Lögfræðiefni Arkimedesar
Hefur þú einhvern tíma séð skip? Ef þú hefur ekki séð það sjálfur, þá hefurðu vonandi séð það í sjónvarpi eða á netinu. Skip með mjög stóran massa sekkur ekki, en lítill, léttur steinn getur það. Af hverju er það svona? Svarið er frekar einfalt ef þú skilur hugtökin uppdrift og lögmál Arkimedesar.
Í daglegu lífi munum við komast að því að hlutir sem eru settir í vökva, eins og steinn, bera minni þyngd en þegar hluturinn er ekki í vökvanum. Það gæti verið erfitt að lyfta steini frá yfirborði jarðar, en sami steinn lyftist auðveldlega frá botni laugarinnar. Þetta er vegna uppdriftskraftsins. Uppdrift á sér stað vegna mismunandi vökvaþrýstings á mismunandi dýpi. Vökvaþrýstingur eykst með dýpi, því dýpra sem vökvinn er, því meiri er vökvaþrýstingurinn. Þegar hlutur er settur í vökva verður þrýstingsmunur á milli vökvans fyrir ofan hlutinn og vökvans fyrir neðan hann. Vökvinn sem er staðsettur neðst á hlutnum hefur meiri þrýsting en vökvinn sem er staðsettur efst á hlutnum.
Flothæfni
Á myndinni sést hlutur fljóta í vatni. Vökvinn undir hlutnum hefur meiri þrýsting en vökvinn fyrir ofan hann. Þetta er vegna þess að vökvinn undir hlutnum hefur meiri dýpi en vökvinn fyrir ofan hann (h2 > klst.1).
F2 = kraftur sem vökvinn beitir á botn hlutarins, F1 = kraftur sem vökvinn beitir á efri hluta hlutarins, A = yfirborðsflatarmál hlutarins
Munurinn á F2 og F1 er heildarkrafturinn sem vökvinn beitir á hlutinn, sem við þekkjum sem uppdriftskraft. Stærð uppdriftskraftsins er:
F uppdrift = F2 − F1
F flot = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F flottala = ρ g A ( h² − h¹ )
F uppdrift = ρ g A h
F uppdrift = ρ g V
Upplýsingar:
ρ = vökvaþéttleiki
g = þyngdarhröðun
V = rúmmál hlutarins í vökvanum
þannig að jöfnuna sem segir til um stærð uppdriftskraftsins (F uppdrift) hér að ofan má rita sem:
F fljótandi = ρ F g V → m = ρ V
F uppdrift = m F g
F uppdrift = w F
m F g = w F = þyngd vökva sem hefur sama rúmmál og rúmmál hlutarins sem er í kafi.
Meginregla Arkimedesar
Byggt á jöfnunni hér að ofan getum við sagt að uppdriftskrafturinn sé jafn þyngd vökvans sem ryðst hefur úr stað, og rúmmál vökvans sem ryðst hefur úr stað sé jafnt rúmmáli hlutarins sem er sökkt í vökvann.
Ef hlutur er sökktur í vökva og flýtur, þar sem aðeins hluti hans er á kafi, þá er rúmmál vökvans sem ryðst hefur jafnt rúmmáli þess hluta hlutarins sem er á kafi í vökvanum. Óháð lögun eða stærð hlutarins mun það sama gerast hjá öllum. Þetta er verk Arkimedesar (287-212 f.Kr.), sem nú er þekkt sem Meginregla Arkimedesar.
Meginregla Arkimedesar segir að:
Þegar hlutur er alveg eða að hluta til á kafi í vökva, mun vökvinn beita uppávið krafti (uppdriftskrafti) á hlutinn, þar sem stærð uppávið kraftsins (uppdriftskraftsins) er jöfn þyngd vökvans sem ryðst frá.
Sagan af Arkimedesi
Arkimedes, sem var uppi á árunum 287 til 212 f.Kr., fékk það verkefni frá Hieroni II konungi að rannsaka hvort kóróna sem gerð var fyrir konunginn væri úr hreinu gulli. Arkimedes var í fyrstu ruglaður um hvort kórónan væri úr hreinu gulli eða hvort hún innihélt aðra málma. Vandamálið var að kórónan var óregluleg í lögun og ekki var hægt að eyðileggja hana til að ákvarða hvort hún væri úr hreinu gulli.
Hugmyndin á bak við það að ákvarða hvort kóróna konungs sé úr hreinu gulli er að fyrst ákvarða eðlisþyngd kórónunnar og síðan bera hana saman við eðlisþyngd gullsins. Ef kórónan er úr hreinu gulli, þá er eðlisþyngd kórónunnar = eðlisþyngd gullsins.
Eðlisþyngd hlutar er hlutfall þyngdar hlutarins í lofti og þyngdar vatns með sama rúmmáli og hluturinn. Stærðfræðilega er það skrifað:
Hvernig á að ákvarða þyngd vatns sem hefur sama rúmmál og rúmmál hlutar?
