પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા પ્રશ્નોના 5 ઉદાહરણો
1. કોઈ પદાર્થ 1 kg m2 ની જડતા ક્ષણ ધરાવે છે અને તે નિશ્ચિત ધરી પર 2 rad/s ના કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. પદાર્થની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે ?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
જડતાનો ક્ષણ (હું) = 1 કિલો મીટર2
કોણીય વેગ (ω) = 2 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા (EK)
જવાબ :
પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા સૂત્ર:
EK = 1/2 I ω2
વર્ણન: EK = પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા (કિલોગ્રામ · મી2/s2), I = જડતાનો ક્ષણ (કિલોગ્રામ · મી2), ω = કોણીય વેગ (rad/s)
પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા:
EK = 1/2 I ω2 = ૧/૫ (૪)(૦.૦૫)2 = ૧/૨ (૧)(૪) = ૨ જૌલ
2. એક ઘન ડિસ્ક પુલીનું દળ 20 કિલો અને ત્રિજ્યા 0,2 મીટર હોય છે. જો પુલી તેની ધરી પર 4 રેડિયન/સેકન્ડના સ્થિર કોણીય વેગથી ફરે છે, તો પુલીની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ઘન ડિસ્ક પુલીનું દળ (મી) = 20 કિલોગ્રામ
ઘન ડિસ્ક પુલી (r) ની ત્રિજ્યા = 0,2 મીટર
કોણીય વેગ (ω) = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: પુલીની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
જવાબ :
ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જો ઘન ડિસ્ક ધરી પર ફરે છે, તો તેના જડત્વના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:
હું = ૧/૨ મિ.2
વર્ણન: I = જડતાનો ક્ષણ (કિલોગ્રામ મી2), m = દળ (કિલો), r = ત્રિજ્યા (મીટર)
ઘન ડિસ્કની જડતાની ક્ષણ:
હું = ૧/૨ (૨)(૦.૧)2 = (10)(0,04) = 0,4 કિગ્રા મીટર2
પુલીની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા:
EK = 1/2 I ω2 = ૧/૫ (૪)(૦.૦૫)2 = (0,2)(16) = 3,2 જૌલ
૩. ૧૦ કિલોગ્રામ દળ અને ૦.૧ મીટર ત્રિજ્યા ધરાવતો ઘન દડો તેની ધરીની આસપાસ ૧૦ રેડિયન/સેકન્ડના કોણીય વેગથી ફરે છે. ઘન દડાની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા નક્કી કરો!
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
એક ઘન બોલનું દળ (m) = 10 કિલોગ્રામ
ઘન ગોળા (r) ની ત્રિજ્યા = 0,1 મીટર
કોણીય વેગ (ω) = 10 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: ગતિ ઊર્જા માર્ગોહું સોલિડ બોલ છું
જવાબ :
ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જો ઘન બોલ ધરી પર ફરે છે, તો તેની જડતાની ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:
હું = (2/5) શ્રી2
વર્ણન: I = જડતાનો ક્ષણ (કિલોગ્રામ મી2), m = દળ (કિલો), r = ત્રિજ્યા (મીટર)
ઘન ગોળાના જડત્વનો ક્ષણ:
હું = (2/5)(10)(0,1)2 = (4)(0,01) = 0,04 કિગ્રા મીટર2
ઘન ગોળાની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા:
EK = 1/2 I ω2 = ૧/૫ (૪)(૦.૦૫)2 = (0,02)(100) = 2 જૌલ
4. 0,5 કિલોગ્રામ દળ ધરાવતો કણ 2 રેડિયન/સેકન્ડના અચળ કોણીય વેગ સાથે વર્તુળમાં ફરે છે. જો કણના માર્ગની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય તો કણની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા નક્કી કરો.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
કણનું દળ (m) = 0,5 કિલોગ્રામ
ઘન ગોળા (r) ની ત્રિજ્યા = 10 સેમી = 10/100 = 0,1 મીટર
કોણીય વેગ (ω) = 2 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: કણોની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા
જવાબ :
કણના જડત્વના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:
હું = શ્રી.2 = (૦.૨)(૦.૧૫)2 = (0,5)(0,01) = 0,005 કિગ્રા મીટર2
કણોની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા:
EK = 1/2 I ω2 = ૧/૫ (૪)(૦.૦૫)2 = ૧/૨ (૫૦૦)(૦.૦૮) = (૨૫૦)(૦.૦૮) = ૨૦ જૌલ્સ
5. એક સમાન ઘન નળાકાર ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની ધરી પર 4 rad/s ની કોણીય ગતિથી ફરે છે. ડિસ્કનું દળ અને ત્રિજ્યા 1 kg અને 0,5 m છે. જો 0,2 kg ના દળ અને 0,1 m ની ત્રિજ્યાવાળી રિંગ ડિસ્ક પર મૂકવામાં આવે, જ્યાં રિંગનું કેન્દ્ર ડિસ્કના કેન્દ્રથી સીધું ઉપર હોય, તો ડિસ્ક અને રિંગ એકસાથે ફરશે ... ની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા સાથે.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ઘન નળાકારનું દળ (મી1) = 1 કિલોગ્રામ
ઘન નળાકારનો ત્રિજ્યા (r1) = ૨.૫ મીટર
ઘન સિલિન્ડરની કોણીય ગતિ (ω1) = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
રિંગનું વજન (મી2) = 0,2 કિલોગ્રામ
રિંગ ત્રિજ્યા (r)2) = ૨.૫ મીટર
પૂછ્યું: સિલિન્ડર અને રિંગની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જા
જવાબ :
પહેલા સિલિન્ડર અને રિંગના કોણીય વેગની ગણતરી કરો:
ઘન નળાકારની જડતાની ક્ષણ: I = 1⁄2 મીટર1 r12 = 1⁄2 (1)(0,5)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 કિગ્રા મીટર2
રિંગની જડતાની ક્ષણ: I = શ્રી2 = (૦.૨)(૦.૧૫)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 કિગ્રા મીટર2
ઘન નળાકાર અને રિંગ (I) ની જડતાની ક્ષણ = 0,125 + 0,002 = 0,127 કિગ્રા · m2
કોણીય વેગમાન શરૂઆત (L1) = અંતિમ કોણીય વેગમાન (L2)
I1 ω1 = હું2 ω2
(0,125)(4) = (0,125 + 0,002)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω)2)
ω2 = ૦.૫ : ૦.૧૨૭
ω2 = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
સિલિન્ડર અને રિંગની પરિભ્રમણ ગતિ ઊર્જાની ગણતરી કરો:
EK = 1/2 I ω2 = ૧/૫ (૪)(૦.૦૫)2 = (0,127)(8) = 1,016 જૌલ
