Mekaanisen energian säilyminen – ongelmia ja ratkaisuja
1. m kg:n kappale irrotetaan sileän kaltevan tason yläosasta , kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Kappaleen gravitaatiopotentiaalienergian ja kineettisen energian vertailu pisteessä M on…
Ratkaisu
Painovoimapotentiaalienergia pisteessä M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Kineettinen energia pisteessä M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mg/h: 2/3 mg/h
24.12.: 36.12.
1: 2
2. Jäähiihtäjä liukuu korkeudelta A, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Jos alkunopeus = 0 ja painovoimakiihtyvyys on 10 ms⁻² , niin mikä on hiihtäjän nopeus pisteessä B?
Tunnettu:
Alkunopeus (v0 ) = 0
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Korkeuden muutos = 50 metriä – 10 metriä = 40 metriä
Etsitään: Hiihtäjän nopeus pisteessä B
ratkaisu:
Mekaanisen energian säilymisperiaatteen mukaan alkuperäinen mekaaninen energia = lopullinen mekaaninen energia.
Alkuperäinen mekaaninen energia = potentiaalienergia pisteessä B (korkeus = 40 metriä)
Lopullinen mekaaninen energia = liike-energia pisteessä B
Lopullinen mekaaninen energia = Alkuperäinen mekaaninen energia
½ mv t2 = mg/ h
½ v t 2 = gh
½ vt2 = ( 10 )(50-10)
½ vt2 = ( 10 )(40)
½ vt2 = 400
vt2 = ( 2 )(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
3. Kappale alkaa liukua pisteestä A ilman alkunopeutta. Jos kitkavoimaa ei ole, mikä on kappaleen nopeus alimmassa pisteessä?
Tunnettu:
Kappaleen massa = m
Alkunopeus (v0 ) = 0
Korkeus (k) = 20 metriä
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Haluttu: Loppunopeus ( vt )
ratkaisu:
Alkuperäinen mekaaninen energia (ME1 ) = Painovoimapotentiaalienergia pisteessä A (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Lopullinen mekaaninen energia (ME2 ) = kineettinen energia (KE) = ½ mv t2
Kappaleen nopeus alimmassa pisteessä (vt )?
Mekaanisen energian säilymisperiaatteen soveltaminen väittää, että alkuperäinen mekaaninen energia = lopullinen mekaaninen energia.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv t²
200 = ½ vt2
400 = vt2
vt = 20 m/s
4. 2 kg:n painoinen pallo putoaa vapaasti pisteestä A, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty (g = 10 ms -2 ). Pisteeseen B saapumisen jälkeen kineettinen energia = 2 kertaa potentiaalienergia. Mikä on pisteen B korkeus maan pinnasta?
Tunnettu:
Pallon massa (m) = 2 kg
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 ms -2
Pisteen A korkeus (h A ) = 90 metriä
Haluttu: Pisteen B korkeus (h B )
ratkaisu:
Kun pallo saapuu pisteeseen B, sen kineettinen energia pisteessä B on = kaksinkertainen pisteen B gravitaatiopotentiaalienergiaan verrattuna.
EK = 2 EP
½ mv² = 2 mg/h B
½ v 2 = 2 gh B
v² = 2 (2)(10) hB
v² = 40 h B
Pallon nopeus (v), kun se saapuu pisteeseen B pudottuaan vapaasti pisteestä A:
v² = 2 gh = 2(10)(90–hB ) = 20(90– hB )
Korvaa yllä olevan yhtälön v 2 tässä yhtälössä olevalla v 2 : lla.
v² = 40 h B
20(90–h B ) = 40 h B
1800–20 tuntia B = 40 tuntia B
1800 = 40 tuntia B + 20 tuntia B
1800 = 60 tuntia B
h B = 1800 / 60
h B = 30 metriä
5. 1 kg:n painoinen pallo päästetään irti ja se liukuu alas pisteestä A pisteeseen C, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Jos painovoimakiihtyvyys = 10 ms⁻² , mikä on pallon liike-energia, kun se saapuu pisteeseen C?
