Esimerkki kysymyksestä, jolla määritetään paraabelissa liikkuvan kappaleen sijainti

3 esimerkkiä kysymyksistä paraabelissa liikkuvan kappaleen sijainnin määrittämisestä

1. Pallo heitetään ylöspäin 60 asteen kulmassa^o vaakasuunnassa alkunopeudella 12 m/s. Määritä kappaleen sijainti yhden sekunnin liikkumisen jälkeen! Painovoiman kiihtyvyys = 10 m/s²
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kulma (θ) = 60^o
Nopeus alku (v)_o) = 12 m/s
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²
Kysytty: Pallon sijainti yhden sekunnin liikkeen jälkeen
Vastaus:
Laske ensin pallon alkunopeuskomponentit vaaka- ja pystysuunnassa.
Pallon alkunopeus vaakasuunnassa:
v_ox = v_o cos θ = (12 m/s)(cos 60^o) = (12 m/s)(0,5) = 6 m/s

Pallon alkunopeus pystysuunnassa:
v_oy = v_o sin θ = (12 m/s)(sin 60^o) = (12 m/s)(0,5√3) = 6√3 m/s

Parabolista liikettä pidetään vaakasuoran ja pystysuoran liikkeen yhdistelmänä. Vaakasuoraa liikettä analysoidaan seuraavasti: tasainen lineaarinen liike, kun taas pystysuuntaista liikettä analysoidaan muodossa ylöspäin suuntautuva pystysuora liikeKohteen sijainti vaakasuunnassa lasketaan samalla tavalla kuin määritettäisiin suorassa linjassa vakionopeudella liikkuvan kohteen etäisyys, ja päinvastoin, kohteen sijainti pystysuunnassa lasketaan samalla tavalla kuin määritettäisiin pystysuunnassa ylöspäin liikkuvan kohteen korkeus.

Pallon sijainti vaakasuunnassa:
Tiedetään, että:
Pallon nopeus vaakasuunnassa (v_x) = 6 m/s
Tasaisessa suorassa liikkeessä kappaleen nopeus on vakio, joten kappaleen alkunopeus on sama kuin kappaleen nopeus.
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Kysytty: Kohteiden etäisyys
Vastaus:
Nopeus 6 metriä sekunnissa tarkoittaa, että pallo liikkuu 6 metriä sekunnissa. Pallon kulkema matka yhden sekunnin kuluttua on 6 metriä. Näin ollen pallon vaakasuora asento on 6 metriä.

Pallon sijainti pystysuunnassa:
Ylöspäin suuntautuvan pystysuuntaisen liikkeen ongelman ratkaisemisessa vektorimäärä Ylöspäin suuntautuvalle vektorille annetaan positiivinen etumerkki ja alaspäin suuntautuvalle vektorille negatiivinen etumerkki.
Tiedetään, että:
Pallon alkunopeus (v_o) = 6√3 m/s (positiivinen, koska alkunopeuden suunta on ylöspäin)
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Painovoimakiihtyvyys (g) = -10 m/s² (negatiivinen, koska painovoimakiihtyvyys on alaspäin kohti maan keskipistettä)
Kysytty: Pallon korkeus yhden sekunnin liikkeen jälkeen (h)
Vastaus:
Tiedetään, että v._o, t, g ja kysyttiin h:lta, joten käytetty kaava on h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1)²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1,7) – 5 = 10,2 – 5 = 5,2 metriä.

Pallon sijainti yhden sekunnin liikkeen jälkeen:
Pallon sijainti vaakasuunnassa (x) = 6 metriä
Pallon sijainti pystysuunnassa (y) = 5,2 metriä
Joten pallon sijainnin koordinaatit ovat (x ; y) = (6 ; 5,2)

2. Luoti ammutaan ylöspäin 30° kulmassa^o vaakasuunnassa 20 metrin korkeudesta maanpinnasta. Luodin alkunopeus on 50 m/s. Kuinka korkealle luoti nousee yhden sekunnin liikkumisen jälkeen? Painovoiman kiihtyvyys on 10 m/s²
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kulma (θ) = 30^o
Luodin alkuperäinen korkeus (h_o) = 20 metriä
Luodin alkunopeus (v_o) = 50 m/s
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²
Kysytty: Luodin korkeus
Vastaus:
Luodin alkunopeus pystysuunnassa:
Laske ensin pallon alkunopeuskomponentti pystysuunnassa.
v_oy = v_o sin θ = (50 m/s)(sin 30^o) = (50 m/s)(0,5) = 25 m/s

