કોણીય ગતિ સમસ્યાઓના 7 ઉદાહરણો
કોણીય ગતિ
૧. એક પદાર્થ પાસે છે જડતાનો ક્ષણ ૮ કિલો મીટર2 અને એક નિશ્ચિત ધરી પર ફરે છે કોણીય વેગ ૨ રેડિયન/સેકન્ડ. કેટલું? કોણીય વેગમાન તે વસ્તુ?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
જડતાનો ક્ષણ (I) = 2 કિલોગ્રામ મીટર2
કોણીય વેગ (ω) = 1 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: કોણીય વેગમાન (L)
જવાબ :
કોણીય વેગમાન સૂત્ર:
એલ = હું ω
વર્ણન: L = કોણીય વેગમાન (કિલોગ્રામ · મી2/s), I = જડતાનો ક્ષણ (કિલોગ્રામ · મી2), ω = કોણીય વેગ (rad/s)
કોણીય વેગ:
L = I ω = (2)(1) = 2 કિગ્રા મીટર2/s
2. એક ઘન ડિસ્ક પુલીનું દળ 2 કિલો અને ત્રિજ્યા 0,1 મીટર હોય છે. જો પુલી તેની ધરી પર 2 રેડિયન/સેકન્ડના અચળ કોણીય વેગથી ફરે છે, તો પુલીનો કોણીય વેગ કેટલો હશે?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ઘન ડિસ્ક પુલીનું દળ (મી) = 2 કિલોગ્રામ
ઘન ડિસ્ક પુલી (r) ની ત્રિજ્યા = 0.1 મીટર
કોણીય વેગ (ω) = 2 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: ગરગડીનો કોણીય વેગ
જવાબ :
ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જો ઘન ડિસ્ક ધરી પર ફરે છે, તો તેના જડત્વના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:
હું = ૧/૨ મિ.2
વર્ણન: I = જડતાનો ક્ષણ (કિલોગ્રામ મી2), m = દળ (કિલો), r = ત્રિજ્યા (મીટર)
ઘન ડિસ્કની જડતાની ક્ષણ:
હું = ૧/૨ (૨)(૦.૧)2 = (1)(0,01) = 0,01 કિગ્રા મીટર2
કોણીય વેગ:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 કિગ્રા મીટર2/s
૩. ૨ કિલોગ્રામ દળ અને ૦.૨ મીટર ત્રિજ્યા ધરાવતો ઘન દડો તેની ધરીની આસપાસ ૪ રેડિયન/સેકન્ડના કોણીય વેગથી ફરે છે. ઘન દડાનો કોણીય વેગ નક્કી કરો!
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
એક ઘન બોલનું દળ (m) = 2 કિલોગ્રામ
ઘન ગોળા (r) ની ત્રિજ્યા = 0,2 મીટર
કોણીય વેગ (ω) = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: ઘન ગોળાનો કોણીય વેગમાન
જવાબ :
ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, જો ઘન બોલ ધરી પર ફરે છે, તો તેની જડતાની ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:
હું = (2/5) શ્રી2
વર્ણન: I = જડતાનો ક્ષણ (કિલોગ્રામ મી2), m = દળ (કિલો), r = ત્રિજ્યા (મીટર)
ઘન ગોળાના જડત્વનો ક્ષણ:
હું = (2/5)(2)(0,2)2 = (૪/૫)(૦.૦૪) = ૦.૦૩૨ કિગ્રા મીટર2
ઘન ગોળાનો કોણીય વેગ:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 કિગ્રા મીટર2/s
4. 1 કિલોગ્રામ દળ ધરાવતો પદાર્થ 2 રેડિયન/સેકન્ડના અચળ કોણીય વેગ સાથે વર્તુળમાં ફરે છે. જો કણના માર્ગની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય તો કોણીય વેગમાન નક્કી કરો.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
પદાર્થનું દળ (મી) = 1 કિલોગ્રામ
ઘન ગોળા (r) ની ત્રિજ્યા = 10 સેમી = 10/100 = 0,1 મીટર
કોણીય વેગ (ω) = 2 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: કોણીય વેગમાન
જવાબ :
કણના જડત્વના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:
હું = શ્રી.2 = (૦.૨)(૦.૧૫)2 = (1)(0,01) = 0,01 કિગ્રા મીટર2
કોણીય વેગ:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 કિગ્રા મીટર2/s
5. એક સમાન ઘન નળાકાર ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની ધરી પર 5 rad/s ની કોણીય ગતિથી ફરે છે. ડિસ્કનું સમતલ આડી સમતલને સમાંતર છે. ડિસ્કનું દળ અને ત્રિજ્યા 2 kg અને 0,2 મીટર છે. જો 0,1 kg ના દળ અને 0,2 મીટરની ત્રિજ્યાવાળી રિંગ ડિસ્કની ટોચ પર મૂકવામાં આવે છે, જ્યાં રિંગનું કેન્દ્ર ડિસ્કના કેન્દ્રથી સીધું ઉપર હોય છે, તો ડિસ્ક અને રિંગ ... ની કોણીય ગતિથી એકસાથે ફરશે.
