Ροπή αδράνειας για σωματίδια – προβλήματα και λύσεις

1. Δύο μπάλες συνδεδεμένες με μια ράβδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αγνοήστε τη μάζα της ράβδου . Η μάζα της μπάλας P είναι 600 γραμμάρια και η μάζα της μπάλας Q είναι 400 γραμμάρια. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς το AB;

Γνωστό:

Ο άξονας περιστροφής είναι ΑΒ. Ροπή αδράνειας για σωματίδια – προβλήματα και λύσεις 1

m _p = 600 γραμμάρια = 0.6 kg, m _q = 400 γραμμάρια = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Ζητείται: Η ροπή αδράνειας του συστήματος

Λύση:

_I = _mpr rp2 + ^mqrq2

I = (0.6 kg)(0.2 m) ² + (0.4 kg)(0.5 m) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m2 ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m2 )

I = 0.024 kg m ² + 0.1 kg m ²

I = 0.124 kg m ²

2. Η ράβδος του AB με μάζα 2 kg περιστράφηκε γύρω από το σημείο A. Η ροπή αδράνειας της ράβδου είναι 8 kg m ^2. Αν περιστραφεί γύρω από το σημείο O (AO = OB), ποια είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου;

Γνωστό: Ροπή αδράνειας για σωματίδια – προβλήματα και λύσεις 2

Μάζα ράβδου AB (m) = 2 kg

Αν περιστραφεί γύρω από το σημείο Α έτσι ώστε η ακτίνα περιστροφής (r) = μήκος του AB = r τότε η ροπή αδράνειας (I) = 8 kg m ²

Ζητείται: Αν περιστραφεί γύρω από το σημείο Ο έτσι ώστε η ακτίνα περιστροφής (r) = μήκος του AO = μήκος του OB = 1/2 r, τότε ποια είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου.

Λύση:

Εγώ = Κύριος ²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r2 ⁼ 8 m2 ^/ 2

r2 = ⁴^m2

r = 2 μέτρα

Αν περιστραφεί γύρω από το σημείο Ο έτσι ώστε ½ r = 1 μέτρο, τότε η ροπή αδράνειας:

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

3. Δύο μπάλες συνδεδεμένες με μια ράβδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αγνοήστε τη μάζα της ράβδου. Ποια είναι η ροπή αδράνειας του συστήματος;

Γνωστό:

Μάζα της μπάλας A (m_A) = 200 γραμμάρια = 0.2 κιλά Ροπή αδράνειας για σωματίδια – προβλήματα και λύσεις 3

Μάζα της μπάλας Β (m2/ _B ) = 400 γραμμάρια = 0.4 kg

Απόσταση μεταξύ της σφαίρας Α και του άξονα περιστροφής (r _A ) = 0

Απόσταση μεταξύ της σφαίρας Β και του άξονα περιστροφής (rB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Ζητείται: Ροπή αδράνειας του συστήματος

Λύση:

Η ροπή αδράνειας της μπάλας Α:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Η ροπή αδράνειας της μπάλας Β:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Η ροπή αδράνειας του συστήματος:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. Τέσσερα σωματίδια με διαφορετικές μάζες, όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Προσδιορίστε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς την οριζόντια γραμμή P.

Λύση

Ο άξονας περιστροφής είναι η οριζόντια γραμμή P.

Γνωστό: Ροπή αδράνειας για σωματίδια – προβλήματα και λύσεις 4

Μάζα σωματιδίου A (m _A ) = m

Μάζα σωματιδίου Β (mB ₎ = 2m

Μάζα σωματιδίου C (m _C ) = 3m

Διέλευση σωματιδίων D (m _D ) = 4m

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου Α και του άξονα περιστροφής (r _A ) = b

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου Β και του άξονα περιστροφής (rB ₎ = b

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου C και του άξονα περιστροφής (rC ₎ = 2b

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου D και του άξονα περιστροφής (r- _D ) = 2b

Ζητείται: Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς την οριζόντια ευθεία P

Λύση:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

5. Τέσσερα σωματίδια συνδεδεμένα με μια ράβδο. Αγνοήστε τη μάζα της ράβδου. Προσδιορίστε τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής των σωματιδίων m ₁ και m ₂ , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γνωστός

Μάζα σωματιδίου 1 (m₁) = 1/4 κιλό Ροπή αδράνειας για σωματίδια – προβλήματα και λύσεις 5

Μάζα σωματιδίου 2 (m ₂ ) = 1/2 kg

Μάζα σωματιδίου 3 (m ₃ ) = 1/4 kg

Μάζα σωματιδίου 4 (m ₄ ) = 1/4 kg

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου 1 και του άξονα περιστροφής (r1 ₎ = 0

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου 2 και του άξονα περιστροφής (r2 ₎ = 0

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου 3 και του άξονα περιστροφής (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Απόσταση μεταξύ του σωματιδίου 4 και του άξονα περιστροφής (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Ζητείται: Η ροπή αδράνειας

Λύση:

Ι = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

Ι = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

Ι = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Ι = 1/400 + 1/400

Ι = 2/400

I = 1/200 ^kg.m2

Ποια είναι η ροπή αδράνειας για ένα σωματίδιο;
- ΑπάντησηΓια ένα μόνο σωματίδιο μάζας $m$ σε μια απόσταση $r$ από έναν άξονα περιστροφής, η ροπή αδράνειάς του $I$ δίνεται από $I = m \times r^{2}$ .
Γιατί η ροπή αδράνειας αναφέρεται συχνά ως το «περιστροφικό ανάλογο» της μάζας;
- ΑπάντησηΌπως ακριβώς η μάζα είναι ένα μέτρο της αντίστασης ενός αντικειμένου στις αλλαγές στην περιστροφική του κίνηση (λόγω του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα), έτσι και η ροπή αδράνειας είναι ένα μέτρο της αντίστασης ενός αντικειμένου στις αλλαγές στην περιστροφική του κίνηση.
Πώς επηρεάζει η αλλαγή της απόστασης ενός σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής του τη ροπή αδράνειάς του;
- ΑπάντησηΗ ροπή αδράνειας είναι ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα περιστροφής. Αν διπλασιάσετε την απόσταση, η ροπή αδράνειας θα αυξηθεί κατά τέσσερις φορές.
Γιατί το τετράγωνο της απόστασης είναι (r²) χρησιμοποιείται στον τύπο για τη ροπή αδράνειας αντί μόνο για την απόσταση;
- ΑπάντησηΤο τετράγωνο της απόστασης χρησιμοποιείται λόγω του τρόπου με τον οποίο λειτουργεί η κινητική ενέργεια στην περιστροφή. Στην περιστροφική κίνηση, κάθε σωματίδιο ενός αντικειμένου συνεισφέρει στην περιστροφική κινητική ενέργεια με βάση τόσο τη μάζα του όσο και το τετράγωνο της απόστασής του από τον άξονα.
Πώς αλλάζει η ροπή αδράνειας ενός σωματιδίου αν η μάζα του τριπλασιαστεί διατηρώντας παράλληλα σταθερή την απόσταση από τον άξονα;
- ΑπάντησηΑν η μάζα τριπλασιαστεί και η απόσταση διατηρηθεί σταθερή, η ροπή αδράνειας θα τριπλασιαστεί επίσης επειδή είναι ευθέως ανάλογη με τη μάζα.
Μπορεί ένα σωματίδιο να έχει ροπή αδράνειας μηδέν; Αν ναι, υπό ποιες συνθήκες;
- ΑπάντησηΝαι, ένα σωματίδιο θα έχει ροπή αδράνειας μηδέν αν βρίσκεται ακριβώς στον άξονα περιστροφής, με αποτέλεσμα η απόστασή του $r$ από τον άξονα ίσο με μηδέν.
Γιατί διαφορετικά αντικείμενα με την ίδια μάζα και μέγεθος έχουν διαφορετικές ροπές αδράνειας όταν περιστρέφονται γύρω από διαφορετικούς άξονες;
- ΑπάντησηΗ κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής καθορίζει τη ροπή αδράνειας. Ακόμα κι αν δύο αντικείμενα έχουν την ίδια μάζα και μέγεθος, οι κατανομές μάζας τους σε σχέση με τον άξονα περιστροφής μπορεί να διαφέρουν, οδηγώντας σε διαφορετικές ροπές αδράνειας.
Η ροπή αδράνειας είναι βαθμωτό ή διανυσματικό μέγεθος;
- ΑπάντησηΗ ροπή αδράνειας είναι μια βαθμωτή ποσότητα. Ωστόσο, για άκαμπτα σώματα με σύνθετα σχήματα και πολλαπλούς άξονες περιστροφής, αναπαρίσταται από έναν τανυστή.
Αν δύο σωματίδια, καθένα από τα οποία έχει μάζα $m$ , βρίσκονται σε αποστάσεις $r_{1}$ και $r_{2}$ από τον άξονα περιστροφής, ποια είναι η συνδυασμένη ροπή αδράνειας;
- ΑπάντησηΗ ροπή αδράνειας είναι αθροιστική για μεμονωμένα σωματίδια. Έτσι, η συνδυασμένη ροπή αδράνειας $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Πώς σχετίζεται η ροπή αδράνειας με τη διατήρηση της στροφορμής;
- Απάντηση: Γωνιακή ορμή $L$ είναι το γινόμενο της ροπής αδράνειας $I$ και γωνιακή ταχύτητα $ω$ , που αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση $L = I \times ω$ Εάν δεν ασκούνται εξωτερικές ροπές σε ένα σύστημα, η στροφορμή θα παραμείνει σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι εάν αλλάξει η ροπή αδράνειας (όπως σε έναν αθλητή του καλλιτεχνικού πατινάζ που τραβάει τα χέρια του), η γωνιακή ταχύτητα πρέπει να προσαρμοστεί για να διατηρήσει το γινόμενο σταθερό.