Banaketa Normal baten Balio Esperoari buruzko Eztabaida Galdera baten Adibidea
Banaketa normala, banaketa gaussiarra bezala ere ezaguna, estatistikan eta probabilitatean gehien erabiltzen diren probabilitate-banaketa jarraituetako bat da. Banaketa hau askotan oinarrizko hipotesi gisa erabiltzen da hainbat inferentzia estatistikotan, bere propietate matematiko onengatik, hala nola simetria eta batez besteko (µ) eta desbideratze estandar (σ) batekin parametrizatzean duen bakartasunagatik. Artikulu honek adibideak aztertuko ditu eta banaketa normalaren balio esperoari buruz hitz egingo du kontzeptu hau sakonago ulertzeko.
Banaketa Normala Ulertzea
Banaketa normala kanpai-kurba simetriko batek irudikatzen du, balio gehienak erdiko balioaren edo batez bestekoaren inguruan kontzentratuta daudelarik. Banaketa honen barruan, batez bestekoa (µ) eta desbideratze estandarra (σ) datuetan sakabanaketaren kokapena eta zenbatekoa zehazten duten bi parametro garrantzitsu dira.
Banaketa normalaren probabilitate-dentsitate funtzioa (PDF) hau da:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Non:
– \( \mu \) batez bestekoa edo batez bestekoa da
– \( \sigma \) desbideratze estandarra da
– \(x \) ausazko aldagai bat da
Espero den balioa banaketa normalean
Banaketa normala duen ausazko aldagai baten espero den balioa banaketaren batez bestekoaren berdina da. Baldin eta \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), orduan espero den balioa \( E(X) \) hau da:
E(X) = μ
Jarrai dezagun banaketa normaletan espero diren balioei buruzko arazoen adibide batzuekin, gure ulermena indartzeko.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galderaren adibidea:
Demagun \(X\) ausazko aldagai normal banatua dela, \(\mu = 50\) eta \(\sigma = 10\) dituena. Kalkulatu \(X\)-ren espero den balioa.
Eztabaida:
Aurretik aipatu bezala, banaketa normal batean, espero den balioa \( E(X) \) \( \mu \) da. Beraz,
E(X) = μ = 50
2. galderaren adibidea:
Ausazko aldagai bat (Y) emanda, banaketa normala du (mu = 120) eta (sigma = 15) dituena. Aurkitu (Y)-ren espero den balioa.
Eztabaida:
Lehenengo adibidearen antzera, \(Y\)-ren espero den balioa banaketa normalaren erdiko balioa edo batez bestekoa da, hau da:
E(Y) = μ = 120
3. galderaren adibidea:
\(Z\) ausazko aldagaiak \(\mu = 0\) eta \(\sigma = 1\) banaketa normal bat jarraitzen badu (banaketa normal estandarra), zein da \(Z\)-ren espero den balioa?
Eztabaida:
Banaketa normal estandarrak batez bestekoa μ = 0 da, beraz, espero den balioa E(Z) hau da:
E(Z) = μ = 0
4. galderaren adibidea:
Demagun ∑(W) ausazko aldagai normal banatua dela, batez bestekoa ∑(μ = 75) eta desbideratze estandarra ∑(sigma = 20) dituena. Aldagai ausazko berri bat ∑(V = 2W + 3) definitzen badugu, zein da ∑(V)-ren espero den balioa?
Eztabaida:
\(V\)-ren espero den balioa aurkitzeko, espero den balioaren linealtasun-propietatea erabili behar dugu. \(V = 2W + 3\) emanda, orduan:
E(V) = E(2W + 3)
Espero den balioaren linealtasun-propietatean oinarrituta, konstantea ausazko aldagaitik bereiz dezakegu:
E(V) = 2E(W) + E(3)
Konstante baten espero den balioa konstantea bera dela jakinda:
E(3) = 3
Eta \( W \)-ren espero den balioa \( W \) banaketa normalaren batez bestekoa da:
E(W) = μ = 75
Beraz,
E(V) = 2 × 75 + 3
E(V) = 150 + 3
E(V) = 153
5. galderaren adibidea:
Ausazko aldagaiak (Q) banaketa normal bat jarraitzen du, batez bestekoa (μ = 40) eta desbideratze estandarra (sigma = 5) dituena. Zein da (Q)-ren espero den balioa (U = Q/2) bada?
Eztabaida:
4. adibideko printzipio bera erabiltzen dugu, hain zuzen ere, espero den balioaren linealtasun-propietatea. \( U = Q/2 \) dela kontuan hartuta, orduan:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Espero den balioaren linealtasun-propietatean oinarrituta:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Badakigu \( Q \)-ren espero den balioa \( Q \) banaketa normalaren batez bestekoa dela:
E(Q) = μ = 40
Beraz,
E(U) = 1/2 bider 40
E(U) = 20
Ondorioa
Banaketa normal batean, ausazko aldagai baten espero den balioa beti banaketaren batez bestekoaren (µ) berdina da. Goiko adibide-problemek linealtasun-propietatea erabiliz espero den balioa kalkulatzeko hainbat baldintza erakusten dituzte. Oinarrizko kontzeptu hau ulertzeak errazten du estatistikako eta probabilitateko banaketa normalaren problemak kudeatzea.
Banaketa normala funtsezkoa da estatistikan, aplikazio praktiko ugaritan erabiltzen baita, besteak beste, hipotesi probak egiteko, parametroen estimazioa egiteko eta beste hainbat ondorio estatistiko egiteko. Banaketa honen balio esperoaren ulermen ona da datuen analisian lehen urrats garrantzitsua.
Espero dugu artikulu honek banaketa normaleko balio esperoaren azalpen argi eta erabilgarria ematea, galdera eta eztabaida garrantzitsuekin batera.
