Περιστροφική κίνηση – προβλήματα και λύσεις

Περιστροφική κίνηση – προβλήματα και λύσεις

Ροπή

1. Μια δοκός μήκους 140 cm. Στη δοκό ασκούνται τρεις δυνάμεις, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N και F3 = 40 N, _με κατεύθυνση και θέση όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η ροπή που προκαλεί την περιστροφή της δοκού γύρω από το κέντρο μάζας της;

Γνωστό:

Το κέντρο μάζας βρίσκεται στο κέντρο της δοκού.

Μήκος δοκού (l) = 140 cm = 1.4 μέτρα

Δύναμη 1 (F1 ₎ = 20 N, ο μοχλός 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 μέτρα

Δύναμη 2 (F2 ₎ = 10 N, ο μοχλός 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 μέτρα

Δύναμη 3 (F3 ₎ = 40 N, ο μοχλός 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 μέτρα

Ζητείται: Το μέγεθος της ροπής

Λύση:

Η ροπή 1 περιστρέφει τη δέσμη δεξιόστροφα, επομένως της αποδίδεται αρνητικό πρόσημο.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Η ροπή 2 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, αποδίδοντας έτσι θετικό πρόσημο στη ροπή 2.

τ2 ₌ F2l2 = ( _{10N )} (0.3 m ) = 3 Nm

Η ροπή στρέψης 3 περιστρέφει τη δέσμη δεξιόστροφα, επομένως της αποδίδεται θετικό πρόσημο.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 N m

Η καθαρή ροπή:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Το μέγεθος της ροπής στρέψης είναι 39 N m. Η κατεύθυνση περιστροφής της δέσμης δεξιόστροφα, επομένως έχει αρνητικό πρόσημο.

2. Ποια είναι η καθαρή ροπή που ασκείται στη δοκό. Ο άξονας περιστροφής στο σημείο D. (sin 53 ^o = 0.8)

Γνωστό:

Ο άξονας περιστροφής στο σημείο D

F ₁ = 10 N και l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 μέτρα

F ₂ = 10√2 N και l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 μέτρα

F ₃ = 20 N και l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 μέτρα

Ζητείται: Η καθαρή ροπή

Λύση:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Η ροπή 1 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως αποδίδουμε θετικό πρόσημο στη ροπή 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Η ροπή 2 περιστρέφει τη δέσμη δεξιόστροφα, επομένως αντιστοιχίζουμε αρνητικό πρόσημο στη ροπή 2)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Η ροπή 3 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως αποδίδουμε θετικό πρόσημο στη ροπή 3)

Η καθαρή ροπή:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Ποια είναι η καθαρή ροπή αν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο σημείο D. (sin 53 ^o = 0.8)

Γνωστό:

Ο άξονας περιστροφής στο σημείο D.

Απόσταση μεταξύ F1 _και του άξονα περιστροφής (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Απόσταση μεταξύ F2 _και του άξονα περιστροφής (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Απόσταση μεταξύ F3 _και του άξονα περιστροφής (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = 10 _{Νιούτον}

F2 = 10√2 _{Νιούτον}

F3 = 20 _{Νιούτον}

Αμαρτία 53 ^ο = 0.8

Ζητείται: Η καθαρή ροπή

Λύση:

Η ροπή της δύναμης 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Η ροπή 1 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως αποδίδουμε θετικό πρόσημο στη ροπή 1)

Η ροπή της δύναμης 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Η ροπή 2 περιστρέφει τη δέσμη δεξιόστροφα, επομένως αντιστοιχίζουμε αρνητικό πρόσημο στη ροπή 2)

Η ροπή της δύναμης 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Η ροπή 2 περιστρέφει τη δέσμη αριστερόστροφα, επομένως αποδίδουμε θετικό πρόσημο στη ροπή 3)

Η καθαρή ροπή:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Νιούτον μέτρα

Η ροπή αδράνειας

4. Μήκος σύρματος = 12 m, l ₁ = 4 m. Αγνοήστε τη μάζα του σύρματος. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος;

Γνωστό:

Μάζα του A (m _A ) = 0.2 kg

Μάζα του Β (m2B ₎ = 0.6 kg

Απόσταση μεταξύ του A και του άξονα περιστροφής (r _A ) = 4 μέτρα

Απόσταση μεταξύ Β και του άξονα περιστροφής (rB ₎ = 12 – 4 = 8 μέτρα

Ζητείται: Η ροπή αδράνειας του συστήματος

Λύση:

Η ροπή αδράνειας του Α

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Η ροπή αδράνειας του Β

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Η ροπή αδράνειας του συστήματος:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Περιστροφική δυναμική

5. Μια δύναμη 6 N ασκείται σε ένα σχοινί τυλιγμένο γύρω από μια τροχαλία μάζας M = 5 kg και ακτίνας R = 20 cm. Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας; Η τροχαλία είναι ένας ομοιογενής στερεός κύλινδρος.

