पुली के ऊपर डोरी द्वारा जुड़ी गतिशील वस्तुएँ: एटवुड मशीन – समस्याएँ और समाधान

10. पुली के ऊपर डोरी द्वारा जुड़ी गतिशील वस्तुएँ: एटवुड मशीन – समस्याएँ और समाधान

1. एक समतल क्षैतिज सतह पर 5 किलोग्राम द्रव्यमान का ब्लॉक A रखा है। 3 किलोग्राम द्रव्यमान का ब्लॉक B, पुली के ऊपर ब्लॉक A से जुड़ी डोरी के एक सिरे से लटका हुआ है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है ^{। दोनों ब्लॉकों का} त्वरण क्या है?

ज्ञात :

ब्लॉक A का द्रव्यमान (मील)_A) = 5 किलो

ब्लॉक B का द्रव्यमान (m _B ) = 3 kg

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक B का भार (w _B ) = m _B g = (3)(10) = 30 न्यूटन

दोनों ब्लॉकों का त्वरण ज्ञात करना है (a)

समाधान:

समतल सतह चिकनी है, इसलिए कोई घर्षण बल नहीं है। दोनों ब्लॉकों को गति देने वाला बल ब्लॉक B का भार है।

ΣF = ma

w _B = (m _A + m _B ) a

30 = (5 + 3) ए

30 = 8 ए

ए = 30 / 8

a = 3.75 m/s ²

2.

ऊपर दिए गए चित्र के आधार पर,

(1) वस्तु का त्वरण = 0

(2) वस्तु स्थिर वेग से गति करती है

(3) विराम अवस्था में वस्तु

(4) वस्तु गति करती है यदि वस्तु का भार उस बल से कम है जो वस्तु को खींचता है।

समाधान:

(1) वस्तु का त्वरण = 0.

शुद्ध बल :

∑ F = ma –> त्वरण (a) = 0

∑ F = 0

F ₁ + F ₂ – F ₃ = 12 + 24 – 36 = 36 – 36 = 0 N

(2) वस्तु स्थिर वेग से गति करती है

त्वरण न होने का अर्थ है कि वस्तु विराम अवस्था में है या स्थिर वेग से गतिमान है।

(3) विराम अवस्था में वस्तु

कोई शुद्ध बल न होने का अर्थ है वस्तु का विराम अवस्था में होना।

(4) वस्तु गति करती है यदि वस्तु का भार उस बल से कम है जो वस्तु को खींचता है।

वजन ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है, जबकि खिंचाव बल क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।

वस्तु क्षैतिज दिशा में गति करती है, इसलिए वस्तु पर केवल क्षैतिज बल ही कार्य करते हैं।

3. यदि ब्लॉक A और मेज की सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है, तो ब्लॉक A पर कितना बल कार्य करता है जिससे यह प्रणाली 2 m/ ^s² के त्वरण से बाईं ओर गति करती है?

ज्ञात :

ब्लॉक A का द्रव्यमान (मील)_A) = 30 किलो

ब्लॉक A का भार (w _A ) = (30 kg)(10 m/s ² ) = 300 kg m/s ² या 300 न्यूटन

ब्लॉक B का द्रव्यमान (m _B ) = 20 kg

ब्लॉक B का भार (w _B ) = (20 kg)(10 m/s ² ) = 200 kg m/s ² या 200 न्यूटन

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

_गतिज घर्षण गुणांक ( μk ) = 0.1

सिस्टम (a) का त्वरण = 2 m/s² ⁽ बाईं ओर)

गतिज घर्षण बल (f _k ) = μ _k N = μ _k w _A = (0.1)(300) = 30 न्यूटन

बल F का परिमाण ज्ञात करना है।

समाधान:

न्यूटन का दूसरा नियम:

ΣF = ma

वस्तु A बाईं ओर गति करती है:

F – f _k – w _B = (m _A + m _B ) a

F – 30 – 200 = (30 + 20)(2)

एफ – 230 = (50)(2)

एफ – 230 = 100

एफ = 230 + 100

F = 330 न्यूटन

4. दो वस्तुएँ, A = 2 kg और B = 6 kg, एक डोरी के एक सिरे से एक पुली के ऊपर से बंधी हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² है, ^तो वस्तु B का त्वरण क्या होगा?