Tunnettu:
Pallon massa (m) = 1 kg
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Korkeuden muutos (h) = 0.75 m
Alkuperäinen potentiaalienergia (PE₂o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 joulea
Alkuperäinen kineettinen energia (KE₂O₃ ) = ½ mv₂O₃² = ½ m (0) ² = 0
Lopullinen gravitaatiopotentiaalienergia (PEt ) = mgh = mg (0) = 0
Etsitään: Pallon liike-energia pisteessä C
ratkaisu:
Alkuperäinen mekaaninen energia (ME o ) = Lopullinen mekaaninen energia (ME t )
Alkuperäinen gravitaatiopotentiaalienergia (PE₂o ) + alkuperäinen liike-energia (KE₂o ) = Lopullinen gravitaatiopotentiaalienergia (PE₂t ) + lopullinen liike-energia ( KE₂t )
7.5 joulea + 0 = 0 + KE t
7.5 Joulea = KE· t
Pallon liike-energia pisteessä C = 7.5 joulea.
6. 2 kg:n pallo irrotetaan pisteestä A, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Käyrä on tasainen. Jos painovoimakiihtyvyys on 10 ms⁻² , mikä on pallon liike-energia pisteessä B?
Tunnettu:
Pallon massa (m) = 2 kg
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Korkeuden muutos (h) = 120 cm = 1.2 metriä
Alkuperäinen gravitaatiopotentiaalienergia (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 joulea
Alkuperäinen liike-energia (KE₂O₃ ) = ½ mv₂O₂ = ½ m(0) ₂ = 0
Lopullinen gravitaatiopotentiaalienergia (PEt ) = mgh = mg (0) = 0
Etsitään: Pallon liike-energia pisteessä B
ratkaisu:
Mekaaninen energia pisteessä A (alkuperäinen mekaaninen energia) = mekaaninen energia pisteessä B (lopullinen mekaaninen energia)
Alkuperäinen mekaaninen energia (ME o ) = lopullinen mekaaninen energia (ME t )
Alkuperäinen gravitaatiopotentiaalienergia (PE₂o ) + alkuperäinen liike-energia (KE₂o ) = lopullinen gravitaatiopotentiaalienergia (PE₂t ) + lopullinen liike-energia ( KE₂t )
24 joulea + 0 = 0 + KE t
24 Joulea = KE· t
Pallon liike-energia (KE) pisteessä C = 24 joulea.
7. Kappaleella on kiinteä mekaaninen energia, suurempi liike-energia ja pienempi gravitaatiopotentiaalienergia. Kappale on…
A. Levossa
B. liikkua ylöspäin
C. liikkua alaspäin
D. Kiihdytetty ylöspäin
ratkaisu:
Kineettinen energia kasvaa, mikä tarkoittaa, että kappaleen nopeus kasvaa ja gravitaatiopotentiaalienergia pienenee, mikä tarkoittaa, että kappaleen korkeus maanpinnasta pienenee. Tämä tapahtuu, kun kappale liikkuu tietyltä korkeudelta alas maanpintaan.
Nopeuden ja kineettisen energian välinen suhde näkyy kineettisen energian kaavassa:
KE = ½ mV²
Kaavan kuvaus: KE = liike-energia, m = massa, v = nopeus
Korkeuden ja gravitaatiopotentiaalienergian välistä suhdetta kuvaa gravitaatiopotentiaalienergian kaava :
PE = mg/h
Kaavan kuvaus: PE = gravitaatiopotentiaalienergia, m = massa, g = painovoiman kiihtyvyys, h = korkeus
Oikea vastaus on C.
- Mitä on mekaaninen energia?
- Vastaus: Mekaaninen energia on kappaleen kineettisen energian ja potentiaalienergian summa. Kineettinen energia liittyy kappaleen liikkeeseen, kun taas potentiaalienergia liittyy sen sijaintiin tai kokoonpanoon.
- Mitä mekaanisen energian säilymisperiaate sanoo?
- Vastaus: Periaatteen mukaan eristetyssä systeemissä, jossa vaikuttavat vain konservatiiviset voimat, kokonaismekaaninen energia pysyy vakiona. Tämä tarkoittaa, että kineettisen ja potentiaalienergian summa ei muutu ajan kuluessa.
- Miten konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat vaikuttavat mekaanisen energian säilymiseen?
- Vastaus: Konservatiiviset voimat, kuten painovoima, eivät muuta järjestelmän mekaanista kokonaisenergiaa. Ne saattavat muuntaa potentiaalienergiaa kineettiseksi energiaksi tai päinvastoin, mutta summa pysyy vakiona. Ei-konservatiiviset voimat, kuten kitka, voivat haihduttaa mekaanista energiaa, tyypillisesti muuttamalla sen lämpöenergiaksi.
