वृत्ताकार गति – समस्याएं और समाधान

वृत्ताकार गति – समस्याएं और समाधान

1. 10 किलोग्राम की एक वस्तु 4 मीटर/सेकंड की स्थिर गति से एक वृत्त में घूमती है। यदि वृत्त की त्रिज्या 0.5 मीटर है, तो:

1) वृत्तों की आवृत्ति 4/π हर्ट्ज़ है

2) अभिकेन्द्रीय त्वरण 32 ^ms⁻² है

3) अभिकेन्द्र बल 320 N है।

4) आवर्तकाल 4π सेकंड है।

इनमें से कौन से कथन सत्य हैं?

ज्ञात :

वस्तु का द्रव्यमान (मीटर) = 10 किलोग्राम

रेखीय वेग (v) = 4 मीटर/सेकंड

वृत्त की त्रिज्या (r) = 0.5 मीटर

समाधान:

1) वृत्त की आवृत्ति

v = 2 π rf

4 = 2 π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π हर्ट्ज़

2) अभिकेन्द्रीय त्वरण

a _s = v ² / r = 4 ² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/s ²

3) अभिकेन्द्रीय बल

F = ma _s = (10)(32) = 320 N

4) अवधि

टी = 1 : एफ = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. एक वस्तु 6 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त में गति करती है। यदि वस्तु 2 मिनट में 16 वृत्त पूरे करती है, तो वस्तु का रेखीय वेग क्या है?

ज्ञात :

त्रिज्या (r) = 6 मीटर

कोणीय वेग (ω) = 16 चक्कर / 2 मिनट = 8 चक्कर / मिनट = 8 चक्कर / 60 सेकंड = 0.13 चक्कर / सेकंड।

ज्ञात करना है: रेखीय वेग (v)?

समाधान:

v = r ω = (6 मीटर)(0.13 चक्कर/सेकंड) = 0.8 मीटर/सेकंड

रेडियन में:

1 चक्कर = 2π रेडियन = 2(3.14) = 6.28 रेडियन

कोणीय वेग = 8 (6.28) रेडियन / 60 सेकंड = 50.24 रेडियन / 60 सेकंड = 0.84 रेडियन/सेकंड

v = r ω = (6 मीटर)(0.84 रेडियन/सेकंड) = 5.04 रेडियन/सेकंड.

3. 20/π सेमी त्रिज्या वाली एक वस्तु 1 सेकंड में 4 बार घूमती है। वस्तु के किनारे का रेखीय वेग क्या है?

ज्ञात :

त्रिज्या (r) = 20/π सेमी = 20 / 3.14 सेमी = 6.4 सेमी = 0.064 मीटर

कोणीय वेग (ω) = 4 चक्कर / 1 सेकंड = 4 चक्कर / सेकंड।

1 चक्कर = (2)(3.14) रेडियन = 6.28 रेडियन

कोणीय वेग (ω) = (4)(6.28) रेडियन/सेकंड = 25.12 रेडियन/सेकंड

वांछित: वस्तु के किनारे का रेखीय वेग (v)

समाधान:

v = r ω = (0.064 मीटर)(25.12 रेडियन/सेकंड) = 1.6 मीटर/सेकंड

4. एक वस्तु स्थिर गति से वृत्त में घूम रही है, वस्तु का रेखीय वेग किस पर निर्भर करता है…

समाधान:

वृत्ताकार गति के रेखीय वेग का समीकरण:

v = रेखीय वेग

d = 2πr = परिधि

T = आवर्तकाल = एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाला समय।

5. एक वस्तु 50 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त में गति करती है। यदि वस्तु की कोणीय गति 120 आरपीएम है, तो आवर्तकाल और वस्तु का रेखीय वेग क्या होगा?

ज्ञात :

त्रिज्या (r) = 50 सेमी = 0.5 मीटर

कोणीय वेग (ω) = 120 आरपीएम = 120 चक्कर / 1 मिनट = 120 चक्कर / 60 मिनट = 2 चक्कर / 1 सेकंड

1 चक्कर = 2π रेडियन

कोणीय वेग (ω) = 2 (2π रेडियन) / 1 सेकंड = 4π रेडियन/सेकंड

ज्ञात करना है: समय अंतराल (T) और रेखीय गति (v)

समाधान:

अवधि (टी):

आवर्तकाल एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगने वाला समय है।

एक वस्तु 1 सेकंड में दो चक्कर लगाती है = 0.5 सेकंड में 1 चक्कर। आवर्तकाल = 0.5 सेकंड।

रेखीय वेग (v):

v = r ω = (0.5 मीटर)(4π रेडियन/सेकंड) = 2π मीटर/सेकंड.

1. वृत्ताकार गति में स्पर्शरेखीय गति और कोणीय गति में क्या अंतर है?

   उत्तर : स्पर्शरेखीय गति किसी घूर्णनशील वस्तु पर स्थित बिंदु की रेखीय गति होती है और यह दर्शाती है कि वह बिंदु अपने वृत्ताकार पथ पर कितनी तेज़ी से गति कर रहा है। दूसरी ओर, कोणीय गति यह बताती है कि वस्तु के घूर्णन के दौरान कोण में कितना परिवर्तन होता है। स्पर्शरेखीय गति को आमतौर पर मीटर प्रति सेकंड (m/s) में मापा जाता है, जबकि कोणीय गति को रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में मापा जाता है।

2. अभिकेन्द्रीय त्वरण क्या है और इसका वृत्ताकार गति से क्या संबंध है?