ज्ञात :

वस्तु A का द्रव्यमान (मील में)_A) = 2 कि.ग्रा., मी._B = 6 kg, g = 10 m/s²

वस्तु A का भार (w _A ) = (m _A )(g) = (2)(10) = 20 N

वस्तु B का भार (w _B ) = (m _B )(g) = (6)(10) = 60 N

वांछित: वस्तु b का त्वरण (प्रणाली का त्वरण)।

समाधान:

w _B > w _A , जिससे वस्तु B नीचे की ओर गति करती है और वस्तु A ऊपर की ओर गति करती है।

ΣF = ma

w _B – w _A = (m _A + m _B ) a

60 – 20 = (2 + 6) a

40 = (8) ए

a = 5 m/s ²

5. दो वस्तुएँ एक चिकनी पुली के ऊपर एक डोरी से जुड़ी हुई हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि m ₁ = 1 kg, m ₂ = 2 kg, और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² है ^, तो तनाव बल T क्या है?

ज्ञात :

वस्तु 1 का द्रव्यमान (मील)₁) = 1 किलो

वस्तु 2 का द्रव्यमान (m² ₎ = 2 kg

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वस्तु 1 का भार (w ₁ ) = m ₁ g = (1 kg)(10 m/s ² ) = 10 kg m/s ² या 10 न्यूटन

वस्तु 2 का भार (w ₂ ) = m ₂ g = (2 kg)(10 m/s ² ) = 20 kg m/s ² या 20 न्यूटन

ज्ञात करना है: तनाव बल (T)?

समाधान:

w ₂ > w ₁ इसलिए m ₂ नीचे की ओर गति करता है , m ₁ ऊपर की ओर गति करता है ।

न्यूटन का गति का दूसरा नियम :

ΣF = ma

w ₂ – w ₁ = (m ₁ + m ₂ ) a

20 – 10 = (1 + 2 ) a

10 = (3) ए

a = 3.3 m/s ²

सिस्टम का त्वरण = 3.3 मीटर/सेकंड² ^।

m ₂ नीचे की ओर बढ़ता है:

w ₂ – T ₂ = m ₂ a

20 – टी ₂ = (2)(3.33)

20 – टी ₂ = 6.66

टी ₂ = 20 – 6.66

T ₂ = 13.3 न्यूटन

m ₁ ऊपर की ओर बढ़ता है :

T ₁ – w ₁ = m ₁ a

टी ₁ – 10 = (1)(3.3)

टी ₁ – 10 = 3.33

टी ₁ = 10 + 3.33

T ₁ = 13.3 न्यूटन

तनाव बल (T) = 13.3 न्यूटन।

_{6. m1} का द्रव्यमान 6 kg और m2 का द्रव्यमान ₄ kg है। क्षैतिज सतह चिकनी है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है ^। सिस्टम का त्वरण क्या है?

ज्ञात :

द्रव्यमान m₁ = 6 किलो

_{m 2} का द्रव्यमान = 4 kg

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

_{w 1} का भार = m ₁ g = (6 kg)(10 m/s ² ) = 60 kg m/s ² या 60 न्यूटन

वजन w ₂ = m ₂ g = (4 kg)(10 m/s ² ) = 40 kg m/s ² या 40 न्यूटन

वांछित: प्रणाली का त्वरण (a)

समाधान:

m _{1 को} घर्षण रहित एक चिकने क्षैतिज तल पर इस प्रकार रखा जाता है कि सिस्टम ब्लॉक 2 के वजन से त्वरित हो।

न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करें:

∑ F = ma

w ₂ = (m ₁ + m ₂ ) a

40 N = (6 kg + 4 kg) a

40 N = (10 kg) a

a = 40 N / 10 kg

a = 4 m/s ²

7. दो ब्लॉक, जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान 2 किलोग्राम है, एक डोरी द्वारा एक पुली से जुड़े हुए हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। क्षैतिज तल और पुली चिकने हैं। यदि ब्लॉक B को 40 न्यूटन के क्षैतिज बल द्वारा खींचा जाता है, तो ब्लॉक B का त्वरण क्या होगा? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

ब्लॉक A का द्रव्यमान (मी)_A) = ब्लॉक B का द्रव्यमान (मी)_B) = 2 किलो

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

बल F = 40 N

वस्तु A का भार (w _A ) = mg = (2)(10) = 20 N

वांछित : सिस्टम का त्वरण (a) ?

