परवलयिक गति के समय अंतराल को निर्धारित करने के लिए एक प्रश्न का उदाहरण

परवलयिक गति के समय अंतराल को निर्धारित करने के लिए प्रश्नों के 4 उदाहरण

1. गेंद को 30 डिग्री के कोण पर ऊपर की ओर उछाला जाता है।^o एक गेंद 10 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से मैदान की सतह पर गिरती है। गेंद को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण का त्वरण = 10 मी/से²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 30^o
रफ़्तार आरंभ (क्रिया)_o) = 10 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: गेंद को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल
उत्तर :
ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = वी_o sin θ = (10 m/s)(sin 30^o) = (10 मीटर/सेकंड)(0,5) = 5 मीटर/सेकंड

गेंद को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाले समय अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है। ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति.
ऊर्ध्वाधर गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है। सदिश मात्रा नीचे की दिशा को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 5 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
अंतिम वेग (v)_t) = 0 (अधिकतम ऊंचाई पर, वस्तु दिशा बदलने से पहले एक क्षण के लिए स्थिर रहती है)
पूछा गया: समय अंतराल (t)
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_o, जी और वी_tt से पूछा गया इसलिए सूत्र v का उपयोग किया जाता है_t = वी_o + जीटी
v_t = वी_o + जीटी
0 = 5 + (-10)t
0 = 5 – 10 t
5 = 10 टी
t = 5/10 = 0,5 सेकंड
गेंद को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में 0,5 सेकंड का समय लगता है।

2. गेंद को 30 डिग्री के कोण पर ऊपर की ओर फेंका जाता है।^o एक गेंद 8 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से क्षैतिज दिशा में उड़ती है। गेंद को वहाँ पहुँचने में कितना समय लगेगा?परवलयिक गतिगुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मीटर/सेकंड²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 30^o
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 8 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: गेंद को परवलय में घूमने में लगने वाला समय अंतराल
उत्तर :
ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = वी_o sin θ = (8 m/s)(sin 30^o) = (8 मीटर/सेकंड)(0,5) = 4 मीटर/सेकंड

सबसे पहले, ऊर्ध्वाधर गति के सूत्र का उपयोग करके वस्तु द्वारा अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लगने वाले समय अंतराल की गणना करें।
ऊर्ध्वाधर गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है, जबकि नीचे की ओर निर्देशित सदिश राशि को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 4 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
अंतिम वेग (v)_t) = 0 (अधिकतम ऊंचाई पर, वस्तु दिशा बदलने से पहले एक क्षण के लिए स्थिर रहती है)
पूछा गया: समय अंतराल (t)
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_o, जी और वी_tt से पूछा गया इसलिए सूत्र का उपयोग किया जाता है v_t = वी_o + जीटी
v_t = वी_o + जीटी
0 = 4 + (-10)t
0 = 4 – 10 t
4 = 10 टी
t = 4/10 = 0,4 सेकंड
गेंद को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में 0,4 सेकंड का समय लगता है।
गेंद का प्रक्षेप पथ सममित है, इसलिए गेंद को ऊपर की ओर जाने में लगने वाला समय अंतराल और नीचे की ओर जाने में लगने वाला समय अंतराल बराबर है। अतः कुल समय अंतराल 2 x 0,4 सेकंड = 0,8 सेकंड है।

3. गोली को 30° के कोण पर ऊपर की ओर दागा जाता है।^o जमीन से 10 मीटर ऊपर एक बिंदु से क्षैतिज रूप से एक गोली फेंकी जाती है। गोली का प्रारंभिक वेग 40 मीटर/सेकंड है। गोली को जमीन तक पहुंचने में कितना समय लगेगा? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है।²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 30^o
प्रारंभिक ऊँचाई (h)_o) = 10 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 40 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: गोली हवा में जितने समय तक रहती है
उत्तर :
ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = वी_o sin θ = (40 m/s)(sin 30^o) = (40 मीटर/सेकंड)(0,5) = 20 मीटर/सेकंड

सबसे पहले, ऊर्ध्वाधर गति के सूत्र का उपयोग करके गोली द्वारा अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लगने वाले समय अंतराल की गणना करें।
ऊर्ध्वाधर गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है, जबकि नीचे की ओर निर्देशित सदिश राशि को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 20 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
अंतिम वेग (v)_t) = 0 (अधिकतम ऊंचाई पर, वस्तु दिशा बदलने से पहले एक क्षण के लिए स्थिर रहती है)
पूछा गया: समय अंतराल (t)
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_o, जी और वी_tt से पूछा गया इसलिए सूत्र का उपयोग किया जाता है v_t = वी_o + जीटी
v_t = वी_o + जीटी
0 = 20 + (-10)t
0 = 20 – 10 t
20 = 10 टी
t = 20/10 = 2 सेकंड
गेंद को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में 2 सेकंड का समय लगता है।
गेंद का प्रक्षेप पथ सममित है, इसलिए गेंद हवा में 2 x 2 सेकंड = 4 सेकंड तक रहती है।

जमीन से 10 मीटर ऊपर एक बिंदु से एक गोली दागी जाती है। गेंद को अपने प्रारंभिक बिंदु तक पहुंचने में 4 सेकंड लगते हैं। गेंद नीचे की ओर गति करती रहती है।

10 मीटर की ऊंचाई से गेंद के नीचे आने में लगने वाले समय अंतराल की गणना उसी प्रकार की जाती है जैसे मुक्त पतन गति के लिए समय अंतराल की गणना की जाती है।
ह ज्ञात है कि:
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
ऊँचाई (h) = 10 मीटर
पूछा गया: समय अंतराल (t)
उत्तर :
g, h दिए गए हैं और t पूछा गया है ताकि मुक्त पतन गति का उपयोग किया जा सके। h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt²
10 = 1/2 (10) टी²
10 = 5 टी²
t² = १८.१/२.५५ = ७.१
t = √2 = 1,4 सेकंड
10 मीटर की ऊंचाई से गोली गिरने में 1,4 सेकंड का समय लगता है।

गोली हवा में कुल 4 सेकंड + 1,4 सेकंड = 5,4 सेकंड तक रहती है।

4. एक कंचे को 5 मीटर की ऊंचाई से दाईं ओर क्षैतिज रूप से 15 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है। कंचे के हवा में रहने का समय अंतराल ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मीटर/सेकंड²²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
ऊँचाई (h) = 5 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 15 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: जितनी देर तक कंचा हवा में रहता है
उत्तर :
चित्र में दिखाए अनुसार मार्बल का प्रक्षेप पथ है। मार्बल के हवा में रहने का समय अंतराल निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है। मुक्त पतन गति.
ह ज्ञात है कि:
ऊँचाई (h) = 5 मीटर
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²

पूछा गया: समय अंतराल (t)
उत्तर :
g, h दिए गए हैं और t पूछा गया है ताकि मुक्त पतन गति का उपयोग किया जा सके। h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt²
5 = 1/2 (10) टी²
5 = 5 टी²
t² = १८.१/२.५५ = ७.१
t = √1 = 1 सेकंड
5 मीटर की ऊंचाई से गोली गिरने में 1 सेकंड का समय लगता है।

[अंग्रेजी: प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को हल करना - समय अंतराल का निर्धारण ]