परवलयिक गति की अंतिम गति निर्धारित करने के लिए एक प्रश्न का उदाहरण

परवलयिक गति की अंतिम गति निर्धारित करने से संबंधित प्रश्नों के 3 उदाहरण

1. गेंद को 30 डिग्री के कोण पर ऊपर की ओर उछाला जाता है।^o एक वस्तु 14 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से खेत की सतह के विरुद्ध चल रही है। कितना केसेपाटन जब गेंद मैदान की सतह पर पहुँचती है तो उसका अंतिम सिरा क्या होता है? गुरुत्वाकर्षण का त्वरण = 10 मी/से²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 30^o
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 14 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: जब गेंद कोर्ट की सतह पर पहुँचती है तो उसकी अंतिम गति
उत्तर :
गेंद का प्रक्षेप पथ चित्र में दिखाए अनुसार है।
गेंद के प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:
v_ox = वी_o cos θ = (14 m/s)(cos 30^o) = (14 मीटर/सेकंड)(0,5√3) = 7√3 मीटर/सेकंड
गेंद के प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:
v_oy = वी_o sin θ = (14 m/s)(sin 30^o) = (14 मीटर/सेकंड)(0,5) = 7 मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में गति का विश्लेषण एकसमान सीधी गति की तरह किया जाता है , जबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति की तरह किया जाता है ।

ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का अंतिम वेग
ऊपर की ओर गति करने के बाद, गेंद वापस नीचे की ओर आती है। जमीन पर गिरने पर गेंद का अंतिम वेग ऊर्ध्वाधर गति के सूत्र का उपयोग करके गणना किया जाता है।
ऊर्ध्वाधर गति की समस्या को हल करने में, सदिश मात्रा जिस सदिश की दिशा ऊपर की ओर होती है उसे धनात्मक चिह्न दिया जाता है, और जिस सदिश की दिशा नीचे की ओर होती है उसे ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 7 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
ऊंचाई (h) = 0 (गेंद अपनी मूल स्थिति में लौट आती है इसलिए ऊंचाई में परिवर्तन शून्य है)
पूछा गया: गेंद का अंतिम वेग (v)_t)
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_o, जी, एच और वी से पूछा_t इसलिए ऊर्ध्वाधर गति के लिए प्रयुक्त सूत्र यह है: v_t² = वी_o² + 2 घ

v_t² = वी_o² + 2 gh = 72 + 2(-10)(0) = 49 – 0 = 49
v_t = √49 = 7 मीटर/सेकंड
इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि ऊपर की ओर गति करते समय गेंद की प्रारंभिक गति, मैदान की सतह पर पहुँचने पर गेंद की अंतिम गति के बराबर होती है।

क्षैतिज दिशा में गेंद का अंतिम वेग
प्रारंभिक क्षैतिज वेग 7√3 मीटर/सेकंड है। एकसमान रेखीय गति में वेग स्थिर रहता है, इसलिए प्रारंभिक वेग अंतिम वेग के बराबर होता है। अतः, गेंद का अंतिम क्षैतिज वेग 7√3 मीटर/सेकंड है।

जब गेंद कोर्ट की सतह पर पहुँचती है तो उसकी अंतिम गति
गेंद का अंतिम वेग क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग और ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग का संयोजन होता है।

यदि गति का पथ ऊपर दिए गए चित्र की तरह परवलयिक है, तो प्रारंभिक वेग अंतिम वेग के बराबर होता है।

2. गोली को 30° के कोण पर ऊपर की ओर दागा जाता है।^o जमीन से 5 मीटर ऊपर एक बिंदु से क्षैतिज रूप से एक गोली फेंकी जाती है। गोली का प्रारंभिक वेग 10 मीटर/सेकंड है। जमीन पर पहुँचने पर गोली का अंतिम वेग क्या होगा? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है।²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 30^o
प्रारंभिक ऊँचाई (h)_o) = 5 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: जमीन पर पहुँचने पर गोली का अंतिम वेग
उत्तर :
गेंद के प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:
v_ox = वी_o cos θ = (10 m/s)(cos 30^o) = (10 मीटर/सेकंड)(0,5√3) = 5√3 मीटर/सेकंड
गेंद के प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:
v_oy = वी_o sin θ = (10 m/s)(sin 30^o) = (10 मीटर/सेकंड)(0,5) = 5 मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में गति का विश्लेषण एकसमान सीधी गति की तरह किया जाता है , जबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति की तरह किया जाता है ।

ऊर्ध्वाधर दिशा में गोली का अंतिम वेग
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 5 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
ऊंचाई (h) = -5 मीटर (ऋणात्मक क्योंकि जमीन की सतह प्रारंभिक ऊंचाई से नीचे है)
पूछा गया: गेंद का अंतिम वेग (v)_t)
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_o, जी, एच और वी से पूछा_t इसलिए ऊर्ध्वाधर गति के लिए प्रयुक्त सूत्र यह है: v_t² = वी_o² + 2 घ

v_t² = वी_o² + 2 gh = 5² + 2(-10)(-5) = 25 + 100 = 125
v_t = √125 मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में गोली का अंतिम वेग
प्रारंभिक क्षैतिज वेग 5√3 मीटर/सेकंड है। एकसमान रेखीय गति में वेग स्थिर रहता है, इसलिए प्रारंभिक वेग अंतिम वेग के बराबर होता है। अतः, गोली का अंतिम क्षैतिज वेग 5√3 मीटर/सेकंड है।

जमीन पर पहुँचने पर गोली का अंतिम वेग
गोली का अंतिम वेग क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग और ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग का संयोजन होता है।

3. एक कंचे को 12 मीटर की ऊंचाई से दाईं ओर क्षैतिज रूप से 8 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है। जमीन पर गिरने पर कंचे का अंतिम वेग क्या होगा? गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मीटर/सेकंड²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
ऊँचाई (h) = 12 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 8 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: अंतिम वेग (v)_tजब कंचे जमीन पर गिरते हैं
उत्तर :
मार्बल का प्रक्षेप पथ चित्र में दिखाया गया है।
क्षैतिज दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_ox = वी_o = 8 मी/से
ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = 0 मी/से

क्षैतिज दिशा में गति का विश्लेषण एकसमान सीधी गति की तरह किया जाता है , जबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण मुक्त पतन गति की तरह किया जाता है ।

ऊर्ध्वाधर दिशा में कंचे का अंतिम वेग
अंतिम वेग की गणना मुक्त पतन के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
ह ज्ञात है कि:
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
ऊँचाई (h) = 12 मीटर
पूछा गया: अंतिम वेग (v)_t)
उत्तर :
g, h दिए गए हैं और vt पूछा गया है, इसलिए मुक्त पतन गति का सूत्र v है।_t² = 2 जीएच
v_t² = 2 gh = 2(10)(12) = 240
v_t = √240 मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में कंचे का अंतिम वेग
प्रारंभिक क्षैतिज वेग 8 मीटर/सेकंड है। एकसमान रेखीय गति में वेग स्थिर रहता है, इसलिए प्रारंभिक वेग अंतिम वेग के बराबर होता है। अतः, कंचे का अंतिम क्षैतिज वेग 8 मीटर/सेकंड है।

जमीन की सतह पर पहुँचने पर कंचे का अंतिम वेग
कंचे का अंतिम वेग क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग और ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग का संयोजन होता है।

[अंग्रेजी: प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को हल करना - अंतिम वेग का निर्धारण ]