Funtzio hazkorrei, funtzio beherakorrei eta funtzio geldikorrei buruzko galdera-adibideak eta eztabaida
Funtzio matematikoak gai nahiko sakona dira eta hainbat ezaugarriz beteta daude, horietako bat nola azter daitezkeen da egoera gorakor, beherakor edo geldikorren arabera. Funtzio bat tarte jakin batean gorakorra, beherakorra edo konstantea den jakitea ezinbestekoa da matematikaren hainbat aplikaziotan, besteak beste, ekonomian, fisikan eta ingeniaritzean. Artikulu honek adibideak eta funtzio gorakor, beherakor eta geldikorrei buruzko eztabaida landuko ditu.
Zer dira funtzio hazkorrak, funtzio beherakorrak eta funtzio geldikorrak?
1. Funtzio Hazkorra: \( f(x) \) funtzio bat \( I \) tarte batean handitzen ari dela esaten da, baldin eta \( x_1 \) eta \( x_2 \) guztietarako \( x_1 < x_2 \) denean, \( f(x_1) \leq f(x_2) \) badugu. 2. Funtzio Beherakarra: Alderantziz, \( f(x) \) funtzio bat \( I \) tarte batean txikitzen ari dela esaten da, baldin eta \( x_1 \) eta \( x_2 \) guztietarako \( x_1 < x_2 \) denean, \( f(x_1) \geq f(x_2) \) badugu. 3. Funtzio geldikorra: Funtzio bat \( f(x) \) geldikorra dela esaten da \( I \) tarte batean baldin eta \( x \) bakoitzeko \( I \) funtzioak balio bera badu, hau da, \( f(x) = c \) \( I \) bakoitzeko \( x \) bakoitzeko, non c konstante bat den. 1. galderaren adibidea: Funtzio hazkor baten tartea zehaztea \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) funtzioa emanda. Zehaztu funtzioa handitzen ari den tartea! Eztabaida: Funtzioa handitzen ari den tartea zehazteko, funtzioaren lehen deribatua aurkitu behar dugu eta gero deribatuaren zeinua aztertu. 1. 1. urratsa: Aurkitu lehen deribatua: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. 2. urratsa: Zehaztu puntu kritikoak: Puntu kritikoak lehen deribatua zero edo definitu gabe dagoen puntuak dira. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Zatitu ekuazio osoa 6z: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Faktorizatu ekuazio koadratiko hau: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Beraz, puntu kritikoak \( x = 2 \) eta \( x = -1 \) dira. 3. 3. urratsa: Zehaztu puntu kritikoek osatzen duten tartean lehen deribatuaren zeinua: Zeinu-taula bat sortuko dugu \( f'(x) \)-rentzat \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) eta \( (2, \infty) \) tarteetan. - \( x \in (-\infty, -1) \)rako: Hartu \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] \( f'(-2) > 0 \) denez, \( f(x) \) handitzen ari da \( (-\infty, -1) \) tartean.
– \( x \in (-1, 2) \)rako: Hartu \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
\( f'(0) < 0 \) denez, \( f(x) \) txikitzen ari da \( (-1, 2) \) tartean. - \( x \in (2, \infty) \)rako: Hartu \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] \( f'(3) > 0 \) denez, \( f(x) \) handitzen ari da \( (2, \infty) \) tartean.
Beraz, \( f(x) \) funtzioa handitzen ari da \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \) tartean.
2. arazoaren adibidea: Funtzio-tarte txikitzailea zehaztea
∫(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2) funtzioa emanda. Zehaztu funtzioa gutxitzen den tarteak!
Eztabaida:
1. 1. urratsa: Aurkitu lehen deribatua:
g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2)
g'(x) = 16x^3 – 24x^2
2. 2. urratsa: Zehaztu puntu kritikoa:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Beraz, puntu kritikoak \( x = 0 \) eta \( x = \frac{3}{2} \) dira.
3. 3. urratsa: Zehaztu tarte honetan lehenengo deribatuaren zeinua:
– \( x \in (-\infty, 0) \)rako: Hartu \( x = -1 \)
g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40
\( g'(-1) < 0 \) denez, orduan \( g(x) \) txikitzen ari da \( (-\infty, 0) \) tartean. - \( x \in (0, \frac{3}{2}) \)rako: Hartu \( x = 1 \) \[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] \( g'(1) < 0 \) denez, orduan \( g(x) \) txikitzen ari da \( (0, \frac{3}{2}) \) tartean. - \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \)rako: Hartu \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] \( g'(2) > 0 \) denez, \( g(x) \) handitzen ari da \( (\frac{3}{2}, \infty) \) tartean.
Beraz, \( g(x) \) funtzioa txikitzen da \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) tartean.
3. galderaren adibidea: Atsedenaldian dagoen funtzio baten tartea zehaztea
\(h(x) = 7\) funtzioa emanda, zehaztu funtzioa geldikorra den tarteak!
Eztabaida:
\(h(x) = 7\) bezalako funtzio konstante batek zero deribatua du \(x\) guztientzat:
h'(x) = 0
Lehen deribatua beti zero denez, funtzioa geldikorra da domeinu osoan, beraz, esan dezakegu \( h(x) = 7 \) funtzioa geldikorra dela zenbaki erreal guztietan, tarte-notazioan \( (-\infty, \infty) \) dena.
Ondorioa
Funtzio baten goranzko, beheranzko eta geldikor egoeren tarteak ulertzea funtsezko atala da analisi funtzionalaren. Goiko adibideen bidez, tarte horiek aurkitzeko beharrezkoak diren oinarrizko kontzeptuak eta urratsak landu ditugu. Ezagutza hau oso erabilgarria da matematikaren hainbat aplikazio praktiko eta teorikotan.
