Περιστροφή άκαμπτων σωμάτων – προβλήματα και λύσεις

Η μροπή δύναμης

1. Τρεις δυνάμεις ασκούνται σε μια δοκό μήκους 6 μέτρων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η καθαρή ροπή περιστρέφει τη δοκό γύρω από το σημείο Ο ως άξονα περιστροφής;

Γνωστό: Περιστροφή άκαμπτων σωμάτων – προβλήματα και λύσεις 1

Ο άξονας περιστροφής στο σημείο Ο.

Δύναμη 1 (F₁) = F

Η απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης του F₁με τον άξονα περιστροφής (r₁) = 3 μέτρα

Δύναμη 2 (F₂) = 2F

Η απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης του F₂ με τον άξονα περιστροφής (r₂) = 2 μέτρα

Δύναμη 3 (F₃) = 2F

Η απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης του F₃ με τον άξονα περιστροφής (r₃) = 3 μέτρα

Καταζητούμενος: Το μέγεθος του στιγμή της δύναμης

Λύση:

Η ροπή δύναμης 1:

τ₁= ΣΤ₁ r₁ = (F)(3) = -3F

The στιγμή της δύναμης 1 περιστρέφει τη δέσμη δεξιόστροφα, επομένως αντιστοιχίζουμε ένα αρνητικό σημάδι.

Η ροπή δύναμης 2:

τ₂= ΣΤ₂ r₂ = (2F)(2) = 4F

Η ροπή δύναμης 2 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως της αποδίδουμε θετικό πρόσημο.

Η ροπή δύναμης 3:

τ₃= ΣΤ₃ r₃αμαρτία 30^o= (2F)(3)(0.5) = 3F

Η ροπή δύναμης 2 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως της αποδίδουμε θετικό πρόσημο.

Η συνισταμένη της ροπής δύναμης:

Στ = τ₁+ τ₂+ τ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

Το μέγεθος της ροπής δύναμης είναι 4F Newton-meter. Η συνισταμένη της ροπής δύναμης περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως της αποδίδουμε θετικό πρόσημο.

2. α = 30^o, μήκος του AB = BC = 1 μέτρο. Ποια είναι η ροπή δύναμης ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Α;

Γνωστό:

Ο άξονας περιστροφής στο σημείο A.

Δύναμη 1 (F₁) = 10 Ν

Η απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης του F₁με τον άξονα περιστροφής (r₁) = 1 μέτρα

Δύναμη 2 (F₂) = 10 Ν

Βλέπε επίσης Κεκλιμένο επίπεδο – προβλήματα και λύσεις

Η απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης του F₂με τον άξονα περιστροφής (r₂) = 1 μέτρα

Δύναμη 3 (F₃) = 20 Ν

Η απόσταση μεταξύ της γραμμής δράσης του F₃με τον άξονα περιστροφής (r₃) = 2 μέτρα

Καταζητούμενος: Η συνισταμένη της ροπής δύναμης

Λύση:

Η ροπή δύναμης 1:

τ₁= ΣΤ₁ r₁ αμαρτία 30^o= (10)(1)(0.5) = 5 N m

The στιγμή της δύναμης 1 περιστρέφει τη δέσμη αντιμετώπισηδεξιόστροφα, έτσι αναθέτουμεθετικός σημάδι.

Η ροπή δύναμης 2:

τ₂= ΣΤ₂ r₂αμαρτία 30^o= (10)(1)(0.5) = -5 Νιούτον μέτρα

The ροπή δύναμης 2 περιστρέφει το beam δεξιόστροφα, έτσι αναθέτουμεn αρνητικό σημάδι.

Η ροπή δύναμης 3:

τ₃ = ΣΤ₃ r₃αμαρτία 60^o= (20)(2)(0.5√3) = -20√3 Νιούτον μέτρα

The ροπή δύναμης 3 περιστρέφει το beam δεξιόστροφα, έτσι αναθέτουμεαρνητικός σημάδι.

Η συνισταμένη της ροπής δύναμης:

Στ = τ₁ + τ₂+ τ₃

Στ = 5 – 5 – 20√3

Στ = – 20√3 N m

Το μέγεθος της ροπής δύναμης είναι 20√3 N m. Η συνισταμένη της ροπής δύναμης περιστρέφει τη δέσμη δεξιόστροφα, επομένως της αποδίδουμε αρνητικό πρόσημο.

Τι είναι ένα άκαμπτο σώμα και πώς διαφέρει από ένα μη άκαμπτο σώμα;
- Απάντηση: Ένα άκαμπτο σώμα είναι ένα ιδεαλισμένο αντικείμενο στο οποίο η απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο δεδομένων σημείων μέσα στο σώμα παραμένει σταθερή, ανεξάρτητα από εξωτερικές δυνάμεις ή ροπές. Αντίθετα, ένα μη άκαμπτο σώμα μπορεί να παραμορφωθεί, επιτρέποντας την αλλαγή της απόστασης μεταξύ σημείων μέσα στο σώμα.
Πώς σχετίζεται η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος με την κατανομή μάζας του;
- Απάντηση: Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος είναι ένα μέτρο της αντίστασής του στην περιστροφική κίνηση γύρω από έναν δεδομένο άξονα και εξαρτάται τόσο από τη μάζα του σώματος όσο και από την κατανομή της σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Υπολογίζεται από το άθροισμα των γινομένων της μάζας κάθε στοιχείου επί το τετράγωνο της απόστασής του από τον άξονα περιστροφής.

