परवलय में गतिमान वस्तु की स्थिति निर्धारित करने के लिए पूछे गए प्रश्न का एक उदाहरण।

परवलय में गतिमान वस्तु की स्थिति निर्धारित करने से संबंधित प्रश्नों के 3 उदाहरण

1. गेंद को 60 डिग्री के कोण पर ऊपर की ओर फेंका जाता है।^o एक वस्तु 12 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से क्षैतिज रूप से गति कर रही है। 1 सेकंड तक चलने के बाद वस्तु की स्थिति ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण का त्वरण = 10 मी/से²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 60^o
रफ़्तार आरंभ (क्रिया)_o) = 12 मीटर/सेकंड
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: 1 सेकंड तक चलने के बाद गेंद की स्थिति
उत्तर :
सबसे पहले क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में गेंद के प्रारंभिक वेग के घटकों की गणना करें।
क्षैतिज दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_ox = वी_o cos θ = (12 m/s)(cos 60^o) = (12 मीटर/सेकंड)(0,5) = 6 मीटर/सेकंड

ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = वी_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (12 मीटर/सेकंड)(0,5√3) = 6√3 मीटर/सेकंड

परवलयिक गति को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति का संयोजन माना जाता है। क्षैतिज गति का विश्लेषण निम्न प्रकार से किया जाता है: एकसमान रेखीय गतिजबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण इस प्रकार किया जाता है: ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गतिक्षैतिज दिशा में किसी वस्तु की स्थिति की गणना उसी प्रकार की जाती है जैसे एक सीधी रेखा में स्थिर गति से चल रही वस्तु की दूरी निर्धारित की जाती है, इसके विपरीत ऊर्ध्वाधर दिशा में किसी वस्तु की स्थिति की गणना उसी प्रकार की जाती है जैसे ऊपर की ओर लंबवत गति कर रही वस्तु की ऊंचाई निर्धारित की जाती है।

क्षैतिज दिशा में गेंद की स्थिति:
ह ज्ञात है कि:
क्षैतिज दिशा में गेंद की गति (v)_x) = 6 मीटर/सेकंड
एकसमान सीधी गति में, वस्तु की गति स्थिर होती है, जिससे वस्तु की प्रारंभिक गति वस्तु की गति के बराबर होती है।
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
पूछा गया: वस्तुओं की दूरी
उत्तर :
6 मीटर प्रति सेकंड की गति का अर्थ है कि गेंद प्रति सेकंड 6 मीटर चलती है। 1 सेकंड के बाद गेंद द्वारा तय की गई दूरी 6 मीटर है। अतः, गेंद की क्षैतिज स्थिति 6 मीटर है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद की स्थिति:
ऊर्ध्वाधर गति की समस्या को हल करने में, सदिश मात्रा जिस सदिश की दिशा ऊपर की ओर होती है उसे धनात्मक चिह्न दिया जाता है, और जिस सदिश की दिशा नीचे की ओर होती है उसे ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
गेंद का प्रारंभिक वेग (v)_o) = 6√3 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे की दिशा में है)
पूछा गया: 1 सेकंड (घंटे) तक चलने के बाद गेंद की ऊंचाई
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_ot, g और h के लिए पूछा गया, इसलिए प्रयुक्त सूत्र यह है: h = v_o टी + 1/2 जीटी²
h = v_o टी + 1/2 जीटी² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 मीटर.

1 सेकंड तक चलने के बाद गेंद की स्थिति:
क्षैतिज दिशा (x) में गेंद की स्थिति = 6 मीटर
ऊर्ध्वाधर दिशा (y) में गेंद की स्थिति = 5,2 मीटर
अतः गेंद की स्थिति के निर्देशांक (x ; y) = (6 ; 5,2) हैं।

2. गोली को 30° के कोण पर ऊपर की ओर दागा जाता है।^o जमीन से 20 मीटर ऊपर एक बिंदु से क्षैतिज रूप से एक गोली चलाई जाती है। गोली का प्रारंभिक वेग 50 मीटर/सेकंड है। 1 सेकंड चलने के बाद गोली कितनी ऊंचाई तक पहुंचेगी? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है।²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 30^o
गोली की प्रारंभिक ऊंचाई (h)_o) = 20 मीटर
गोली का प्रारंभिक वेग (v)_o) = 50 मीटर/सेकंड
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: गोली की ऊंचाई
उत्तर :
ऊर्ध्वाधर दिशा में गोली का प्रारंभिक वेग:
सबसे पहले, ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद के प्रारंभिक वेग घटक की गणना करें।
v_oy = वी_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (50 मीटर/सेकंड)(0,5) = 25 मीटर/सेकंड

