Nā Helu Paʻakikī
He manaʻo makemakika nā helu paʻakikī e pāʻani ana i kahi kuleana koʻikoʻi ma nā lālā like ʻole o ka ʻepekema, e like me ke kino, ka ʻenekinia, ka hoʻokele waiwai, a, ʻoiaʻiʻo hoʻi, ka makemakika ponoʻī. Ma ke ʻano he hoʻonui ʻana i nā helu maoli a mākou i ʻike ai i ke ola o kēlā me kēia lā, hoʻolauna nā helu paʻakikī i kahi ʻano hou i ke ʻano o kā mākou hoʻomaopopo ʻana a me ke kumu hoʻohālike o nā hanana like ʻole.
Moʻolelo o nā Helu Paʻakikī
Ua kū mua nā helu paʻakikī mai ka pono e loaʻa nā hopena i nā kaulike quadratic i loaʻa ʻole nā hopena i nā helu maoli. Mai ka wā kahiko, ua kū nā makemakika i nā pilikia e like me ke kaulike quadratic \(x^2 + 1 = 0\), ʻaʻohe ona aʻa maoli. ʻO kēia no ka mea no kēlā me kēia helu maoli \(x\), ʻaʻole loa he maikaʻi ʻole ʻo \(x^2\), no laila ʻaʻole hiki iā \(x^2 + 1\) ke lilo i zero.
Ua hoʻomaka ka hoʻomohala ʻana o ka ʻike hohonu o nā helu paʻakikī i ke kenekulia 16 mahalo i ka hana a nā makemakika ʻEulopa e like me Girolamo Cardano, nāna i hoʻohana i nā aʻa hoʻokalakupua i ka hoʻonā ʻana o kekahi mau kaulike. I nā kenekulia 18 a me 19, ua hoʻomohala nā makemakika e like me Leonhard Euler lāua ʻo Carl Friedrich Gauss i nā kumu o ke kumumanaʻo helu paʻakikī, e hāʻawi ana i kahi wehewehe ʻōnaehana a hoʻolauna i ka hapa nui o ka notation i hoʻohana ʻia a hiki i kēia lā.
Nā Wehewehena a me nā Hōʻailona
ʻElua ʻāpana o kahi helu paʻakikī: kahi ʻāpana maoli a me kahi ʻāpana hoʻokalakupua. Ma ke ʻano laulā, hiki ke kākau ʻia kahi helu paʻakikī ma ke ʻano \(a + bi\), kahi:
– ʻO \(a\) ka ʻāpana maoli.
– ʻO \(b\) ka ʻāpana hoʻokalakupua.
– ʻO \(i\) ke anakahi hoʻokalakupua, i wehewehe ʻia ʻo \(\sqrt{-1}\).
Eia kekahi laʻana, ma ka helu paʻakikī \(4 + 3i\):
– ʻO ka ʻāpana maoli ʻo \(4\).
– ʻO ka ʻāpana hoʻokalakupua ʻo \(3i\).
ʻO ka hana mua i ka hoʻomaopopo ʻana i nā helu paʻakikī, ʻo ia ka ʻae ʻana he ʻano hoihoi loa ko \(i\): \(i^2 = -1\).
Nā Hana Kumu ma nā Helu Paʻakikī
E like me nā helu maoli, hiki iā mākou ke hana i nā hana maʻamau like ʻole ma nā helu paʻakikī, e like me ka hoʻohui, ka hoʻemi, ka hoʻonui, a me ka mahele.
Hoʻohui a me ka Hoʻemi
No ka hoʻohui ʻana i ʻelua mau helu paʻakikī, hoʻohui wale mākou i ko lākou mau ʻāpana maoli a me nā ʻāpana hoʻokalakupua. No ka laʻana, no nā helu paʻakikī ʻelua \(z_1 = a + bi\) a me \(z_2 = c + di\):
\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]
Hana ʻia ka unuhi ʻana ma ke ʻano like, ʻo ia hoʻi ka unuhi ʻana i ka ʻāpana maoli a me ka ʻāpana hoʻokalakupua:
\[ z_1 – z_2 = (a – c) – (b – d)i \]
Hoʻonui
ʻOi aku ka paʻakikī o ka hoʻonui ʻana i nā helu paʻakikī, no ka mea, pono mākou e hoʻonui i nā ʻāpana maoli a me nā ʻāpana hoʻokalakupua, a e noʻonoʻo pū i nā waiwai o \(i\). No nā helu paʻakikī ʻelua \(z_1 = a + bi\) a me \(z_2 = c + di\):
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
E hoʻomanaʻo i kēlā \(i^2 = -1\), no laila hiki iā kākou ke hoʻomaʻalahi i:
\[ z_1 \cdot z_2 = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Hoʻolaha
No ka puʻunaue ʻana i ʻelua mau helu paʻakikī, hoʻohana mākou i ke kumumanaʻo o nā conjugates. ʻO ka conjugate o kahi helu paʻakikī \(a + bi\) ʻo \(a - bi\). Manaʻo mākou makemake mākou e puʻunaue \(z_1 = a + bi\) e \(z_2 = c + di\):
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
No ka hoʻomaʻalahi, hoʻonui mākou i ka numerator a me ka denominator e ka conjugate o ka denominator:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Hōʻike Geometric
Hiki ke hōʻike ʻia nā helu paʻakikī ma ke ʻano geometric ma ka mokulele paʻakikī, kahi e hōʻike ai ke axis horizontal i ka ʻāpana maoli a hōʻike ke axis vertical i ka ʻāpana hoʻokalakupua. Ua like kēia me ka ʻōnaehana hoʻonohonoho Cartesian i hoʻohana pinepine ʻia i ka geometry.