Γνωστό:

Δύναμη (F) = 6 Newton

Μάζα (Μ) = 5 kg

Ακτίνα (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Ζητείται: Γωνιακή επιτάχυνση (α)

Λύση:

Η ροπή της δύναμης:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 μέτρα) = 1.2 N m

Η ροπή αδράνειας για έναν στερεό κύλινδρο:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m2 )

Ι = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m2.

Η γωνιακή επιτάχυνση:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Ένα μπλοκ μάζας = 4 kg κρέμεται από ένα σχοινί τυλιγμένο γύρω από μια τροχαλία μάζας = 8 kg και ακτίνας R = 10 cm. Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 ms ^-2 . Ποια είναι η γραμμική επιτάχυνση του μπλοκ; Η τροχαλία είναι ένας ομοιογενής στερεός κύλινδρος.

Γνωστό:

Μάζα τροχαλίας (m) = 8 kg

Ακτίνα τροχαλίας (r) = 10 cm = 0.1 m

Μάζα μπλοκ (m) = 4 kg

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ ^s²

Βάρος (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Ζητείται: Η επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης του μπλοκ

Λύση:

Η ροπή αδράνειας του στερεού κυλίνδρου:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Η ροπή της δύναμης:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Η γωνιακή επιτάχυνση:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Η γραμμική επιτάχυνση:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Ένα μπλοκ μάζας m κρέμεται από ένα σχοινί τυλιγμένο γύρω από μια τροχαλία. Αν η επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης του μπλοκ είναι am/s² ^, ποια είναι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας;

Γνωστό:

βάρος = w = mg

Βραχίονας μοχλού = R

Η γωνιακή επιτάχυνση = α

Η επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης του μπλοκ = a ms ^-2

Ζητείται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας (I)

Λύση:

Η σύνδεση μεταξύ της γραμμικής επιτάχυνσης και της γωνιακής επιτάχυνσης:

α = Rα

α = a / R

Η ροπή αδράνειας:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Η στροφορμή

8. Ένα σωματίδιο 0.2 γραμμαρίων κινείται σε κύκλο με σταθερή ταχύτητα 10 m/s. Η ακτίνα του κύκλου είναι 3 cm. Ποια είναι η στροφορμή του σωματιδίου;

Γνωστό:

Μάζα σωματιδίου (m) = 0.2 γραμμάρια = 2 x 10 ^-4 kg

Γωνιακή ταχύτητα (ω) = 10 rad s ^-1

Ακτίνα (r) = 3 cm = 3 x 10 ^-2 μέτρα

Ζητείται: Η στροφορμή του σωματιδίου

Λύση:

Η εξίσωση της στροφορμής:

L = I ω

I = η στροφορμή, I = η ροπή αδράνειας, ω = η γωνιακή ταχύτητα

Η ροπή αδράνειας (για σωματίδια):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Η στροφορμή:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. Τι είναι η περιστροφική κίνηση;
   • ΑπάντησηΗ περιστροφική κίνηση αναφέρεται στην κίνηση ενός αντικειμένου γύρω από έναν σταθερό άξονα. Είναι το είδος της κίνησης κατά την οποία κάθε σημείο του αντικειμένου κινείται κυκλικά γύρω από τον άξονα.
2. Πώς σχετίζεται η γραμμική ταχύτητα με τη γωνιακή ταχύτητα στην περιστροφική κίνηση;
   • Απάντηση: Γραμμική ταχύτητα ($v$) ενός σημείου σε ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο είναι ευθέως ανάλογο με την απόστασή του ($r$) από τον άξονα περιστροφής και τη γωνιακή ταχύτητα ($\omega$) του αντικειμένου. Η σχέση δίνεται από $v=r\cdot \omega$.
3. Τι είναι η ροπή αδράνειας και πώς σχετίζεται με την περιστροφική κίνηση;
   • ΑπάντησηΗ ροπή αδράνειας είναι το περιστροφικό ανάλογο της μάζας σε γραμμική κίνηση. Μετρά την αντίσταση ενός αντικειμένου στις αλλαγές στην περιστροφική του κατάσταση. Η ροπή αδράνειας εξαρτάται τόσο από τη μάζα ενός αντικειμένου όσο και από την κατανομή της σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.
4. Πώς εφαρμόζεται ο πρώτος νόμος κίνησης του Νεύτωνα στην περιστροφική κίνηση;
   • ΑπάντησηΌπως ακριβώς ένα αντικείμενο σε γραμμική κίνηση παραμένει σε κίνηση εκτός εάν ασκηθεί πάνω του μια εξωτερική δύναμη, έτσι και ένα αντικείμενο σε περιστροφική κίνηση θα παραμείνει σε αυτήν την κατάσταση εκτός εάν ασκηθεί πάνω του μια εξωτερική ροπή στρέψης.
5. Ποια είναι η σημασία της ακτίνας περιστροφής;
   • ΑπάντησηΗ ακτίνα περιστροφής παρέχει ένα μέτρο της κατανομής της μάζας ενός αντικειμένου μακριά από τον άξονα περιστροφής του. Ουσιαστικά περιγράφει πόσο μακριά από τον άξονα θα έπρεπε να συγκεντρωθεί όλη η μάζα του αντικειμένου για να έχει την ίδια ροπή αδράνειας με την αρχική κατανομή.
6. Τι είναι η στροφορμή και πώς διατηρείται;
   • ΑπάντησηΗ στροφορμή είναι το περιστροφικό ισοδύναμο της γραμμικής ορμής. Είναι το γινόμενο της ροπής αδράνειας ενός αντικειμένου και της γωνιακής του ταχύτητας. Σε ένα κλειστό σύστημα, η συνολική στροφορμή παραμένει σταθερή εκτός εάν ασκηθεί εξωτερική ροπή, γεγονός που υπογραμμίζει την αρχή διατήρησης της στροφορμής.
7. Πώς επηρεάζει η ροπή την περιστροφική κίνηση;
   • ΑπάντησηΗ ροπή είναι το περιστροφικό ισοδύναμο της δύναμης. Προκαλεί αλλαγές στην περιστροφική κίνηση ενός αντικειμένου. Η σχέση δίνεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την περιστροφή: $\tau =I\cdot \alpha$, Όπου $\tau$ είναι η ροπή, $I$ είναι η ροπή αδράνειας, και $\alpha$ είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
8. Πώς διαφέρει το κέντρο μάζας από το κέντρο περιστροφής;
   • ΑπάντησηΕνώ μπορούν να συμπίπτουν, το κέντρο μάζας είναι το σημείο όπου μπορεί να θεωρηθεί ότι ολόκληρη η μάζα ενός αντικειμένου είναι συγκεντρωμένη για τους σκοπούς των υπολογισμών σε γραμμική κίνηση, ενώ το κέντρο περιστροφής είναι το σημείο (ή ο άξονας) γύρω από το οποίο περιστρέφεται ένα αντικείμενο.
9. Ποιος είναι ο ρόλος της κεντρομόλου δύναμης στην περιστροφική κίνηση;
   • ΑπάντησηΗ κεντρομόλος δύναμη είναι η συνολική δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο που κινείται σε κυκλική τροχιά, κατευθυνόμενη προς το κέντρο περιστροφής. Είναι υπεύθυνη για τη διατήρηση ενός αντικειμένου στην καμπύλη τροχιά του και την αποτροπή της ευθύγραμμης κίνησής του λόγω αδράνειας.

10. Πώς σχετίζεται η περιστροφική κινητική ενέργεια με τη ροπή αδράνειας και τη γωνιακή ταχύτητα;

    • ΑπάντησηΗ περιστροφική κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια που οφείλεται στην περιστροφή ενός αντικειμένου γύρω από έναν άξονα. Δίνεται από τον τύπο: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Όπου $I$ είναι η ροπή αδράνειας και $\omega$ είναι η γωνιακή ταχύτητα.