गोली की ऊंचाई:
गोली की ऊंचाई की गणना ऊर्ध्वाधर गति में ऊंचाई निर्धारित करके की जाती है।
ऊर्ध्वाधर गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है, जबकि नीचे की ओर निर्देशित सदिश राशि को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
गोली का प्रारंभिक वेग (v)_o) = 25 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे की ओर है)
पूछा गया: गोली की ऊंचाई (घंटा)
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_ot, g और h के लिए पूछा गया, इसलिए प्रयुक्त सूत्र यह है: h = v_o टी + 1/2 जीटी²
h = v_o टी + 1/2 जीटी² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 मीटर.
एक सेकंड तक चलने के बाद गोली की ऊंचाई, गोली दागे जाने के स्थान से 20 मीटर ऊपर या जमीन से 40 मीटर ऊपर होती है।

3. एक कंचे को 10 मीटर की ऊंचाई से दाईं ओर क्षैतिज रूप से 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है। 1 सेकंड की गति के बाद कंचे की स्थिति ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मीटर/सेकंड²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक ऊँचाई (h) = 10 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: 1 सेकंड तक हिलने के बाद कंचे की स्थिति
उत्तर :
चित्र में दिखाए अनुसार कंचे का प्रक्षेप पथ है। यदि प्रक्षेप पथ चित्र में दिखाए अनुसार परवलयिक है, तो वस्तु की ऊर्ध्वाधर स्थिति मुक्त पतन में ऊँचाई की गणना के समान निर्धारित की जाती है, जबकि क्षैतिज दिशा में वस्तु की स्थिति एकसमान सीधी गति में दूरी की गणना के समान निर्धारित की जाती है।
प्रारंभ में कंचा क्षैतिज दिशा में गति करता है, जिससे क्षैतिज दिशा में कंचे का प्रारंभिक वेग (v) होता है।_ox) का प्रारंभिक वेग 10 m/s है, जबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में कंचे का प्रारंभिक वेग (v) 10 m/s है।_oy) 0 मीटर/सेकंड है।

क्षैतिज दिशा में कंचों की स्थिति:
ह ज्ञात है कि:
क्षैतिज दिशा में कंचे की गति (v)_x) = 10 मीटर/सेकंड
एकसमान सीधी गति में, वस्तु की गति स्थिर होती है, जिससे वस्तु की प्रारंभिक गति वस्तु की गति के बराबर होती है।
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
पूछा गया: वस्तुओं की दूरी
उत्तर :
10 मीटर प्रति सेकंड की गति का अर्थ है कि कंचा प्रति सेकंड 10 मीटर चलता है। 1 सेकंड चलने के बाद कंचे द्वारा तय की गई दूरी 10 मीटर है। अतः, कंचे की क्षैतिज स्थिति 10 मीटर है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में कंचों की स्थिति:
विश्लेषण किया गया मुक्त पतन गति.
ह ज्ञात है कि:
समय अंतराल (t) = 1 सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: 1 सेकंड चलने के बाद कंचे की ऊंचाई (घंटे में)
उत्तर :
t और g दिए गए हैं और h पूछा गया है, इसलिए प्रयुक्त सूत्र है h = 1/2 gt²
h = 1/2 gt² = 1/2 (10)(1²) = (5)(1) = 5 मीटर.
1 सेकंड के बाद, कंचा 5 मीटर नीचे गिरता है। जमीन से कंचे की ऊंचाई 10 मीटर – 5 मीटर = 5 मीटर है।

1 सेकंड तक हिलने के बाद कंचे की स्थिति:
क्षैतिज दिशा (x) में संगमरमर की स्थिति = 10 मीटर
ऊर्ध्वाधर दिशा (y) में संगमरमर की स्थिति = 5 मीटर
अतः कंचे की स्थिति के निर्देशांक (x ; y) = (10 ; 5) हैं।

[अंग्रेज़ी : प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को हल करना – किसी वस्तु की स्थिति का निर्धारण करना]