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ઘન નળાકારનું દળ (મી1) = 2 કિલોગ્રામ
ઘન નળાકારનો ત્રિજ્યા (r1) = ૨.૫ મીટર
ઘન સિલિન્ડરની કોણીય ગતિ (ω1) = 5 રેડિયન/સેકન્ડ
રિંગનું વજન (મી2) = 0,1 કિલોગ્રામ
રિંગ ત્રિજ્યા (r)2) = ૨.૫ મીટર
પૂછ્યું: સિલિન્ડરો અને રિંગ્સની કોણીય ગતિ
જવાબ :
ઘન નળાકારની જડતાની ક્ષણ: I = 1⁄2 મીટર1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 કિગ્રા મીટર2
રિંગની જડતાની ક્ષણ: I = શ્રી2 = (૦.૨)(૦.૧૫)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 કિગ્રા મીટર2
ઘન નળાકાર અને રિંગ (I) ની જડતાની ક્ષણ = 0,04 + 0,004 = 0,044 કિગ્રા · m2
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન (L1) = અંતિમ કોણીય વેગમાન (L2)
I1 ω1 = હું2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω2)
(0,2) = (0,044)(ω)2)
ω2 = ૦.૫ : ૦.૧૨૭
ω2 = 4,5 રેડિયન/સેકન્ડ
૬. એક બેલે ડાન્સર તેના હાથ ૧૫૦ સેમી લંબાઈ સુધી લંબાવીને અને ૧૦ રેડિયન/સેકન્ડના કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. પછી ડાન્સર તેના હાથ કોણી પર ૭૫ સેમી લંબાઈ સુધી વાળે છે. અંતિમ કોણીય વેગ કેટલો છે?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ત્રિજ્યા 1 (r1) = 150 સેમી = 1,5 મીટર
ત્રિજ્યા 2 (r2) = 75 સેમી = 0,75 મીટર
કોણીય વેગ 1 (ω)1) = 10 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું: કોણીય વેગ 2 (ω)2)
જવાબ :
જડતાની શરૂઆતની ક્ષણ: I1 = શ્રી.12 = (મી)(૦.૭૫)2 = 2,25 એમ
જડતાની અંતિમ ક્ષણ : I2 = શ્રી.22 = (મી)(૦.૭૫)2 = 0,5625 એમ
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન (L1) = અંતિમ કોણીય વેગમાન (L2)
I1 ω1 = હું2 ω2
(2,25 મીટર)(10) = (0,5625 મીટર)(ω2)
૨૨.૫ મીટર = (૦.૫૬૨૫ મીટર)(ω2)
૨૨.૫ = (૦.૫૬૨૫)(ω2)
ω2 = 22,5/0,5625
ω2 = 40 રેડિયન/સેકન્ડ
7. એક સમાન ઘન નળાકાર ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની ધરી પર 4 રેડિયન્સ ની કોણીય ગતિથી ફરે છે.-1. ડિસ્કનું દળ અને ત્રિજ્યા 1 કિલો અને 0,5 મીટર છે. જો ડિસ્કની ઉપર એક રિંગ મૂકવામાં આવે જેનો દળ અને ત્રિજ્યા 0,2 કિલો અને 0,1 મીટર છે અને રિંગનું કેન્દ્ર ઘન નળાકાર ડિસ્કના કેન્દ્રથી બરાબર ઉપર છે, તો ઘન નળાકાર ડિસ્ક અને રિંગ કોણીય ગતિએ એકસાથે ફરશે...
A. ૪.૦ રેડિયેશન/સેકન્ડ
B. ૪.૫ રેડિયેશન/સેકન્ડ
સી. ૫.૦ રેડિયન/સેકન્ડ
ડી. ૬.૦ રેડિયન/સેકન્ડ
ઇ. ૮.૦ રેડિયન/સેકન્ડ
ચર્ચા :
જડતાનો ક્ષણ ઘન સિલિન્ડર : I = ½ મિલીમીટર2 = ½ (1 કિલો)(0,5 મીટર)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 કિગ્રા મીટર2
રિંગની જડતાની ક્ષણ: હું = શ્રી2 = (0,2 કિગ્રા)(0,1 મીટર)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 કિગ્રા મીટર2
પ્રારંભિક કોણીય ગતિ (L)1) = અંતિમ કોણીય ગતિ (L)2)
I1 ω1 = હું2 ω2
(0,125 કિગ્રા મી2)(4 રેડિયન/સેકન્ડ) = (0,125 કિગ્રા મીટર2 + 0,002 કિગ્રા મી2)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω)2)
ω2 = ૦.૫ : ૦.૧૨૭
ω2 = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
સાચો જવાબ D છે.
