Ρευστοδυναμική – προβλήματα και λύσεις

Ρευστοδυναμική – προβλήματα και λύσεις

Θεώρημα του Τοριτσέλι

1. Ένα δοχείο γεμάτο με νερό και εκεί υπάρχει μια τρύπα , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 ms ^-2 , ποια είναι η ταχύτητα του νερού που διέρχεται από αυτήν την τρύπα;

Γνωστό:

Ύψος (υ) = 85 εκ. – 40 εκ. = 45 εκ. = 0.45 μέτρα

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ ^s²

Ζητείται: Η ταχύτητα του νερού (v)

Λύση:

Το θεώρημα του Torricelli αναφέρει ότι το νερό εγκαταλείπει την τρύπα με την ίδια ταχύτητα με ένα αντικείμενο που πέφτει ελεύθερα από το ίδιο ύψος. Ύψος (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 μέτρα

Η ταχύτητα του νερού υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση της κίνησης ελεύθερης πτώσης :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

2. Ένα δοχείο γεμάτο με νερό και εκεί υπάρχει μια τρύπα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 ms ^-2 , ποια είναι η ταχύτητα του νερού μέσα από αυτήν την τρύπα;

Γνωστό:

Ύψος (υ) = 1.5 μ. – 0.25 μ. = 1.25 μέτρα

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ ^s²

Ζητείται: Η ταχύτητα του νερού (v)

Λύση:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

3. Ένα δοχείο γεμάτο με νερό και εκεί υπάρχει μια τρύπα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 ms ^-2 , ποια είναι η ταχύτητα του νερού μέσα από αυτήν την τρύπα;

Γνωστό:

Ύψος (υ) = 1 μ. – 0.20 μ. = 0.8 μέτρα

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ ^s²

Ζητείται: Η ταχύτητα του νερού (v)

Λύση:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

4. Ένα δοχείο γεμάτο με νερό και εκεί υπάρχει μια τρύπα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 ms ^-2 , ποια είναι η ταχύτητα του νερού μέσα από αυτήν την τρύπα;

Γνωστό:

Ύψος (υ) = 20 εκ. = 0.2 μέτρα

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ ^s²

Ζητείται: Η ταχύτητα του νερού (v)

Λύση:

5. Ένα δοχείο γεμάτο με νερό και υπάρχουν δύο τρύπες , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η αναλογία του x1 _προς το _x2 ;

Λύση

Χρονικό διάστημα ελεύθερης πτώσης του νερού από την οπή 1:

h = 1/2 στα ²

0.8 = 1/2 (10) ^t2

0.8 = 5 t ²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 δευτερόλεπτα

Χρονικό διάστημα ελεύθερης πτώσης του νερού από την οπή 2:

h = 1/2 στα ²

0.5 = 1/2 (10) ^t2

0.5 = 5 t ²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 δευτερόλεπτο

Η οριζόντια απόσταση (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 μέτρα

x ₂ = v ₂ t ₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 μέτρο

Η αναλογία του x ₁ προς το x ₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Η εξίσωση της συνέχειας

6. Το νερό ρέει μέσα από έναν σωλήνα ποικίλης διαμέτρου, από το Α στο Β και μετά στο C. Η αναλογία του A προς το C είναι 8 : 3. Αν η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα A είναι v, ποια είναι η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα C;

Γνωστό:

Περιοχή του Α (Α_A) = 8

Εμβαδόν του C (A _C ) = 3

Η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα A (v _A ) = v

Ζητείται: Η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα C (v _C )

Λύση:

Η εξίσωση συνέχειας:

A _A v _A = A _C v _C

8 v = 3 v _C

v _C = 8/3 v

7. Αν η ταχύτητα του νερού σε έναν σωλήνα διαμέτρου 12 cm είναι 10 cm/s, ποια είναι η ταχύτητα του νερού σε έναν σωλήνα διαμέτρου 8 cm;

Γνωστό:

Διάμετρος 1 (d1 ₎ = 12 cm, ακτίνα 1 (r1 ₎ = 6 cm

Διάμετρος 2 (d2 ₎ = 8 cm, ακτίνα 2 (r2 ₎ = 4 cm

Η ταχύτητα του νερού 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

Ζητούνται: Η ταχύτητα του νερού 2 (v ₂ )

