Άρθρο σχετικά με την Εξίσωση Συνέχειας
Προσπαθήστε να ανοίξετε αργά τη βρύση νερού, προσέχοντας παράλληλα την ταχύτητα του νερού που βγαίνει από το στόμιο της βρύσης. Τώρα συγκρίνετε, πού είναι ο ρυθμός ροής του νερού πιο γρήγορος, όταν το στόμιο της βρύσης είναι κλειστό ή όχι; Γιατί συμβαίνει αυτό; Για να το κατανοήσετε αυτό, μελετήστε την εξίσωση συνέχειας.
εξορθολογισμό
Σε μια σταθερή ροή, η ταχύτητα κάθε σωματιδίου ρευστού σε ένα σημείο, ας πούμε το σημείο Α, είναι πάντα η ίδια. Όταν περνούν από το σημείο Β, η ταχύτητα των σωματιδίων ρευστού μπορεί να αλλάξει. Ωστόσο, όταν φτάνουν στο σημείο Β, τα σωματίδια ρευστού που ακολουθούν από πίσω ρέουν με την ίδια ταχύτητα με τα σωματίδια ρευστού που προηγούνται. Ομοίως, όταν φτάνουν στο σημείο C και ούτω καθεξής. Η Γραμμή Ροής είναι μια καμπύλη που συνδέει τα σημεία A, B και C.
Σωλήνας ροής
Μπορούμε να περιγράψουμε κάθε ροή που διέρχεται από κάθε σημείο της ροής του ρευστού. Αν αντιληφθούμε μια σταθερή ροή ρευστού, ορισμένες ροές που διασχίζουν μια συγκεκριμένη γωνία στην φανταστική επιφάνεια σχηματίζουν έναν σωλήνα ροής. Δεν υπάρχουν σωματίδια ρευστού που να τέμνονται, αλλά είναι πάντα παράλληλα και ο σωλήνας ροής θα μοιάζει με σωλήνα του οποίου το σχήμα παραμένει το ίδιο. Το ρευστό που εισέρχεται από το ένα άκρο του σωλήνα θα εξέρχεται από τον σωλήνα από το άλλο άκρο.
[irp]
Χρέωση
Η παροχή δηλώνει τον όγκο ενός ρευστού που ρέει μέσω μιας συγκεκριμένης διατομής σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Μαθηματικά, μπορεί να δηλωθεί:
Εκκένωση = Όγκος υγρού / χρονικό διάστημα
Q = V / t
Για να βελτιώσουμε την κατανόησή σας, χρησιμοποιούμε ένα παράδειγμα. Για παράδειγμα, ένα ρευστό ρέει μέσα από έναν σωλήνα. Οι σωλήνες είναι συνήθως κυλινδρικοί και έχουν μια συγκεκριμένη διατομή. Ο σωλήνας έχει επίσης ένα μήκος.
Όταν το ρευστό ρέει στον σωλήνα μέχρι το L, ο όγκος του ρευστού στον σωλήνα είναι V = AL (V = όγκος ρευστού, A = διατομή και L = μήκος σωλήνα). Επειδή για όσο διάστημα ρέει σε έναν σωλήνα κατά μήκος του L, το ρευστό χρειάζεται ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, τότε μπορούμε να πούμε ότι η ποσότητα του ρευστού είναι:
Επειδή v = s / t = L / t —> L = vt, η παραπάνω εξίσωση αλλάζει σε:
Έτσι, όταν το ρευστό ρέει μέσω ενός σωλήνα που έχει μια συγκεκριμένη διατομή και μήκος, για μια ορισμένη χρονική περίοδο, η ποσότητα εκροής ρευστού (Q) είναι ίση με την διατομή (A) πολλαπλασιασμένη επί την ταχύτητα ροής ρευστού (v).
Η εξίσωση της συνέχειας
Εξετάστε τη ροή ρευστού σε έναν σωλήνα με διαφορετική διάμετρο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Αυτή η εικόνα δείχνει τη ροή ρευστού από αριστερά προς τα δεξιά (το ρευστό ρέει από έναν σωλήνα μεγάλης διαμέτρου σε έναν σωλήνα μικρής διαμέτρου). Η διακεκομμένη γραμμή είναι αεροδυναμική.