   उत्तर : अभिकेन्द्रीय त्वरण वह त्वरण है ^जो वृत्ताकार पथ पर गतिमान वस्तु द्वारा अनुभव किया जाता है। यह हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर इंगित करता है और वस्तु को उसके वृत्ताकार पथ पर बनाए रखने के लिए जिम्मेदार होता है। अभिकेन्द्रीय त्वरण का सूत्र ac = v²/r है, जहाँ v स्पर्शरेखीय गति _है और $r$ वृत्त $की$ त्रिज्या है।

3. एकसमान वृत्ताकार गति में किसी वस्तु की गति स्थिर होने पर भी उसमें त्वरण क्यों होता है?

   उत्तर : एकसमान वृत्ताकार गति में वेग का परिमाण (या आकार) स्थिर रहता है, लेकिन वेग की दिशा बदलती रहती है। चूंकि त्वरण को वेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है, और वेग एक सदिश राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, इसलिए दिशा में कोई भी परिवर्तन त्वरण कहलाता है। इस मामले में, यह अभिकेन्द्रीय त्वरण है।

4. वृत्ताकार गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल का वस्तु के द्रव्यमान और वृत्त की त्रिज्या से क्या संबंध है?

   उत्तर : वृत्ताकार गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल अभिकेन्द्रीय बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: Fc = m _× a / c ₌ m × v² / r । समीकरण से स्पष्ट है कि आवश्यक बल वस्तु के द्रव्यमान के सीधे समानुपाती और वृत्त की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है ^।

5. जब कोई कार अचानक मोड़ लेती है (जैसे कि गोल चक्कर में), तो आपको बाहर की ओर धकेले जाने का अहसास क्यों होता है?

   उत्तर : यह "काल्पनिक" अपकेंद्रीय बल के कारण होता है, जो एक वृत्ताकार पथ पर गतिमान वस्तु पर लगने वाला एक आभासी बल है। यह धक्का या खिंचाव के अर्थ में कोई वास्तविक बल नहीं है, बल्कि जड़त्व का प्रभाव है। आपका शरीर सीधी रेखा में चलना चाहता है (न्यूटन का पहला नियम), लेकिन कार की दीवारें या सीट बेल्ट आपको वृत्ताकार गति में बनाए रखने के लिए बल लगाते हैं। इससे आपको बाहर की ओर धकेले जाने का अहसास होता है।

6. वृत्ताकार गति में घर्षण की क्या भूमिका होती है, विशेषकर जब कोई कार सड़क पर मुड़ रही हो?

   उत्तर : टायरों और सड़क के बीच घर्षण ही आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है जिससे कार मुड़ पाती है। पर्याप्त घर्षण के बिना, कार फिसल जाएगी या स्किड करेगी और अपने निर्धारित वृत्ताकार पथ पर नहीं चल पाएगी।

7. यदि वृत्ताकार पथ की त्रिज्या आधी कर दी जाए लेकिन गति समान रहे, तो अभिकेन्द्र बल में क्या परिवर्तन आएगा?

   उत्तर : यदि त्रिज्या को आधा कर दिया जाए और गति समान रहे, तो अभिकेन्द्र बल दोगुना हो जाएगा, क्योंकि अभिकेन्द्र बल त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

8. वृत्ताकार गति में अभिकेन्द्र बल के बिना अपकेन्द्र बल क्यों नहीं हो सकता?

   उत्तर : अपकेंद्रीय बल एक प्रतिक्रियात्मक या काल्पनिक बल है जो घूर्णनशील संदर्भ फ्रेम में देखा जाता है। यह बल वस्तुओं को घूर्णन केंद्र से बाहर की ओर धकेलता हुआ प्रतीत होता है। हालांकि, किसी वस्तु को वृत्ताकार पथ पर गति करने के लिए, केंद्र की ओर कार्य करने वाला एक वास्तविक बल होना आवश्यक है, जिसे अभिकेन्द्रीय बल कहते हैं। अभिकेन्द्रीय बल के बिना, वृत्ताकार गति संभव ही नहीं होगी, और इसलिए अपकेंद्रीय बल का कोई आभास भी नहीं होगा।

9. पृथ्वी और चंद्रमा के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा की वृत्ताकार कक्षा के लिए कैसे जिम्मेदार है?

   उत्तर : पृथ्वी और चंद्रमा के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेन्द्र बल का काम करता है, जो चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर अपनी कक्षा में बनाए रखता है। इस गुरुत्वाकर्षण बल के बिना, चंद्रमा अपनी वृत्ताकार (या अधिक सटीक रूप से, अंडाकार) कक्षा के बजाय एक सीधी रेखा में गति करेगा।

10. यदि किसी गेंद से बंधी डोरी को उसी गति से गेंद को वृत्त में घुमाते समय आधा कर दिया जाए, तो डोरी में तनाव कैसे बदलेगा?

उत्तर : यदि गति को स्थिर रखते हुए डोरी की लंबाई (जो वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के बराबर होती है) को आधा कर दिया जाए, तो आवश्यक अभिकेन्द्र बल (और इस प्रकार डोरी में तनाव) दुगुना हो जाएगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि अभिकेन्द्र बल (और इस स्थिति में तनाव भी) त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।