Μηχανική ενέργεια – προβλήματα και λύσεις

Μηχανική ενέργεια – προβλήματα και λύσεις

Η αρχή του έργου-μηχανικής ενέργειας

1. Ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ μπλοκ και δαπέδου (μk ₎ είναι 0.5. Ποια είναι η μετατόπιση ενός/των αντικειμένου/ων; Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/ ^s².

Γνωστό:

Ο συντελεστής κινητικής τριβής (μ _k ) = 0.5

Μάζα μπλοκ (m) = 4 kg

Η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) είναι 10 m/ ^s²

Βάρος μπλοκ (w) = mg = (4)(10) = 40 Newtons

Αν το μπλοκ βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο, τότε η κάθετη δύναμη (N) = βάρος (w) = 40 Newtons.

Αν το μπλοκ βρίσκεται στο οριζόντιο επίπεδο, τότε η κάθετη δύναμη (N) = βάρος (w) = 40 Newtons.

Αρχική ταχύτητα (v1 ₎ = 5 m/s

Τελική ταχύτητα (v2 ₎ = 0 m/s

Ζητείται: μετατόπιση αντικειμένου (δ);

Λύση:

Η αρχή έργου-μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι το έργο (W) που παράγεται από τη μη συντηρητική δύναμη είναι το ίδιο με τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας ενός αντικειμένου. Η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας = η τελική μηχανική ενέργεια – η αρχική μηχανική ενέργεια.

Η κινητική δύναμη τριβής είναι μία από τις μη συντηρητικές δυνάμεις και η μόνη μη συντηρητική δύναμη που ασκείται στο μπλοκ.

W = ΔME

f _k d = ME ₂ – ME ₁

Έργο που παράγεται από την κινητική δύναμη τριβής:

W = f _k d = (μ _k )(N)(d) = (0.5)(40)(d) = 20 ημέρες

Η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας:

ΔME = ME ₂ – ME ₁ = (KE + PE) ₂ – (KE + PE) ₁

Το αντικείμενο κινείται κατά μήκος του οριζόντιου επιπέδου και δεν αλλάζει το ύψος του (Δh = 0), επομένως δεν υπάρχει αλλαγή στη βαρυτική δυναμική ενέργεια (ΔPE = PE2 _– PE1 ₌ 0). Έτσι, η αλλαγή στη μηχανική ενέργεια συνεπάγεται μόνο την αλλαγή στην κινητική ενέργεια.

ΔME = KE ₂ – KE ₁ = ½ mv ₂ ² – ½ mv ₁ ² = ½ m (v ₂ ² – v ₁ ² )

Δ M E = ½ (4)(0 ² – 5 ² ) = (2)(25) = 50

Μετατόπιση μπλοκ:

W = ΔME

20 δευτερόλεπτα = 50

s = 50 / 20

s = 2.5 μέτρα

Η αρχή της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας

2. Τα αντικείμενα Α και Β έχουν την ίδια μάζα. Το αντικείμενο Α πέφτει ελεύθερα από ύψος h μέτρων και το αντικείμενο Β πέφτει ελεύθερα από ύψος 2h μέτρων. Αν το αντικείμενο Α χτυπήσει το έδαφος με ταχύτητα vm/s, τότε ποια είναι η κινητική ενέργεια του αντικειμένου Β όταν χτυπήσει το έδαφος;

Λύση:

Η τελική ταχύτητα του αντικειμένου Β κατά την ελεύθερη πτώση από ύψος 2h:

v2 = 2 g (2h) = 4 ^gh

Η κινητική ενέργεια του αντικειμένου Β:

TO _B = ½ mv ² = ½ m (4 gh) = 2 mgh —– εξίσωση 1

Η αρχική μηχανική ενέργεια του αντικειμένου Β = η βαρυτική δυναμική ενέργεια = mg h.

Η τελική μηχανική ενέργεια του αντικειμένου Β = η κινητική ενέργεια = ½ mv ².

Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:

mgh = ½ ^mv²

Επειδή mgh = ½ mv2 ^, τότε μπορούμε να αλλάξουμε το mgh στην εξίσωση 1 με ½ ^mv2.