A 1 = επιφάνεια διατομής σωλήνα μεγάλης διαμέτρου, A 2 = επιφάνεια διατομής μικρής διαμέτρου, v 1 = ταχύτητα ροής ρευστού σε σωλήνα μεγάλης διαμέτρου, v 2 = ταχύτητα ροής ρευστού σε σωλήνα μικρής διαμέτρου, L = απόσταση που διανύει το ρευστό.
Σε μια σταθερή ροή, η ταχύτητα ροής των σωματιδίων ρευστού σε ένα σημείο ισούται με την ταχύτητα ροής άλλων σωματιδίων ρευστού που διέρχονται από αυτό το σημείο. Η ροή ρευστού επίσης δεν τέμνεται (οι γραμμές είναι παράλληλες). Επομένως, η μάζα του ρευστού που εισέρχεται στο ένα άκρο του σωλήνα πρέπει να είναι ίση με τη μάζα του ρευστού που εξέρχεται από το άλλο άκρο. Εάν το ρευστό έχει μια ορισμένη μάζα που έρχεται στον σωλήνα με μεγάλη διάμετρο, τότε το ρευστό θα εξέλθει σε έναν σωλήνα μικρής διαμέτρου με την ίδια μάζα.
Τώρα εξετάστε το σχήμα του σωλήνα παραπάνω. Εξετάστε τον σωλήνα μεγάλης διαμέτρου και τον σωλήνα μικρής διαμέτρου.
Κατά τη διάρκεια ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος, ορισμένα ρευστά ρέουν μέσω της διατομής του σωλήνα με μεγάλη διάμετρο (A1 ) μέχρι το L1 ( L1 = v1t ) . Ο όγκος του ρευστού που ρέει είναι V1 = A1L1 = A1v1t . Κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, ορισμένα άλλα ρευστά ρέουν μέσω της διατομής του σωλήνα μικρής διαμέτρου (A2 ) μέχρι το L2 ( L2 = v2t ) . Ο όγκος του ρευστού που ρέει είναι V2 = A2L2 = A2v2t.
[irp]
Η εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστα ρευστά
Στα ασυμπίεστα ρευστά, η πυκνότητα του ρευστού είναι πάντα η ίδια σε κάθε σημείο από το οποίο διέρχεται. Η μάζα του ρευστού που ρέει σε έναν σωλήνα με διατομή A1 (μεγάλη διάμετρο σωλήνα) κατά τη διάρκεια ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος είναι:
Ομοίως, η μάζα του ρευστού που ρέει σε έναν σωλήνα με διατομή A2 ( μικρή διάμετρο σωλήνα) κατά τη διάρκεια ενός ορισμένου χρονικού διαστήματος είναι:
Σε ένα σταθερό ρεύμα, η μάζα του εισερχόμενου ρευστού είναι η ίδια με τη μάζα του εξερχόμενου ρευστού, επομένως:
m 1 = m 2
ρA 1 v 1 t = ρA 2 v 2 t
Α 1 v 1 = Α 2 v 2
Έτσι, η εξίσωση της συνέχειας σε ασυμπίεστα ρευστά:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Εξίσωση 1
A 1 = επιφάνεια διατομής 1, A 2 = επιφάνεια διατομής 2, v 1 = ταχύτητα ροής ρευστού στο τμήμα 1, v 2 = ταχύτητα ροής ρευστού στο τμήμα 2, A v = ρυθμός ροής όγκου (V / t) = παροχή.
Η Εξίσωση 1 δείχνει ότι η παροχή είναι πάντα η ίδια σε κάθε σημείο κατά μήκος του σωλήνα ή του σωλήνα ροής. Όταν η διατομή του σωλήνα μειώνεται, ο ρυθμός ροής του ρευστού αυξάνεται, ενώ όταν η διατομή του σωλήνα γίνεται μεγάλη, ο ρυθμός ροής του ρευστού γίνεται μικρός.
