Dæmispurningar um vigursamlagningu eftir íhlut
Vigursamlagning er grundvallaraðferð í eðlisfræði og stærðfræði sem notuð er til að finna niðurstöðu tveggja eða fleiri vigra. Þáttabundin aðferð til að leysa vigursamlagningu er sérstaklega gagnleg, sérstaklega þegar unnið er með vigra í tveimur eða þremur víddum. Þessi grein mun útskýra hugtakið þáttbundin vigursamlagning og veita nokkur dæmi um vandamál og lausnir.
Hugtakið samlagning vigurs í samsetningu
Sérhver vigur í tvívíðu (2D) rúmi er hægt að skipta niður í tvo þætti: x-þátt (láréttan) og y-þátt (lóðréttan). Í þrívídd (3D) hafa vigrar viðbótarþátt, z-þátt (dýptarþátt).
Segjum sem svo að við höfum tvo vigra A og B. Hluti þessara vigra má tákna á eftirfarandi hátt:
– Vigur A hefur þáttana \(A_x\) og \(A_y\) í 2D (eða einnig \(A_z\) í 3D).
– Vigur B hefur þáttana \(B_x\) og \(B_y\) í 2D (eða einnig \(B_z\) í 3D).
Með því að leggja saman þessa tvo vigra fæst vigur R sem hefur eftirfarandi þætti:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
Fyrir vigra í þrívídd er z-þátturinn einnig eftirfarandi:
\[ R_z = A_z + B_z \]
Eftir að hafa reiknað út hvern þátt í vigurnum sem myndast, getum við fundið stuðullinn (stærðargráðuna) og stefnu vigursins með formúlunni:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (fyrir 2D)
Eða fyrir 3D:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
Og stefnu vigursins sem myndast er hægt að ákvarða með horninu við hnitásana.
Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1
Gefin eru tveir vigrar í tvívíðu plani:
– A er \(5 \, \text{eining}\) til austurs.
– B er \(3 \, \text{eining}\) til norðurs.
Ákvarðið resultantvigurinn R.
Umræða
Fyrst breytum við vektornum í viðkomandi hluta hans.
– Vigur A: \(A = (5, 0)\) því hann hefur aðeins x-þátt.
– Vigur B: \(B = (0, 3)\) því hann hefur aðeins y-þátt.
Hér er summa íhlutanna:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
Þá er niðurstöðuvigurinn R:
\[ R = (5, 3) \]
Til að reikna lengd (stuðull) vigursins R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \u.þ.b. 5.83 \]
Hægt er að reikna út stefnu vigursins R með því að nota hornið θ við x-ásinn:
[\tan(\heta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
[\theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
Þannig er lengd vigursins R um 5.83 einingar og myndar 30.96° horn við x-ásinn.
Spurning 2
Gefin eru tveir vigrar í þremur víddum:
– A er (3i + 2j + 1k)
– B er (1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})
Ákvarðið resultantvigurinn R.
Umræða
Fyrst greinum við íhluti hvers vektors:
– Vigur A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– Vigur B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
Hér er summa íhlutanna:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
Þá er niðurstöðuvigurinn R:
\[ R = (4, 6, 3) \]
Til að reikna lengd (stuðull) vigursins R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \u.þ.b. 7.81 \]
Hægt er að reikna út stefnu vigursins R miðað við x-, y- og z-ásana með kósínus stefnunnar:
[cos(α) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \u.þ.b. 0.512 \]
[α = arccos(0.512) u.þ.b. 59.50]
[cos(β) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \u.þ.b. 0.768 \]
[β = arccos(0.768) = u.þ.b. 39.50]
[cos(γ) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \u.þ.b. 0.384 \]
[γ = arccos(0.384) u.þ.b. 67.64]
Þannig er lengd vigursins R um 7.81 einingar og stefnur hans miðað við x-, y- og z-ásana eru 59.50°, 39.50° og 67.64°.
Spurning 3
Gefin eru tveir vigrar:
– P hefur stærðargráðuna 4 einingar og myndar 45° horn við jákvæða x-ásinn.
– Q hefur stærðina 6 einingar og myndar 120° horn við jákvæða x-ásinn.
Ákvarðið resultantvigurinn R.
Umræða
Fyrst brjótum við vigurinn niður í x- og y-hluta sína:
– Vigur P: (P_x = 4cos(45^circ) = 4 ⋅²/2/2.83), (P_y = 4sin(45^circ) = 4 ⋅²/2/2.83).
– Vigur Q: (Q_x = 6 cos(120^circ) = 6 (-frac{1}{2}) = -3), (Q_y = 6 sin(120^circ) = 6 frac{\sqrt{3}}{2} u.þ.b. 5.2).
Hér er summa íhlutanna:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
Þá er niðurstöðuvigurinn R:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
Til að reikna lengd (stuðull) vigursins R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \u.þ.b. 8.03 \]
Stefna vigursins R:
[\tan(\heta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
[þeta = arctan(-47.24) u.þ.b. -88.99]
Hins vegar er þetta horn mælt um neikvæðu x-ásinn, þannig að raunverulegt horn í samhengi dæmisins er:
\[ 180^\hringrás – 88.99^\hringrás \u.þ.b. 91.01^\hringrás \]
Þannig er lengd vigursins R um 8.03 einingar og myndar 91.01° horn við jákvæða x-ásinn.
Þessi grein fjallar um þáttabundna vigursamlagningu og gefur nokkur dæmi um vandamál og lausnir. Þáttabundna aðferðin er mjög gagnleg til að einfalda útreikninga og veita kerfisbundna leið til að leysa vigurvandamál í stærðfræðilegri vídd rúmsins.
