Ελατήρια σε σειρά και παράλληλα – προβλήματα και λύσεις

1. Ένα αντικείμενο 160 γραμμαρίων προσκολλάται στο ένα άκρο ενός ελατηρίου και η μεταβολή στο μήκος του ελατηρίου είναι 4 cm. Ποια είναι η μεταβολή στο μήκος τριών ελατήρια συνδεδεμένα σε σειρά και παράλληλα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα;

Γνωστό:

Η μεταβολή του μήκους ενός ελατηρίου (Δx) = 4 cm = 0.04 m Ελατήρια σε σειρά και παράλληλα – προβλήματα και λύσεις 1

Μάζα (m) = 160 γραμμάρια = 0.16 kg

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²

Βάρος (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 Νιούτον

Ζητούνται: Η μεταβολή του μήκους τριών ελατηρίων (Δx)

Λύση:

Η εξίσωση του Ο νόμος του Hooke :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 N/m

Τα τρία ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά, k = 40 N/m.

Προσδιορίστε την ισοδύναμη σταθερά:

Άνοιξη 2 (k₂) και ελατήριο 3 (k₃) tar συνδεδεμένα παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά:

k₂₃ = κ₂ + κ₃ = 40 + 40 = 80 N/m

Άνοιξη 1 (k₁) και ελατήριο 23 (k₂₃) συνδέονται σε σειρά. Η ισοδύναμη σταθερά:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

Προσδιορίστε την αλλαγή στο μήκος τριών ελατηρίων:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 m = 6 cm

2. Τρία ελατήρια με την ίδια σταθερά συνδεδεμένα σε σειρά και παράλληλα, και ένα αντικείμενο 2 kg προσαρτημένο στο ένα άκρο ενός ελατηρίου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι k₁= κ₂ = κ₃= 300 N/m. Ποια είναι η μεταβολή στο μήκος των τριών ελατηρίων; Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι g = 10 ms;^-2.

Γνωστό:

Σταθερά ελατηρίου k₁= κ₂ = κ₃= 300 Nm^-1

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms^-2

Μάζα αντικειμένου (m) = 2 kg

Βάρος αντικειμένου (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtons

Βλέπε επίσης Νόμος Kirchhoff – προβλήματα και λύσεις

Ζητούνται: Η μεταβολή του μήκους των τριών ελατηρίων (Δx)

Λύση:

Προσδιορίστε την ισοδύναμη σταθερά:

Άνοιξη 1 (k₁) και ελατήριο 2 (k₂) συνδέονται παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά:

k₁₂ = κ₁ + κ₂ = 300 + 300 = 600 N/m

Άνοιξη 3 (k₃) και ελατήριο 12 (k₁₂) συνδέονται σε σειρά. Η ισοδύναμη σταθερά:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 N/m

Προσδιορίστε την αλλαγή στο μήκος των τριών ελατηρίων:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 m

3. Τρία ελατήρια είναι συνδεδεμένα σε σειρά και παράλληλα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η σταθερά ελατηρίου k = 50 Nm^-1 και μια μάζα 400 γραμμαρίων προσαρτημένη στο ένα άκρο ενός ελατηρίου. Ποια είναι η μεταβολή στο μήκος των τριών ελατηρίων.

Γνωστό:

Σταθερά ελατηρίου 1 (k₁) = k = 50 Nm^-1

Σταθερά ελατηρίου 2 (k₂) = k = 50 Nm^-1

Σταθερά ελατηρίου 3 (k₃) = 2k = 2 (50 Nm^-1) = 100 Nm^-1

Μάζα αντικειμένου (m) = 400 γραμμάρια = 0.4 kg

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/s²

Βάρος αντικειμένου (w) = mg = (0.4)(10) = 4 Newtons

Ζητούνται: Η μεταβολή του μήκους (Δx)

Λύση:

Προσδιορίστε την ισοδύναμη σταθερά:

Άνοιξη 1 (k₁) και ελατήριο 2 (k₂) συνδέονται παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά:

k₁₂ = κ₁ + κ₂ = 50 + 50 = 100 N/m

Άνοιξη 3 (k₃) και ελατήριο 12 (k₁₂) συνδέονται σε σειρά. Η ισοδύναμη σταθερά:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 N/m

Προσδιορίστε την αλλαγή στο μήκος των τριών ελατηρίων:

Δx = w / k = 4 / 50 = = 0.08 m = 8 cm

Πώς επηρεάζει η σύνδεση ελατηρίων σε σειρά τη συνολική σταθερά ελατηρίου;
- Απάντηση: Όταν τα ελατήρια συνδυάζονται σε σειρά, η συνολική σταθερά του ελατηρίου μειώνεται. Το αντίστροφο της ισοδύναμης σταθεράς του ελατηρίου είναι το άθροισμα των αντίστροφων των επιμέρους σταθερών των ελατηρίων: 1/k $=1/ k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
Πώς αλλάζει η συνολική σταθερά ελατηρίου όταν τα ελατήρια συνδυάζονται παράλληλα;
- Απάντηση: Ο συνδυασμός ελατηρίων σε παράλληλη λειτουργία έχει ως αποτέλεσμα μια συνολική σταθερά ελατηρίου που είναι το άθροισμα των επιμέρους σταθερών ελατηρίου: k $= k_{1} + k_{2}$ .

