परवलयिक गति की अधिकतम दूरी निर्धारित करने के लिए एक प्रश्न का उदाहरण

परवलयिक गति की अधिकतम दूरी निर्धारित करने के लिए प्रश्नों के 3 उदाहरण

1. गेंद को 60 डिग्री के कोण पर ऊपर की ओर उछाला जाता है।^o एक गेंद 16 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से मैदान की सतह पर चढ़ती है। गेंद क्षैतिज रूप से कितनी दूरी तय करती है? गुरुत्वाकर्षण का त्वरण = 10 मी/से²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 60^o
रफ़्तार आरंभ (क्रिया)_o) = 16 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: क्षैतिज दूरी (सेकंड में)
उत्तर :
गेंद का प्रक्षेप पथ चित्र में दिखाए अनुसार है।
क्षैतिज दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_ox = वी_o cos θ = (16 m/s)(cos 60^o) = (16 मीटर/सेकंड)(0,5) = 8 मीटर/सेकंड
ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = वी_o sin θ = (16 m/s)(sin 60^o) = (16 मीटर/सेकंड)(0,5√3) = 8√3 मीटर/सेकंड

परवलयिक गति क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति का संयोजन है। इसलिए, परवलयिक गति का विश्लेषण इस प्रकार किया जाता है मानो यह दो अलग-अलग गतियों से मिलकर बनी हो। क्षैतिज गति का विश्लेषण एकसमान रेखीय गति के रूप में किया जाता है , और ऊर्ध्वाधर गति का विश्लेषण ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति के रूप में किया जाता है ।

गेंद का हवा में रहने का समय अंतराल
सबसे पहले, गेंद द्वारा परवलय में गति करने में लगने वाले समय की गणना करें। यह समय अंतराल ऊर्ध्वाधर गति के सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है।
ऊर्ध्वाधर गति की समस्या को हल करने में, सदिश मात्रा जिस सदिश की दिशा ऊपर की ओर होती है उसे धनात्मक चिह्न दिया जाता है, और जिस सदिश की दिशा नीचे की ओर होती है उसे ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 8√3 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
ऊंचाई (h) = 0 (जब गेंद अपनी मूल स्थिति में लौट आती है, तो गेंद की ऊंचाई में परिवर्तन शून्य होता है)
पूछा गया: वह समय अंतराल (t) जिसके दौरान गेंद एक परवलय के अनुदिश गति करती है
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_og, h और t के लिए पूछा गया ताकि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति के लिए प्रयुक्त सूत्र इस प्रकार हो: h = v_o टी + 1/2 जीटी²

h = v_o टी + 1/2 जीटी²
0 = (8√3) t + 1/2 (-10) t²
0 = 8√3 t – 5 t²
8√3 t = 5 t²
8 (1,7) = 5 टी
14 = 5 टी
t = 14 / 5 = 2,8 सेकंड

गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी
क्षैतिज दूरी की गणना एकसमान रैखिक गति के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
ह ज्ञात है कि:
गति (v) = 8 मीटर/सेकंड
समय अंतराल (t) = 2,8 सेकंड
पूछा गया: जराक
उत्तर :
s = vt = (8 मीटर/सेकंड)(2,8 सेकंड) = 22,4 मीटर

गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी 22,4 मीटर है।

2. गोली को 60° के कोण पर ऊपर की ओर दागा जाता है।^o जमीन से 50 मीटर ऊपर एक बिंदु से क्षैतिज रूप से एक गोली चलाई जाती है। गोली का प्रारंभिक वेग 30 मीटर/सेकंड है। गोली द्वारा तय की गई अधिकतम दूरी की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड है।²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
कोण (θ) = 60^o
ऊँचाई (h) = 15 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 30 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: गोली द्वारा तय की गई अधिकतम दूरी
उत्तर :
गोली का पथ चित्र में दिखाए अनुसार है।
क्षैतिज दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_ox = वी_o cos θ = (30 m/s)(cos 60^o) = (30 मीटर/सेकंड)(0,5) = 15 मीटर/सेकंड
ऊर्ध्वाधर दिशा में गेंद का प्रारंभिक वेग:
v_oy = वी_o sin θ = (30 m/s)(sin 60^o) = (30 मीटर/सेकंड)(0,5√3) = 15√3 मीटर/सेकंड