समाधान:

न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करें:

∑ F = ma

F – w _A = (m _A + m _B ) a

40 – 20 = (2 + 2) a

20 = (4) ए

ए = 20 / 4

a = 5 m/s ²

8. ब्लॉक A का द्रव्यमान 2 kg और ब्लॉक B का द्रव्यमान 1 kg है। ब्लॉक B प्रारंभ में स्थिर अवस्था में है, फिर नीचे की ओर त्वरित होकर जमीन से टकराता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² है ^। तनाव बल का परिमाण क्या है?

ज्ञात :

ब्लॉक A का द्रव्यमान (मील)_A) = 2 किलो

ब्लॉक B का द्रव्यमान (m _B ) = 1 kg

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक B का भार (w _B ) = m _B g = (1)(10) = 10 न्यूटन

वांछित है: तनाव बल (T) का परिमाण।

समाधान:

घर्षण बल को नजरअंदाज करें।

प्रणाली का त्वरण (a)

∑ F = ma

w _B = (m _A + m _B ) a

10 = (2 + 1) ए

10 = 3 ए

ए = 10/3

तनाव बल (T)

ब्लॉक A पर लगने वाला तनाव बल:

∑ F = ma

T = m _A a = (2)(10/3) = 20/3 = 6.7 न्यूटन

ब्लॉक B पर लगने वाला तनाव बल:

∑ F = ma

w _B – T = m _B a

10 – टी = (1)(10/3)

10 – टी = 3.3

T = 10 – 3.3 = 6.7 न्यूटन

तनाव बल (T) = 6.7 न्यूटन

9. ब्लॉक A का द्रव्यमान = 2 kg और ब्लॉक B का द्रव्यमान = 1 kg है। वस्तु A और क्षैतिज तल के बीच घर्षण बल = 2.5 न्यूटन है। पुली और डोरी पर घर्षण को अनदेखा करें। दोनों ब्लॉकों का त्वरण क्या है?

ज्ञात :

ब्लॉक A का द्रव्यमान (मील)_A) = 2 किलो

ब्लॉक B का द्रव्यमान (m _B ) = 1 kg

लॉक a और क्षैतिज तल के बीच घर्षण बल (f _kA ) = 2.5 न्यूटन

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक का भार (w _B ) = m _B g = (1)(10) = 10 न्यूटन

वांछित: दोनों ब्लॉकों का त्वरण (a)

समाधान:

न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करें:

∑ F = ma

w _B – f _k = (m _A + m _B ) a

10 – 2.5 = (2 + 1) a

7.5 = 3 ए

ए = 7.5 / 3

a = 2.5 m/s ²

10. ब्लॉक A का द्रव्यमान 30 kg है और यह एक क्षैतिज तल पर रखा है, जो पुली के ऊपर लगे 10 kg द्रव्यमान वाले ब्लॉक B से जुड़ा है। इस प्रणाली का त्वरण क्या है? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 ms⁻² ^है ।

ज्ञात :

ब्लॉक A का द्रव्यमान (मील)_A) = 30 किलो

ब्लॉक B का द्रव्यमान (m _B ) = 10 kg

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ब्लॉक B का भार (w _B ) = m _B g = (10)(10) = 100 न्यूटन

वांछित: प्रणाली का त्वरण (a)

समाधान:

∑ F = ma

w _B = (m _A + m _B ) a

100 = (30 + 10) ए

100 = 40 ए

ए = 100 / 40

a = 2.5 m/s ²