Material de multiplicación de puntos usando compoñentes de vectores unitarios
Podemos calcular o produto escalar directamente se coñecemos as compoñentes x, y e z dos vectores A e B (os vectores coñecidos).
Para realizar un produto escalar deste xeito, primeiro realizamos un produto escalar dos vectores unitarios, despois expresamos os vectores A e B nos seus compoñentes, descompoñen o produto e usan o produto dos vectores unitarios.
Os vectores unitarios i , j e k son perpendiculares entre si, o que facilita os cálculos. Usando a ecuación de multiplicación escalar derivada anteriormente ( AB = AB cos theta ) obtemos:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Agora expresamos os vectores A e B en termos das súas compoñentes, descompoñen o seu produto e usamos o produto de vectores unitarios.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Porque i . i = j . j = k . k = 1 e i . j = i . k = j . k = 0, entón:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Baseándose nos resultados deste cálculo, pódese concluír que o produto escalar ou produto escalar de dous vectores é a suma dos produtos dos seus compoñentes semellantes.
Exemplo de pregunta 1:
Vector grande A Dan B son 5 e 4 respectivamente, como se mostra na imaxe de abaixo. O ángulo formado é de 90oCóntao produto escalar ambos vectores.
Discusión
Antes de calcular o produto escalar dos vectores A e B, primeiro precisamos coñecer as compoñentes do segundo vector.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sen 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sen 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
O vector A só ten compoñentes vectoriais no eixe x e o vector B só ten compoñentes vectoriais no eixe y. O compoñente z é cero porque os vectores A e B están no plano xy.
Agora calculamos o produto escalar entre os vectores A e B usando a ecuación do produto escalar cos vectores compoñentes:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Comparémolo co primeiro método
AB = AB cos teta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
O resultado é o mesmo.
Exemplo de pregunta 2:
Vector grande A Dan B son 5 e 4 respectivamente, como se mostra na imaxe seguinte. Calcula produto escalar ambos vectores, se o ángulo formado é de 30o
Discusión
Antes de calcular o produto escalar dos vectores A e B, primeiro precisamos coñecer as compoñentes do segundo vector.
A compoñente z é cero porque os vectores A e B están no plano xy.
Agora calculamos o produto escalar entre os vectores A e B usando a ecuación do produto escalar cos vectores compoñentes:
Compare co primeiro método.
