Dæmispurningar og umræða um vigurfrádrátt
Pendahuluan
Í stærðfræði og eðlisfræði eru vigur grundvallarhugtak sem notað er til að útskýra mörg náttúrufyrirbæri og verkfræðifyrirbæri. Vigur er stærð sem hefur bæði stærð og stefnu. Nokkur mikilvæg dæmi um vigra eru tilfærsla, hraði, hröðun og kraftur. Í þessari grein munum við ræða vigurfrádrátt, þó að þetta efni sé oft áréttað í samhengi við vigursamsetningar.
Vigurfrádráttur er grundvallaraðgerð sem er mikilvæg í vigurgreiningu. Til að kafa dýpra í þetta hugtak skulum við skoða nokkur dæmi um vandamál og umræður sem tengjast vigurfrádrætti.
Vigurfrádráttur
Vigurfrádrátturinn {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} er skilgreindur sem aðgerðin að leggja vigurinn {\displaystyle \mathbf{A}} saman við vigurinn {\displaystyle -\mathbf{B}}, þar sem {\displaystyle -\mathbf{B}} er vigur með sömu stærðargráðu og {\displaystyle \mathbf{B}} en með gagnstæða stefnu. Stærðfræðilega má rita þetta sem:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1: Að draga frá tvívíddarvigra
Segjum sem svo að það séu tveir vigrar í kartesískum hnitum:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} og {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Reiknið {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Umræða:
Fyrsta skrefið er að finna neikvæða vektorinn af {\displaystyle \mathbf{B}}, þ.e.:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Næst skaltu leggja saman vektorinn {\displaystyle \mathbf{A}} með {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Framkvæmdu vigursamlagningu með því að leggja saman hverja x- og y-hluta:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Þannig að niðurstaðan af því að draga frá vigrunum A – B er vigrinn (3, 1).
Spurning 2: Að draga frá þrívíddarvigra
Gefin eru tveir vigrar í þrívíddarhnitum:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} og {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Reiknið {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Umræða:
Fyrsta skrefið er að finna neikvæða vektorinn fyrir {\displaystyle \mathbf{Q}}:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Næst skaltu leggja saman vektorinn {\displaystyle \mathbf{P}} með {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Framkvæmdu vigursamlagningu með því að leggja saman hverja x-, y- og z-þátt:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Þannig að niðurstaðan af því að draga frá vigrunum P – Q er vigrinn (5, -9, -1).
Spurning 3: Vigurfrádráttur í flóknu plani
Segjum sem svo að það séu tveir vigrar sem eru táknaðir með tvinntölum:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} og {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Reiknið {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Umræða:
Fyrsta skrefið er að finna neikvæða vektorinn af {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Næst skaltu leggja saman vektorinn {\displaystyle \mathbf{M}} með {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Framkvæmdu vigursamlagningu með því að leggja saman hvern raunþátt og ímyndaðan þátt:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Þannig að niðurstaðan af því að draga vigrana {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} er tvinntalan 2 + 2i.
Spurning 4: Vigurfrádráttur í pólhnitakerfinu
Segjum sem svo að það séu tveir vigrar í pólhnitum:
hefur stærðargráðuna 5 og hornið 30°,
og V hefur stærðargráðuna 3 og hornið 150°.
Reiknaðu U – V.
Umræða:
Fyrsta skrefið er að breyta vigrunum {\displaystyle \mathbf{U}} og {\displaystyle \mathbf{V}} í kartesísk hnit.
Fyrir {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33
U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Þannig að U í kartesískri lögun er (4.33, 2.5).
Fyrir {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 sin(150^\circ) = 3 (frac{1}{2}) = 3 0.5 = 1.5
Þannig að V í kartesískri lögun er (-2.598, 1.5).
Næsta skref, reiknaðu vigurfrádráttinn í kartesískri lögun:
\mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Sem þýðir með því að bæta við neikvæðu vigursins:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
U – V = (6.928, 1)
Þannig að niðurstaðan af því að draga frá vektorinn {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} í kartesískum hnitum er (6.928, 1).
Niðurstaða
Vigurfrádráttur er nauðsynleg stærðfræðileg aðgerð á mörgum sviðum sem nota vigurgreiningu. Hvort sem er í tvívíðum, þrívíðum, flóknum eða pólhnitakerfum, þá er grunnreglan sú sama: að leggja einn vigur við neikvæðan annan. Dæmin hér að ofan sýna ýmsar leiðir til að beita þessari aðgerð í mismunandi samhengi og hjálpa okkur að skilja hugtakið dýpra og betur.