हवा में गोली का टाइम लैप्स वीडियो
सबसे पहले, गोली द्वारा परवलय में गति करने के लिए लगने वाले समय अंतराल की गणना करें। समय अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है। ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति.
ऊर्ध्वाधर गति से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, ऊपर की ओर निर्देशित सदिश राशि को धनात्मक चिह्न दिया जाता है, जबकि नीचे की ओर निर्देशित सदिश राशि को ऋणात्मक चिह्न दिया जाता है।
ह ज्ञात है कि:
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 15√3 मीटर/सेकंड (धनात्मक क्योंकि प्रारंभिक वेग की दिशा ऊपर की ओर है)
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s²² (ऋणात्मक क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है)
ऊंचाई (h) = -50 (जब गेंद जमीन पर पहुंचती है, तो वह 50 मीटर दूर होती है) अंतर्गत प्रारंभिक स्थिति (इसलिए यह ऋणात्मक है)
पूछा गया: वह समय अंतराल (t) जिसके दौरान गेंद एक परवलय के अनुदिश गति करती है
उत्तर :
यह ज्ञात है कि v_og, h और t के लिए पूछा गया ताकि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति के लिए प्रयुक्त सूत्र इस प्रकार हो: h = v_o टी + 1/2 जीटी²

h = v_o टी + 1/2 जीटी²
-50 = (15√3) t + 1/2 (-10) t²
-50 = 15√3 t – 5 t²
5 टी² – 15√3 t – 50 = 0

t की गणना ABC सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
a = 5, b = -15√3, c = -50

गेंद द्वारा परवलय के अनुदिश गति करने का समय अंतराल (t) 6,7 सेकंड है।

गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी
क्षैतिज दूरी की गणना एकसमान रैखिक गति के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
ह ज्ञात है कि:
गति (v) = 15 मीटर/सेकंड
समय अंतराल (t) = 6,7 सेकंड
पूछा गया: जराक
उत्तर :
s = vt = (15 मीटर/सेकंड)(6,7 सेकंड) = 100,5 मीटर

गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी 100,5 मीटर है।

3. एक कंचे को 10 मीटर की ऊंचाई से दाईं ओर क्षैतिज रूप से 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है। कंचे द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मीटर/सेकंड²
विचार-विमर्श
ह ज्ञात है कि:
ऊँचाई (h) = 10 मीटर
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
पूछा गया: संगमरमर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी
उत्तर :
मार्बल ट्रैक चित्र में दिखाए अनुसार है।
क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग = प्रारंभिक वेग = 10 मीटर/सेकंड

हवा में संगमरमर के कण का समय अंतराल
सबसे पहले, गेंद द्वारा परवलय के अनुदिश गति करने में लगने वाले समय अंतराल की गणना करें। समय अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है। मुक्त पतन गति.
ह ज्ञात है कि:
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/s²²
ऊँचाई (h) = 10 मीटर
पूछा गया: वह समय अंतराल (t) जिसके दौरान गेंद एक परवलय के अनुदिश गति करती है
उत्तर :
यदि g और h दिए गए हों और t का मान इस प्रकार पूछा गया हो कि मुक्त पतन के लिए प्रयुक्त सूत्र h = 1/2 gt ​​हो।²
h = 1/2 gt²
10 = 1/2 (10) टी²
10 = 5 टी²
t² = 10/5 = 2
t = √2 = 1,4 सेकंड

संगमरमर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी
क्षैतिज दूरी की गणना एकसमान रैखिक गति के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
ह ज्ञात है कि:
गति (v) = 10 मीटर/सेकंड
समय अंतराल (t) = 1,4 सेकंड
पूछा गया: जराक
उत्तर :
s = vt = (10 मीटर/सेकंड)(1,4 सेकंड) = 14 मीटर

संगमरमर द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी 14 मीटर है।

[अंग्रेजी: प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को हल करना - क्षैतिज विस्थापन का निर्धारण ]