- Miksi mekaaninen energia ei säily tosielämän tilanteissa, joissa on kitkaa?
- Vastaus: Kitka on ei-konservatiivinen voima. Kun kappaleet liikkuvat toisiaan kohti, kitka muuntaa osan järjestelmän mekaanisesta energiasta lämpöenergiaksi, mikä johtaa järjestelmän kokonaismekaanisen energian vähenemiseen.
- Miten mekaanisen energian säilyminen osoitetaan heiluvassa heilurissa?
- Vastaus: Ilmanvastusta (ei-konservatiivinen voima) puuttuessa heilurin heilahtaessa ylöspäin sen liike-energia muuttuu gravitaatiopotentiaalienergiaksi. Heilahduksen korkeimmassa kohdassa sillä on suurin potentiaalienergia ja pienin liike-energia. Kun se heilahtaa takaisin alas, tämä potentiaalienergia muuttuu takaisin kineettiseksi energiaksi. Kokonaismekaaninen energia pysyy vakiona, vaikka energian muodot vaihtuvat.
- Miksi pomppiva pallo lopulta pysähtyy, vaikka ulkoisia voimia ei olisikaan?
- Vastaus: Kun pallo pomppii, kaikki sen liike-energia ei muutu takaisin potentiaalienergiaksi. Osa energiasta häviää, usein äänenä tai pallon muodonmuutoksena, ja erityisesti pallon materiaalin sisäisen kitkan vuoksi. Nämä ovat epäkonservatiivisia voimia, jotka vähentävät pallon mekaanista energiaa jokaisella pompulla, kunnes se pysähtyy.
- Missä vuoristoradassa on suurin ja pienin mekaaninen energia?
- Vastaus: Vuoristoradan kokonaismekaaninen energia pysyy vakiona, jos ilmanvastus ja kitka jätetään huomiotta. Korkeimmassa kohdassa potentiaalienergia on kuitenkin suurimmillaan ja liike-energia pienimmillään. Laskeutuessaan potentiaalienergia muuttuu kineettiseksi energiaksi, joten alimmassa kohdassa liike-energia on suurimmillaan ja potentiaalienergia pienimmillään.
- Miten mekaanisen energian säilymislaki auttaa ymmärtämään planeettojen kiertoratoja?
- Vastaus: Auringon kaltaista tähteä kiertävillä planeetoilla on sekä kineettistä energiaa (liikkeensä ansiosta) että gravitaatiopotentiaalienergiaa (sijaintinsa ansiosta Aurinkoon nähden). Kun planeetta liikkuu lähemmäksi Aurinkoa, sen nopeus kiihtyy, jolloin sen kineettistä energiaa lisätään samalla kun sen gravitaatiopotentiaalienergia pienenee, ja päinvastoin. Planeetan mekaaninen kokonaisenergia pysyy vakiona ajan kuluessa olettaen, että muut voimat (kuten muilta planeetoilta tulevat) ovat merkityksettömiä.
- Miksi vakaalla kiertoradalla oleva satelliitti ei putoa Maahan?
- Vastaus: Vaikka satelliittia todellakin vetää kohti Maata painovoima, sen eteenpäin suuntautuva liike-energia pitää sen liikkeessä kiertoradallaan. Tämän kineettisen energian ja gravitaatiopotentiaalienergian tasapaino pitää satelliitin vakaalla kiertoradalla, jossa mekaaninen energia on vakio.
- Jos hiihtäjä aloittaa vauhdilla kitkattoman mäen huipulta ja laskee sitten alas, miten hänen nopeutensa mäen alapäässä vertautuu siihen, jos hän olisi aloittanut laskun osittain alas mäkeä?
- Vastaus: Kitkattomalla rinteellä hiihtäjän mekaaninen kokonaisenergia säilyy. Jos hän aloittaa aivan huipulta, hänellä on aluksi enemmän potentiaalienergiaa kuin jos hän aloittaisi osittain alamäestä. Tämä potentiaalienergia muuttuu kokonaan kineettiseksi energiaksi laskeutuessaan. Näin ollen hän on nopeampi alhaalla, jos hän aloittaa ylhäältä, kuin jos hän aloittaa osittain alamäestä.