Λύση:

Εμβαδόν 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Εμβαδόν 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Η εξίσωση συνέχειας:

Α ₁ v ₁ = Α ₂ v ₂

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v ₂ = 360/16

v2 = 22.5 cm/ _s

8. Το νερό ρέει μέσα από έναν σωλήνα ποικίλης διαμέτρου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν η επιφάνεια 1 (A1 ₎ = 8 cm2 ^, A2 ₌ 2 cm2 ^και η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα 2 = v2 ₌ 2 m/s, τότε ποια είναι η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα 1 = _v1 ;

Γνωστό:

Περιοχή 1 (Α₁) = 8 cm²

Εμβαδόν 2 (A2 ₎ = 2 ^cm2

Ταχύτητα νερού στον σωλήνα 2 (v2 ₎ = 2 m/s

Ζητείται: η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα 1 (v ₁ )

Λύση:

Η εξίσωση συνέχειας:

Α ₁ v ₁ = Α ₂ v ₂

8 v ₁ = (2)(2)

8 v ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Αν η διάμετρος του μεγαλύτερου σωλήνα είναι 2 φορές η διάμετρος του μικρότερου σωλήνα, ποια είναι η ταχύτητα του ρευστού στον μικρότερο σωλήνα;

Γνωστό:

Διάμετρος του μεγαλύτερου σωλήνα (d₁) = 2

Ακτίνα του μεγαλύτερου σωλήνα (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

Περιοχή του μεγαλύτερου σωλήνα ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Διάμετρος του μικρότερου σωλήνα (d2 ₎ = 1

Ακτίνα του μικρότερου σωλήνα (r2 ₎ = ½ d2 ₌ ½ (1) = ½

Εμβαδόν του μικρότερου σωλήνα ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Η ταχύτητα του ρευστού στον μεγαλύτερο σωλήνα ( _v1 ) = 4 m/s

Ζητείται: Η ταχύτητα του ρευστού στον μικρότερο σωλήνα ( v ₂ )

Λύση:

Η εξίσωση συνέχειας:

Α ₁ v ₁ = Α ₂ v ₂

π4 = ¼ π ( _v2 )

4 = ¼ ( _v2 )

v2 ₌ 8 m/s

Αρχή και εξισώσεις του Μπερνούλι

10. Το νερό αντλείται με συμπιεστή 120 kP που εισέρχεται στον κάτω σωλήνα (1) και ρέει προς τα πάνω με ταχύτητα 1 m/ s. Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/ s και η πυκνότητα του νερού είναι 1000 kg/m ^-3 . Ποια είναι η πίεση του νερού στον άνω σωλήνα (II );

Γνωστό:

Ακτίνα του κάτω σωλήνα (r₁) = 12 cm

Ακτίνα του κάτω σωλήνα (r2 ₎ = 6 cm

Πίεση νερού στον κάτω σωλήνα (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 Pascal

Η ταχύτητα του νερού στον κάτω σωλήνα (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Το ύψος του κάτω σωλήνα (h1 ₎ = 0 m

Το ύψος του άνω σωλήνα (h2 ₎ = 2 m

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms ^-2

Πυκνότητα νερού = 1000 kg.m ^-3

Ζητείται: Πίεση νερού στον σωλήνα 2 (σελίδα ₂ )

Λύση:

Η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα 2 υπολογίζεται με την εξίσωση συνέχειας:

Η πίεση του νερού στον σωλήνα 2 υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση Bernoulli:

11. Ένας μεγάλος σωλήνας 5 μέτρα πάνω από το έδαφος και ένας μικρός σωλήνας 1 μέτρο πάνω από το έδαφος. Η ταχύτητα του νερού σε έναν μεγάλο σωλήνα είναι 36 km/h με πίεση 9.1 x 10 ⁵ Pa, ενώ η πίεση στον μικρό σωλήνα είναι 2.10 ⁵ Pa. Ποια είναι η ταχύτητα του νερού στον μικρό σωλήνα; Πυκνότητα νερού = 10 ³ kg/m ³