Η κινητική ενέργεια του αντικειμένου Β = 2 mgh = 2(½ mv ² ) = mv ²

3. Ένα αντικείμενο πέφτει ελεύθερα από ύψος 20 μέτρων. Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s. Ποια είναι η ταχύτητα του αντικειμένου 15 μέτρα πάνω από το έδαφος;

Λύση:

Η τελική μηχανική ενέργεια = η αρχική μηχανική ενέργεια

Η κινητική ενέργεια στο σημείο 2 = η μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας έως και 5 μέτρα.

4. Ένα μπλοκ απελευθερώνεται από την κορυφή του λείου κεκλιμένου επιπέδου. Ποια είναι η ταχύτητα του μπλοκ όταν χτυπά στο έδαφος;

Λύση:

Η αρχική μηχανική ενέργεια = η βαρυτική δυναμική ενέργεια = mgh = m (10)(5) = 50 μέτρα

Η τελική μηχανική ενέργεια = η κινητική ενέργεια = 1/2 mv ²

Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ορίζει ότι η αρχική μηχανική ενέργεια = η τελική μηχανική ενέργεια.

ΜΕ _ο = ΜΕ _τ

50 m = 1/2 ^mV²

50 = 1/2 v ²

2 (50) = v ²

100 = v ²

v = 10 m/s

5.

Ένα μπλοκ με μάζα m-kg απελευθερώνεται από ύψος h μέτρων πάνω από το έδαφος, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Προσδιορίστε την αναλογία της δυναμικής ενέργειας προς την κινητική ενέργεια (KE) στο σημείο M.

Λύση:

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια στο σημείο Μ:

PE _M = mg (0.3 ώρες)

Η κινητική ενέργεια στο σημείο m = η μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας κατά h-0.3h = 0.7 h

KE _M = PE = mg (0.7 ώρες)

Ο λόγος της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας προς την κινητική ενέργεια στο σημείο Μ:

ΠΕ _Μ : ΚΕ _Μ

mg (0.3 ώρες): mg (0.7 ώρες)

0.3: 0.7

3: 7

6. Αν τα PE _Q και KE _Q έχουν τη δυναμική ενέργεια και την κινητική ενέργεια στο σημείο Q (g = 10 m/s ² ), τότε PE _Q : KE _Q =…

Λύση:

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια στο σημείο Q:

PE _Q = mgh = (m)(10)(1.8) = 18 μέτρα

Η κινητική ενέργεια στο σημείο Q = η μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας έως 5-1.8 = 3.2 μέτρα

TO _Q = PE = mgh = m (10)(3.2) = 32 m

Ο λόγος της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας προς την κινητική ενέργεια στο σημείο Q:

_{Ερώτηση} PE : _{Ερώτηση KE}

18 μ. : 32 μ.