Samkvæmt Arkimedesi er þyngd vatns með sama rúmmáli og rúmmál hlutarins = stærð uppdriftskraftsins þegar hluturinn sekkur (allur hluturinn er á kafi í vatni). Þetta er það sama og þyngd hlutarins sem tapast þegar hann er vigtaður í vatni. Þannig:
Til að ákvarða eðlisþyngd krónunnar er hún fyrst vegin í lofti (Þyngd krónunnar í lofti). Næst er krónunni sett í vatn og síðan vigtuð aftur til að fá þyngd týndu krónunnar. Þannig:
Þegar eðlisþyngd kórónunnar hefur verið reiknuð út er hún borin saman við eðlisþyngd gulls. Eðlisþyngd gulls er 19,3. Ef eðlisþyngd kórónunnar er jöfn eðlisþyngd gulls, þá er kórónan úr hreinu gulli. Hins vegar, ef kórónan er ekki úr hreinu gulli, þá verður eðlisþyngd kórónunnar ekki sú sama og eðlisþyngd gulls.
Af hverju sökkva skip ekki?
Ef eðlisþyngd hlutar er minni en eðlisþyngd vatns, þá mun hluturinn fljóta. Aftur á móti, ef eðlisþyngd hlutar er meiri en eðlisþyngd vatns, þá mun hluturinn sökkva. Flest skip eru úr járni og stáli. Eðlisþyngd járns og stáls = 7,8 x 103 kg /m3 en eðlisþyngd vatns = 1,00 x 103 kg /m3 . Það virðist sem eðlisþyngd járns og stáls sé meiri en eðlisþyngd vatns. Í þessu tilfelli er eðlisþyngd járns og stáls = 7,8. Skip úr járni og stáli ættu að sökkva. Af hverju sökkva skip ekki? Heildareðlisþyngd skipsins er minni en eðlisþyngd vatns eða sjávar.
Dæmi um spurningar um lögmál Arkimedesar
Dæmi um spurningu 1:
40 kg steinn er á botni laugar. Ef rúmmál steinsins = 0,2 m³ , hver er þá lágmarkskrafturinn sem þarf til að lyfta steininum?
Umræða
Það er vitað að:
Massi steins (m) = 40 kg
Rúmmál steins (V) = 0,02 m³
Þéttleiki vatns = 1000 kg/ m³
Þyngdarhröðun (g) = 10 m/ s²
Spurt: Lágmark F
Svar:
F uppdrift = w F
F uppdrift = m F g → m = pV
F uppdrift = ρ F g V
F uppdrift = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F uppdrift = 200 kg m/ s²
F uppdrift = 200 N
Þyngd steins (w) = mg
Þyngd steins = (40 kg) (10 m/ s² )
Þyngd steins = 400 kg m/ s²
Þyngd steins = 400 N
Lágmarkskraftur sem þarf til að lyfta steini:
Þyngd steins – Flotkraftur = 400 N – 200 N = 200 Newton.
Dæmi um spurningu 2:
Þyngd hlutar í lofti er 5000 kg m/s² og þyngd hlutarins í vatni = 4000 kg m/s² . Ef eðlisþyngd hlutarins er 2000 kg/m³ , hver er þá massi og rúmmál hlutarins? g = 10 m/ s²
Umræða
Þyngdarhröðun (g) = 10 m/ s²
Þéttleiki hlutar = 2000 kg/ m³
Þéttleiki vatns = 1000 kg/ m³
Þyngd hlutar í lofti = 5000 kg m/ s²
Þyngd hlutar í vatni = 4000 kg m/ s²
Uppdriftskraftur (F buoyant) = Þyngd hlutar í lofti – Þyngd hlutar í vatni
F uppdrift = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F uppdrift = 1000 kg m/ s²
F uppdrift = Þyngd vatns sem færst hefur frá
F uppdrift = (massi vatns)(g)
F uppdrift = (rúmmál vatns sem ryðst hefur frá) (þéttleiki vatns) (g)
Rúmmál vatns sem ryðst hefur frá sér = Rúmmál hlutar sem er sökkt í vatn 😉
Þannig að rúmmál hlutarins er = 0,1 m³
Massi hlutar = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = ( 2000 kg / m 3 )( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Massi hlutar = 200 kg
Dæmi um spurningu 3:
Hversu mikið magn af helíum þarf ef loftbelgur þarf að lyfta 500 kg farmi?
Umræða
Þéttleiki helíums = 0,1786 kg/ m³
Loftþéttleiki = 1,293 kg/ m³
Uppdriftskraftur = Þyngd lofts sem færst hefur frá = Þyngd farms + Þyngd helíums
Uppdriftskraftur = Þyngd farms + þyngd helíums
Uppdriftskraftur = (massi farms)(g) + (massi helíums)(g)
Uppdriftskraftur = (massi farms + massi helíums) g —- jafna 1
Uppdriftskraftur = Þyngd lofts sem ryðst hefur frá sér
Uppdriftskraftur = (massi lofts sem hefur verið fært úr stað)(g) —- jafna 2
Við sameinum jöfnu 1 og jöfnu 2:
(massi farms + massi helíums)(g) = (massi lofts sem ryðst hefur frá)(g)
massi farms + massi helíums = massi lofts sem ryðst hefur frá sér
500 kg + (ρ helíum)(V helíum) = (ρ loft)(V loft)
500 kg = (ρ loft)(V loft) – (ρ helíum)(V helíum)
Rúmmál lofts sem ryðst frá (V loft) = Rúmmál helíums sem fyllir blöðruna (V helíum)
500 kg = (ρ loft – ρ helíum)(V)
Þetta er lágmarksmagn helíums sem þarf til að lyfta þyngd við yfirborð jarðar. Til að loftbelgurinn geti svifið hærra þarf að auka magn helíums. Þetta er vegna þess að eðlisþyngd lofts minnkar með hæð.