[irp]
Όταν ένα μέρος του στομίου της βρύσης είναι κλειστό, η ροή του νερού γίνεται βαρύτερη από ό,τι όταν ένα μέρος του στομίου της βρύσης δεν είναι κλειστό. Αυτό συμβαίνει επειδή η διατομή της βρύσης γίνεται μικρή όταν ένα μέρος του στομίου της βρύσης είναι κλειστό, έτσι ώστε ο ρυθμός ροής του νερού να αυξάνεται. Αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός ροής ή η εκροή των υγρών είναι πάντα ο ίδιος σε κάθε σημείο κατά μήκος της ροής του νερού, είτε ένα μέρος του στομίου της βρύσης μας είναι κλειστό είτε όχι. Τι αλλάζει λοιπόν στον ρυθμό ροής του υγρού;
Τι γίνεται λοιπόν με τη ροή του νερού στο ποτάμι; Το βαθύ τμήμα του ποταμού έχει μεγαλύτερη διατομή από το ρηχό τμήμα του ποταμού, επομένως ο ρυθμός ροής του νερού στο βαθύ ποτάμι είναι μικρότερος από την ταχύτητα ροής του νερού στο ρηχό τμήμα του ποταμού.
Η εξίσωση συνέχειας για συμπιέσιμα ρευστά
Για το συμπιεσμένο ρευστό, η πυκνότητά του δεν είναι πάντα η ίδια. Με άλλα λόγια, η πυκνότητα του ρευστού αλλάζει όταν συμπιέζεται. Εάν το ρευστό δεν συμπιέζεται, η πυκνότητα του ρευστού αφαιρείται από την εξίσωση, επομένως σε αυτήν την περίπτωση, η πυκνότητα του ρευστού περιλαμβάνεται στην εξίσωση. Αναφερόμενοι στην εξίσωση που έχει προκύψει, ας υπολογίσουμε την εξίσωση για το συμπιεσμένο ρευστό.
Η μάζα του ρευστού που εισέρχεται είναι ίση με τη μάζα του ρευστού που εξέρχεται, επομένως:
m 1 = m 2
ρA 1 v 1 t = ρA 2 v 2 t
Το διάστημα ροής του ρευστού είναι το ίδιο, ώστε να μπορεί να εξαλειφθεί. Οι εξισώσεις αλλάζουν σε:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Εξίσωση 2
Αυτή είναι η εξίσωση για το συμπιεσμένο ρευστό. Η διαφορά έγκειται στην πυκνότητα του ρευστού. Εάν το ρευστό συμπιεστεί, η πυκνότητα αλλάζει. Αντίθετα, εάν το ρευστό δεν συμπιεστεί, η πυκνότητα είναι πάντα η ίδια, επομένως μπορεί να αφαιρεθεί από την εξίσωση.
Παράδειγμα προβλήματος 1:
Το νερό ρέει μέσα από έναν σωλήνα διαμέτρου 10 cm με ταχύτητα 2 m/s. Ποια είναι η παροχή νερού;
Γνωστό:
Διάμετρος σωλήνα = 10 cm
Ακτίνα σωλήνα (r) = 5 cm = 0.05 m
Ταχύτητα νερού (v) = 2 m/s
Ζητούνται: Χρεωστική
Λύση:
Q = A v
Q = (π r2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m2 ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m3 / s
[irp]
Παράδειγμα προβλήματος 2:
Ένας σωλήνας με διάμετρο 20 cm είναι συνδεδεμένος με έναν άλλο σωλήνα με διάμετρο 10 cm. Αν η ταχύτητα του νερού σε έναν σωλήνα με διάμετρο 20 cm είναι 4 m/s, ποια είναι η ταχύτητα του νερού σε έναν σωλήνα με διάμετρο 10 cm;
Γνωστό:
Διάμετρος 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Διάμετρος 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Ζητούνται άτομα: έκδοση 1
Απάντηση:
Q1 = Q2
Α 1 v 1 = Α 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m2 ) (4 m/s) = (0.0025 m2 ) ( v2 )
(0.04 m3 / s) = (0.0025 m2 ) ( v2 )
v2 = 16 m/s
[irp]