Αν δύο πανομοιότυπα ελατήρια είναι διατεταγμένα σε σειρά, πώς συγκρίνεται η συνδυασμένη σταθερά ελατηρίου με τη σταθερά ελατηρίου ενός μεμονωμένου ελατηρίου;
- Απάντηση: Η συνδυασμένη σταθερά ελατηρίου θα είναι το μισό της σταθεράς ελατηρίου ενός από τα μεμονωμένα ελατήρια.

Τι συμβαίνει με την έκταση ή τη συμπίεση των ελατηρίων σε σειρά όταν ασκείται δύναμη;
- Απάντηση: Για ελατήρια σε σειρά, η ίδια δύναμη προκαλεί την έκταση ή τη συμπίεση κάθε ελατηρίου, αλλά η συνολική έκταση (ή συμπίεση) είναι το άθροισμα των έκτασης (ή συμπίεσης) των μεμονωμένων ελατηρίων.

Αν τα ελατήρια που είναι συνδεδεμένα παράλληλα δέχονται μια δύναμη, πώς κατανέμεται αυτή η δύναμη;
- Απάντηση: Για ελατήρια σε παράλληλη σύνδεση, η δύναμη κατανέμεται μεταξύ των ελατηρίων με βάση τις σταθερές τους. Τα ελατήρια με υψηλότερη σταθερά ελατηρίου θα φέρουν μεγαλύτερο μέρος της δύναμης από εκείνα με χαμηλότερη σταθερά ελατηρίου.
Γιατί τα ελατήρια σε μια σειρά μπορούν να θεωρηθούν ως ένα μόνο ελατήριο με μεγαλύτερο μήκος;
- Απάντηση: Τα ελατήρια σε σειρά έχουν ένα συνδυασμένο αποτέλεσμα ισοδύναμο με το τέντωμα ενός μόνο μακρύτερου ελατηρίου. Οι επιμηκύνσεις ή οι συμπιέσεις των μεμονωμένων ελατηρίων αθροίζονται, όπως ακριβώς θα συνέβαινε σε ένα μακρύτερο μεμονωμένο ελατήριο.

Πώς συγκρίνεται η δυναμική ενέργεια που αποθηκεύεται σε ελατήρια σε σειρά με αυτήν σε ελατήρια σε παράλληλη σύνδεση για την ίδια εφαρμοζόμενη δύναμη;
- Απάντηση: Τα ελατήρια σε σειρά αποθηκεύουν περισσότερη δυναμική ενέργεια από τα ελατήρια σε παράλληλα συνδεδεμένα ελατήρια για την ίδια εφαρμοζόμενη δύναμη, επειδή υφίστανται μεγαλύτερη συνδυασμένη έκταση ή συμπίεση.
Εάν ένα από τα ελατήρια σε παράλληλη διαμόρφωση σπάσει ή καταστεί αναποτελεσματικό, τι συμβαίνει στη συνολική συμπεριφορά του συστήματος;
- Απάντηση: Εάν ένα ελατήριο σε παράλληλη διαμόρφωση σπάσει, τα υπόλοιπα ελατήρια θα συνεχίσουν να λειτουργούν. Ωστόσο, η συνολική σταθερά ελατηρίου του συστήματος θα μειωθεί και το σύστημα δεν θα είναι σε θέση να ασκήσει τόση δύναμη επαναφοράς όσο πριν.

Γιατί τα ελατήρια σε σειρά είναι πιο ευάλωτα σε μεγαλύτερες παραμορφώσεις από αυτά που είναι συνδεδεμένα παράλληλα για την ίδια εφαρμοζόμενη δύναμη;
- Απάντηση: Για ελατήρια σε σειρά, η ίδια δύναμη ασκείται σε κάθε ελατήριο, προκαλώντας την έκταση ή τη συμπίεση καθενός. Η συνολική παραμόρφωση είναι το άθροισμα των επιμέρους παραμορφώσεων. Παράλληλα, η δύναμη κατανέμεται μεταξύ των ελατηρίων, έτσι ώστε το καθένα να υφίσταται μειωμένη ενεργό δύναμη, με αποτέλεσμα μικρότερες επιμέρους παραμορφώσεις.
Σε πρακτικές εφαρμογές, γιατί οι μηχανικοί μπορεί να επιλέξουν να χρησιμοποιούν ελατήρια παράλληλα αντί για σε σειρά;

Απάντηση: Οι μηχανικοί μπορεί να επιλέξουν ελατήρια σε παράλληλη λειτουργία για να επιτύχουν υψηλότερη συνολική σταθερά ελατηρίου, με αποτέλεσμα πιο άκαμπτη συμπεριφορά. Αυτή η ρύθμιση μπορεί επίσης να παρέχει πλεονασμό. Εάν ένα ελατήριο χαλάσει, το σύστημα συνεχίζει να λειτουργεί, αν και με μειωμένη συνολική σταθερά ελατηρίου.