18: 32

9: 16

1. Τι είναι η μηχανική ενέργεια; ΑπάντησηΗ μηχανική ενέργεια είναι το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας σε ένα σύστημα. Αντιπροσωπεύει τη συνολική ποσότητα ενέργειας που σχετίζεται με την κίνηση και τη θέση ενός αντικειμένου.
2. Πώς διαφέρει η κινητική ενέργεια από τη δυναμική ενέργεια; ΑπάντησηΗ κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια της κίνησης, ενώ η δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια που αποθηκεύεται λόγω της θέσης ή της διαμόρφωσης ενός αντικειμένου. Για παράδειγμα, ένα κινούμενο αυτοκίνητο έχει κινητική ενέργεια, ενώ ένα τεντωμένο ελατήριο ή ένα αντικείμενο σε ύψος μέσα σε ένα βαρυτικό πεδίο έχει δυναμική ενέργεια.
3. Διατηρείται πάντα η μηχανική ενέργεια; ΑπάντησηΣε ένα ιδανικό, κλειστό σύστημα χωρίς εξωτερικές δυνάμεις, η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Ωστόσο, σε πραγματικές καταστάσεις, άλλες μορφές ενέργειας, όπως η θερμική ή η ηχητική ενέργεια, μπορούν να επηρεαστούν λόγω τριβής ή άλλων μη συντηρητικών δυνάμεων, οδηγώντας σε μείωση της συνολικής μηχανικής ενέργειας.
4. Πώς βοηθά η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στην επίλυση προβλημάτων; ΑπάντησηΌταν η μηχανική ενέργεια διατηρείται σε ένα σύστημα (δεν υπάρχουν μη συντηρητικές δυνάμεις όπως η τριβή), η συνολική ενέργεια στην αρχή είναι ίση με τη συνολική ενέργεια στο τέλος. Αυτή η αρχή μας επιτρέπει να συσχετίζουμε τις δυναμικές και κινητικές ενέργειες σε διαφορετικά χρονικά σημεία, απλοποιώντας τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων.
5. Τι συμβαίνει με τη μηχανική ενέργεια μιας μπάλας όταν αυτή εκτοξεύεται προς τα πάνω και σταματάει στιγμιαία πριν κατέβει; ΑπάντησηΚαθώς η μπάλα ανεβαίνει, η κινητική της ενέργεια μειώνεται ενώ η δυναμική της ενέργεια αυξάνεται. Στην κορυφή, όλη η μηχανική της ενέργεια είναι δυναμική ενέργεια. Καθώς κατεβαίνει, αυτή η διαδικασία αντιστρέφεται. Σε ένα ιδανικό σενάριο χωρίς αντίσταση του αέρα, η συνολική μηχανική ενέργεια της μπάλας παραμένει σταθερή καθ' όλη τη διάρκεια της διαδρομής της.
6. Μπορεί ένα αντικείμενο να έχει ταυτόχρονα κινητική και δυναμική ενέργεια; ΑπάντησηΝαι, ένα αντικείμενο μπορεί να κατέχει και τις δύο μορφές ενέργειας ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, ένα εκκρεμές στο μέσο της ταλάντωσής του έχει κινητική ενέργεια λόγω της κίνησής του και δυναμική ενέργεια λόγω του ύψους του πάνω από το χαμηλότερο σημείο του.
7. Πώς ένα τρενάκι του λούνα παρκ δείχνει την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας; ΑπάντησηΈνα τρενάκι του λούνα παρκ ξεκινά με δυναμική ενέργεια στο υψηλότερο σημείο του. Καθώς κατεβαίνει, αυτή η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια, με αποτέλεσμα το τρενάκι του λούνα παρκ να επιταχύνει. Καθώς ανεβαίνει ξανά, η κινητική ενέργεια μειώνεται ενώ η δυναμική ενέργεια αυξάνεται. Αγνοώντας την τριβή και την αντίσταση του αέρα, η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει σχεδόν σταθερή.
8. Ποιοι παράγοντες μπορούν να οδηγήσουν σε απώλεια μηχανικής ενέργειας σε συστήματα του πραγματικού κόσμου; ΑπάντησηΗ τριβή, η αντίσταση του αέρα και η παραγωγή ήχου είναι μερικοί παράγοντες που μπορούν να οδηγήσουν σε απώλειες ενέργειας σε πραγματικά συστήματα. Η ενέργεια δεν καταστρέφεται (λόγω του νόμου διατήρησης της ενέργειας) αλλά μετατρέπεται σε άλλες μορφές όπως θερμότητα ή ήχο.
9. Ποια είναι η σχέση μεταξύ έργου και μηχανικής ενέργειας; ΑπάντησηΤο έργο που παράγεται σε ένα σύστημα από εξωτερικές δυνάμεις μπορεί να οδηγήσει σε αλλαγή στη μηχανική ενέργεια του συστήματος. Με μαθηματικούς όρους, το έργο ισούται με την αλλαγή στη μηχανική ενέργεια.

10. Αν η βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι σχετική με ένα σημείο αναφοράς, πώς μπορούμε να μετράμε με συνέπεια τις αλλαγές σε αυτήν; Απάντηση : Ενώ η απόλυτη τιμή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας εξαρτάται πράγματι από την επιλογή του σημείου αναφοράς, οι αλλαγές στη δυναμική ενέργεια (όπως όταν ένα αντικείμενο ανυψώνεται ή κατεβαίνει) είναι συνεπείς ανεξάρτητα από την αναφορά. Έτσι, συχνά εστιάζουμε στις αλλαγές στη δυναμική ενέργεια και όχι στις απόλυτες τιμές.