипаттамалары:
1. Симметрия: Қалыпты үлестірім орташа мәнге қатысты симметриялы.
2. Эмпирикалық ереже (Эмпирикалық ереже):
– Деректердің шамамен 68%-ы орташа мәннен бір стандартты ауытқу шегінде жатыр.
– Деректердің шамамен 95%-ы орташа мәннен екі стандартты ауытқу шегінде орналасқан.
– Деректердің шамамен 99.7%-ы орташа мәннен үш стандартты ауытқу шегінде орналасқан.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-мысал: Z-баллын есептеу
Сұрақ: Емтиханның орташа бағасы 70, ал стандартты ауытқуы 10. Студент 80 балл алады. Студенттің Z-балы қандай?
Шешімі:
Z-бағасы - бұл мәннің орташа мәннен қанша стандартты ауытқу екенін көрсететін көрсеткіш.
Z-ұпай формуласы:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Қайда:
– \( X \) – байқалған мән.
– \( \mu \) орташа мән болып табылады.
– \( \sigma \) – стандартты ауытқу.
Белгілі:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Формуланы қолдану:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Сонымен, студенттің Z-балы 1-ге тең, бұл 80 балл орташа мәннен бір стандартты ауытқу жоғары екенін білдіреді.
2-мысал: Белгілі бір шаманың ықтималдығы
Сұрақ: Орташа мәні 100 және стандартты ауытқуы 15 болатын қалыпты үлестірімде 85-тен төмен мәнді табу ықтималдығы қандай?
Шешімі:
Қадамдар:
1. \(X = 85 \) мәні үшін Z-ұпайын есептеңіз:
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Z-ұпайының -1 болуына сәйкес келетін ықтималдықты табу үшін Z-кестесін немесе статистикалық калькуляторды пайдаланыңыз. Z-кестесінде Z-ұпайының -1 болу ықтималдығы шамамен 0.1587 құрайды.
Сонымен, 85-тен төмен мәнді табу ықтималдығы 0.1587 немесе 15.87% құрайды.
3-мысал: Эмпирикалық ережелерді қолдану
Сұрақ: Мектептердегі математикадан тест нәтижелерінің таралуы орташа мәні 75 және стандартты ауытқуы 8 болатын қалыпты таралуды ұстанатыны белгілі. Оқушылардың қандай үлесі 67 мен 83 аралығында балл жинады?
Шешімі:
Лангка-лангка:
1. 67 және 83 мәндері үшін Z-балын есептеңіз:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Эмпирикалық ережелерге сәйкес, орташа мәннен -1 SD және +1 SD арасындағы мәндер халықтың шамамен 68%-ын қамтиды.
Сонымен, 67 мен 83 аралығында балл жинаған студенттердің үлесі шамамен 68% құрады.
4-мысал: Процентильдерден мәндерді есептеу
Сұрақ: Егер елдегі ересек ер адамдардың орташа бойы 175 см болса, стандартты ауытқуы 7 см болса, 90-шы процентильде қандай бой болады?
Шешімі:
Лангка-лангка:
1. 90-шы перцентильге сәйкес келетін Z-ұпайын табыңыз. Z-кестесіне сүйене отырып, 0.9000-ға ең жақын Z-ұпайы шамамен 1.28-ге тең.
2. \(X\) мәнін есептеу үшін формуланы пайдаланыңыз:
\[X = \mu + Z \times \sigma \]
\[X = 175 + 1.28 \7 көбейтіндісі \]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Сонымен, 90-шы перцентильдегі бой шамамен 183.96 см.
5-мысал сұрақ: Белгілі бір аралықтың ықтималдығы
Сұрақ: Жаңа туған нәрестенің салмағының таралуы орташа салмағы 3.5 кг және стандартты ауытқуы 0.5 кг болатын қалыпты таралуды ескере отырып, нәрестенің салмағы 3 кг мен 4 кг аралығында болу ықтималдығы қандай?
Шешімі:
Лангка-лангка:
1. 3 кг және 4 кг мәндері үшін Z-балын есептеңіз:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Z кестесіне негізделген -1 мен 1 аралығындағы Z-ұпайының ықтималдығы шамамен 0.6826 немесе 68.26% құрайды.
Сонымен, салмағы 3 кг-нан 4 кг-ға дейінгі нәрестенің ықтималдығы шамамен 68.26% құрайды.
Қорытынды
Қалыпты үлестірім статистикадағы маңызды және көптеген нақты өмірде қолданылатын негізгі ұғым болып табылады. Бұл мақалада біз қалыпты үлестірімнің негізгі ұғымдарын түсіндіріп, түсінігімізді тереңдету үшін бірнеше мысалдарды шештік.
Қалыпты үлестірімді түсіну тек статистика үшін ғана емес, сонымен қатар психология, экономика және басқа да әлеуметтік ғылымдар сияқты әртүрлі практикалық салалар үшін де маңызды. Жеткілікті тәжірибемен қалыпты үлестірім есептерін шешу интуитивті бола түседі және деректерге негізделген шешім қабылдауға көмектеседі.