Γνωστό:

Πίεση νερού στον μεγάλο σωλήνα (p₁) = 9.1 x 10⁵ Πασκάλ = 910,000 Πασκάλ

Πίεση νερού στον μικρό σωλήνα (p2 ₎ = 2 x ¹⁰⁵ Pascals = 200,000 Pascals

Ταχύτητα νερού στον μεγάλο σωλήνα (v1 ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 m/s

Το ύψος του μεγάλου σωλήνα (h1 ₎ = -4 μέτρα

Το ύψος του μικρού σωλήνα (h2 ₎ = 0 μέτρα

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms ^-2

Πυκνότητα νερού = 1000 kg/ ^m3

Ζητείται: Η ταχύτητα του νερού στον μικρό σωλήνα (v ₂ )

Λύση:

Η ταχύτητα του νερού στον μικρό σωλήνα (v2 ₎ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση Bernoulli:

12. Σωλήνας με ακτίνα 15 cm συνδεδεμένος με έναν άλλο σωλήνα με ακτίνα 5 cm. Και οι δύο βρίσκονται σε οριζόντια θέση. Η ταχύτητα ροής του νερού στον μεγάλο σωλήνα είναι 1 m/s σε πίεση 105 ^N / m2 . Ποια είναι η πίεση του νερού στον μικρό σωλήνα (1 g cm ^{-3 )} ;

Γνωστό:

Ακτίνα του μεγάλου σωλήνα (r1 ₎ = 15 cm = 0.15 m

Ακτίνα του μικρού σωλήνα (r2 ₎ = 5 cm = 0.05 m

Η πίεση του νερού στον μεγάλο σωλήνα (p ₁ ) = 10 ⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

Η ταχύτητα του νερού στον μεγάλο σωλήνα (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 ms ^-2

Πυκνότητα νερού = 1 gr cm ^-3 = 1000 kg m ^-3

Διαφορά ύψους (Δh) = 0.

Ζητείται: Πίεση στον μικρό σωλήνα (σελ. ₂ )

Λύση:

Η ταχύτητα του νερού στον σωλήνα 2 υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνέχειας:

Η πίεση του νερού στον μικρό σωλήνα (p2 ₎ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση Bernoulli:

1. Τι είναι η ρευστοδυναμική;
   • Απάντηση: Η ρευστοδυναμική είναι ο κλάδος της φυσικής που μελετά την κίνηση των ρευστών (υγρών και αερίων) και τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτά. Περιλαμβάνει τις αρχές και τις εξισώσεις που περιγράφουν πώς τα ρευστά ρέουν, αλληλεπιδρούν με τα στερεά όρια και αλληλεπιδρούν.
2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής;
   • Απάντηση: Η στρωτή ροή χαρακτηρίζεται από ομαλά, παράλληλα στρώματα ρευστού που κινούνται σε εύτακτες διαδρομές. Η τυρβώδης ροή, από την άλλη πλευρά, είναι χαοτική, με δίνες, στροβιλισμούς και γρήγορες διακυμάνσεις. Η τυρβώδης ροή εμφανίζεται γενικά σε υψηλές ταχύτητες ή σε κανάλια ακανόνιστου σχήματος.
3. Πώς είναι σημαντική η έννοια του ιξώδους στη ρευστοδυναμική;
   • Απάντηση: Το ιξώδες μετρά την αντίσταση ενός ρευστού στη διάτμηση ή τη ροή. Τα ρευστά υψηλού ιξώδους (όπως το μέλι) αντιστέκονται στη ροή περισσότερο από τα ρευστά χαμηλού ιξώδους (όπως το νερό). Στη ρευστοδυναμική, το ιξώδες παίζει κρίσιμο ρόλο στον προσδιορισμό της φύσης της ροής του ρευστού, της διάχυσης ενέργειας και των δυνάμεων οπισθέλκουσας.
4. Ποια είναι η αρχή του Μπερνούλι;
   • Απάντηση: Η αρχή του Bernoulli δηλώνει ότι σε μια σταθερή ροή, το άθροισμα της ενέργειας πίεσης, της κινητικής ενέργειας και της δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου παραμένει σταθερό. Συγκεκριμένα, όπου η ταχύτητα του ρευστού είναι υψηλή, η πίεση είναι χαμηλή και αντίστροφα.
5. Πώς σχετίζεται η αρχή της άντωσης στην αεροδυναμική με τη ρευστοδυναμική;
   • Απάντηση: Η άντωση στην πτέρυγα ενός αεροσκάφους μπορεί να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας την αρχή του Μπερνούλι και τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Καθώς ο αέρας ρέει πάνω από την πτέρυγα, κινείται ταχύτερα πάνω από την καμπύλη άνω επιφάνεια από ό,τι πάνω από την κάτω, δημιουργώντας μια διαφορά πίεσης. Αυτή η διαφορά πίεσης, σε συνδυασμό με την προς τα κάτω εκτροπή του αέρα από την πτέρυγα, έχει ως αποτέλεσμα μια ανοδική δύναμη ή άντωση.
6. Ποια είναι η εξίσωση συνέχειας στη ρευστοδυναμική;
   • Απάντηση: Η εξίσωση συνέχειας δηλώνει ότι το γινόμενο της διατομής (A) μιας ροής επί την ταχύτητά της (v) παραμένει σταθερό κατά μήκος μιας γραμμής ρεύματος σε μια σταθερή ροή. Μαθηματικά, A₁​v_1​=A₂​v₂​, Όπου A_1​ και A₂​ είναι οι διατομές και v₁​ και v_2​ είναι οι ταχύτητες σε δύο σημεία κατά μήκος της γραμμής ρεύματος.
7. Ποιος είναι ο ρόλος του αριθμού Reynolds στη ρευστοδυναμική;
   • Απάντηση: Ο αριθμός Reynolds είναι μια αδιάστατη ποσότητα που βοηθά στην πρόβλεψη του καθεστώτος ροής (στρωματική, μεταβατική ή τυρβώδης) στη ρευστοδυναμική. Ορίζεται ως ο λόγος των αδρανειακών δυνάμεων προς τις ιξώδεις δυνάμεις και εξαρτάται από παράγοντες όπως η ταχύτητα του ρευστού, το χαρακτηριστικό μήκος και οι ιδιότητες του ρευστού.
8. Πώς ασκείται η δύναμη οπισθέλκουσας σε αντικείμενα που κινούνται σε ένα ρευστό;
   • Απάντηση: Η δύναμη οπισθέλκουσας αντιτίθεται στην κίνηση ενός αντικειμένου μέσα σε ένα ρευστό. Προκύπτει λόγω της ιξώδους αντίστασης του ρευστού και των διαφορών πίεσης γύρω από το αντικείμενο. Το μέγεθος και η φύση της οπισθέλκουσας εξαρτώνται από παράγοντες όπως το σχήμα του αντικειμένου, η τραχύτητα, η ταχύτητα και οι ιδιότητες του ρευστού.
9. Τι είναι το φαινόμενο Venturi;
   • Απάντηση: Το φαινόμενο Venturi αναφέρεται στη μείωση της πίεσης του ρευστού που συμβαίνει όταν ένα ρευστό ρέει μέσα από ένα στενωμένο τμήμα ενός σωλήνα. Καθώς η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται στο στενωμένο τμήμα (λόγω της διατήρησης της μάζας), η πίεσή του μειώνεται σύμφωνα με την αρχή Bernoulli.
10. Γιατί το ρευστό επιταχύνεται όταν ρέει μέσα από ένα στενό τμήμα ενός σωλήνα ή καναλιού;

• Απάντηση: Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να εξηγηθεί από την αρχή διατήρησης της μάζας. Σε μια σταθερή ροή, ο όγκος του ρευστού που εισέρχεται σε ένα τμήμα ενός σωλήνα πρέπει να είναι ίσος με τον όγκο που εξέρχεται. Εάν ο σωλήνας είναι στενός, το ρευστό πρέπει να επιταχύνει για να επιτρέψει στον ίδιο όγκο να διέλθει σε δεδομένο χρόνο.