Ποια είναι η σημασία της περιστροφικής κινητικής ενέργειας ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος;
- Απάντηση: Η περιστροφική κινητική ενέργεια είναι ένα μέτρο της ενέργειας που οφείλεται στην περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος. Εξαρτάται τόσο από τη ροπή αδράνειας όσο και από τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος, που δίνεται από τον τύπο 1/2. $I ω^{2}$ , Όπου $I$ είναι η ροπή αδράνειας, και $ω$ είναι η γωνιακή ταχύτητα.

Τι συμβαίνει με την στροφορμή ενός συστήματος σωματιδίων εάν δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές ροπές;
- Απάντηση: Εάν δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές σε ένα σύστημα σωματιδίων, η συνολική στροφορμή του συστήματος διατηρείται. Αυτή είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής.
Πώς βοηθά το θεώρημα των παράλληλων αξόνων στην εύρεση της ροπής αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος;
- Απάντηση: Το θεώρημα παράλληλων αξόνων επιτρέπει τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος ως προς οποιονδήποτε άξονα παράλληλο και σε απόσταση $d$ μακριά από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Δηλώνει ότι $I = I_{c m} + m d^{2}$ , Όπου $I_{c m}$ είναι η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας, $m$ είναι η συνολική μάζα, και $d$ είναι η απόσταση μεταξύ των δύο αξόνων.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ κύλισης χωρίς ολίσθηση και κύλισης με ολίσθηση;
- Απάντηση: Η κύλιση χωρίς ολίσθηση συμβαίνει όταν ένα άκαμπτο σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα ενώ παράλληλα μετατοπίζεται, χωρίς καμία σχετική κίνηση μεταξύ του σώματος και της επιφάνειας. Η κύλιση με ολίσθηση σημαίνει ότι υπάρχει σχετική κίνηση ή ολίσθηση μεταξύ του σώματος και της επιφάνειας.
Πώς σχετίζεται η ακτίνα περιστροφής με τη ροπή αδράνειας;
- Απάντηση: Η ακτίνα περιστροφής είναι ένα μέτρο που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο κατανέμεται η μάζα ενός σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής του. Ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του λόγου της ροπής αδράνειας προς τη μάζα και παρέχει μια ισοδύναμη απόσταση από τον άξονα όπου όλη η μάζα θα μπορούσε να συγκεντρωθεί χωρίς να αλλάξει η ροπή αδράνειας.

Ποια επίδραση έχει η αύξηση της ροπής αδράνειας στη γωνιακή επιτάχυνση ενός άκαμπτου σώματος για μια δεδομένη ροπή;
- Απάντηση: Για μια δεδομένη ροπή, η αύξηση της ροπής αδράνειας θα μειώσει τη γωνιακή επιτάχυνση, καθώς $α = τ/I$ , Όπου $α$ είναι η γωνιακή επιτάχυνση, $τ$ είναι η ροπή, και $I$ είναι η ροπή αδράνειας.

Μπορεί μια δύναμη που ασκείται σε ένα άκαμπτο σώμα να προκαλέσει τόσο μεταφορική όσο και περιστροφική κίνηση; Εξηγήστε πώς.
- Απάντηση: Ναι, μια δύναμη που ασκείται σε ένα άκαμπτο σώμα μπορεί να προκαλέσει τόσο μεταφορική όσο και περιστροφική κίνηση. Εάν η δύναμη ασκείται σε ένα σημείο που δεν συμπίπτει με το κέντρο μάζας, μπορεί να προκαλέσει τη μετατόπιση (γραμμική κίνηση) του σώματος και την περιστροφή. Η μεταφορική κίνηση καθορίζεται από τη συνισταμένη δύναμη, ενώ η περιστροφική κίνηση εξαρτάται από τη ροπή που δημιουργείται από τη δύναμη γύρω από το κέντρο μάζας.

Γιατί ένας αθλητής καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται πιο γρήγορα όταν τραβάει τα χέρια του κοντά στο σώμα του;

Απάντηση: Τραβώντας τα χέρια του κοντά στο σώμα του, ένας αθλητής καλλιτεχνικού πατινάζ μειώνει τη ροπή αδράνειάς του. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της στροφορμής, εάν η ροπή αδράνειας μειωθεί και δεν ασκηθεί εξωτερική ροπή, η γωνιακή ταχύτητα πρέπει να αυξηθεί. Έτσι, ο αθλητής περιστρέφεται πιο γρήγορα.

Βλέπε επίσης Ρευστοδυναμική – προβλήματα και λύσεις

Αυτές οι ερωτήσεις και οι απαντήσεις παρέχουν μια κατανόηση βασικών εννοιών που σχετίζονται με την περιστροφή άκαμπτων σωμάτων.