Luodin korkeus:
Luodin korkeus lasketaan määrittämällä korkeus ylöspäin suuntautuvassa pystysuorassa liikkeessä.
Ylöspäin suuntautuvaa pystysuoraa liikettä koskevissa tehtävissä ylöspäin suuntautuvalle vektorisuureelle annetaan positiivinen etumerkki ja alaspäin suuntautuvalle vektorisuureelle negatiivinen etumerkki.
Tiedetään, että:
Luodin alkunopeus (v_o) = 25 m/s (positiivinen, koska alkunopeuden suunta on ylöspäin)
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Painovoimakiihtyvyys (g) = -10 m/s² (negatiivinen, koska painovoimakiihtyvyyden suunta on alaspäin kohti maan keskipistettä)
Kysytty: Luodin korkeus (k)
Vastaus:
Tiedetään, että v._o, t, g ja kysyttiin h:lta, joten käytetty kaava on h = v_o t + 1/2 gt²
h = v_o t + 1/2 gt² = (25)(1) + 1/2 (-10)(1)²) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 metriä.
Luodin korkeus yhden sekunnin liikkumisen jälkeen on 20 metriä luodin laukaisupaikan yläpuolella tai 40 metriä maanpinnan yläpuolella.

3. Marmori heitetään vaakasuoraan oikealle 10 metrin korkeudesta alkunopeudella 10 m/s. Määritä marmorin sijainti 1 sekunnin liikkumisen jälkeen! Painovoimakiihtyvyys = 10 m/s²
Keskustelu
Tiedetään, että:
Alkuperäinen korkeus (h) = 10 metriä
Alkunopeus (v_o) = 10 m/s
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²
Kysytty: Marmorin sijainti yhden sekunnin siirron jälkeen
Vastaus:
Marmorin lentorata on kuvan mukainen. Jos lentorata on parabolinen, kuten kuvassa näkyy, kappaleen sijainti pystysuunnassa määritetään samalla tavalla kuin laskettaisiin vapaassa pudotuksessa korkeus, kun taas kappaleen sijainti vaakasuunnassa määritetään samalla tavalla kuin laskettaisiin etäisyys tasaisessa suorassa liikkeessä.
Aluksi marmori liikkuu vaakasuunnassa siten, että marmorin alkunopeus vaakasuunnassa (v)_ox) on 10 m/s, kun taas marmorin alkunopeus pystysuunnassa (v_oy) on 0 m/s.

Marmorikuulien sijainti vaakasuunnassa:
Tiedetään, että:
Marmorin nopeus vaakasuunnassa (v_x) = 10 m/s
Tasaisessa suorassa liikkeessä kappaleen nopeus on vakio, joten kappaleen alkunopeus on sama kuin kappaleen nopeus.
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Kysytty: Kohteiden etäisyys
Vastaus:
Nopeus 10 metriä sekunnissa tarkoittaa, että kuula liikkuu 10 metriä sekunnissa. Kuulan kulkema matka yhden sekunnin liikkumisen jälkeen on 10 metriä. Näin ollen kuulan vaakasuora asento on 10 metriä.

Marmorikuulien sijainti pystysuunnassa:
Analysoituna vapaa pudotusliike.
Tiedetään, että:
Aikaväli (t) = 1 sekuntia
Painovoimakiihtyvyys (g) = 10 m/s²
Kysytty: Marmorin korkeus yhden sekunnin siirron jälkeen (h)
Vastaus:
Annetaan t ja g sekä kysytään h, joten käytetty kaava on h = 1/2 gt²
h = 1/2 bruttopaino² = 1/2 (10)(1)²) = (5)(1) = 5 metriä.
Yhden sekunnin kuluttua kuula putoaa 5 metriä. Kuulan korkeus maanpinnasta on 10 metriä – 5 metriä = 5 metriä.

Marmorin sijainti yhden sekunnin siirron jälkeen:
Marmorin sijainti vaakasuunnassa (x) = 10 metriä
Marmorin sijainti pystysuunnassa (y) = 5 metriä
Joten marmorin sijainnin koordinaatit ovat (x; y) = (10; 5)

[englanniksi: Ammuksen liikeongelmien ratkaiseminen – kohteen sijainnin määrittäminen]