Loaʻa pū kekahi mau wehewehe ʻana i nā kihi a me nā lōʻihi i loko o kēia hōʻike. ʻO ka lōʻihi a i ʻole modulus o kahi helu paʻakikī \(z = a + bi\) ka mamao mai kēlā kiko a i ke kumu (0,0), a hiki ke helu ʻia me ka hoʻohana ʻana i ka Pythagorean theorem:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
I kēia manawa, ʻo ke kihi a i ʻole ka hoʻopaʻapaʻa o kahi helu paʻakikī ʻo ia ke kihi i hoʻokumu ʻia e ka laina e hoʻopili ana i ke kiko i ke kumu me ka axis maoli maikaʻi, i hōʻike ʻia ma nā radians.
Nā Noi Helu Paʻakikī
He ākea nā noi kūpono o nā helu paʻakikī, mai ka ʻenekinia a i ka physics quantum. ʻO kekahi mau laʻana o nā noi o nā helu paʻakikī:
ʻEnekinia Uila a me ka Uila
I ka loiloi kaapuni AC (Alternating Current), hoʻohana ʻia nā helu paʻakikī e hōʻike i ka impedance, voltage, a me ke au. ʻO ka Impedance ma kēia ʻano he ana paʻakikī o ke kū'ē ʻana e komo pū ana me ke kū'ē maʻemaʻe akā ʻo ka reactance hoʻi.
ʻO ke Kinohi Kuantum
I loko o ke kinoea quantum, ʻo ka hana nalu e wehewehe ana i ke kūlana o kahi ʻāpana subatomic i hōʻike pinepine ʻia ma ke ʻano he helu paʻakikī. He kuleana koʻikoʻi kēia hana nalu i ka hoʻoholo ʻana i ka hiki ke loaʻa kahi o kahi ʻāpana a me ka ikehu i loaʻa iā ia i loko o kahi ʻōnaehana.
Ka Hana ʻana i nā Hōʻailona
I ke kaʻina hana hōʻailona, he mea hana koʻikoʻi ka Fourier Transform e hoʻohana ana i nā helu paʻakikī. Hoʻokaʻawale ka Fourier Transform i kahi hōʻailona manawa i nā ʻāpana alapine (frequency) hiki ke kālailai ʻia a hoʻololi ʻia ma ke kaʻawale.
Nā Mekanika Wai a me ka Aerodynamics
I loko o ka mechanics fluid, hoʻohana ʻia nā helu paʻakikī e hoʻoponopono i nā pilikia like ʻole e pili ana i ke kahe ʻelua-dimensional. Kōkua ke ʻano hana hiki ke paʻakikī i ka hoʻoholo ʻana i nā ʻano kahe a me ka hoʻopili ʻana i nā manaʻo aerodynamic.
Ka hopena
He manaʻo ikaika a maʻalahi hoʻi nā helu paʻakikī i ka makemakika. ʻOiai ke ʻano like ʻole lākou i ka wā mua a mamao loa mai ka ʻoiaʻiʻo o kēlā me kēia lā, hōʻike kā lākou noi ʻana ma nā ʻano ʻepekema like ʻole i ke koʻikoʻi o ka hoʻomaopopo ʻana a me ka hoʻokele ʻana i kēia manaʻo.
Me ka mōʻaukala waiwai a me nā noi ākea, ʻaʻole i hoʻonui wale nā helu paʻakikī i ka laulā o ka makemakika akā ua hoʻomākaukau pū i ke ala no nā hana hou a me nā ʻike he nui i ka ʻepekema a me ka ʻenehana. Ma ke ʻano he hoʻonui ʻana i ka ʻōnaehana helu maoli, hāʻawi nā helu paʻakikī i nā ʻāpana waiwai nui no ka nānā ʻana a me ka hoʻoponopono ʻana i nā pilikia ola maoli paʻakikī.
