30 Wärmekraftmaschinen (Anwendung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik) – Aufgaben und Lösungen
1. Wärmezufuhr Q<sub> H</sub> = 3000 Joule und Wärmeabgabe Q<sub> L</sub> = 1000 Joule. Wie hoch ist der Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine?
Bekannt:
Wärmezufuhr (Q H ) = 3000 Joule
Wärmeleistung (Q L ) = 1000 Joule
Die vom Motor verrichtete Arbeit (W) = 3000 – 1000 = 2000 Joule
Gesucht: Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine (e)
Lösung:
2. Eine Wärmekraftmaschine verrichtet 2000 Joule mechanische Arbeit und gibt dabei 500 Joule Wärme an die Umgebung ab. Wie hoch ist der Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine?
Bekannt:
Die vom Motor verrichtete Arbeit (W) beträgt 2000 Joule.
Wärmeleistung (Q L ) = 5000 Joule
Wärmezufuhr (Q H ) = 2000 + 5000 = 7000 Joule
Gesucht: Effizienz (e)
Lösung:
3. Eine Wärmekraftmaschine hat einen Wirkungsgrad von 30 %. Wenn die Maschine 10,000 Joule mechanische Arbeit verrichtet, wie viel Wärme wird dann als Abwärme abgegeben?
Bekannt:
Wirkungsgrad (e) = 30 % = 30/100 = 0.3
Die vom Motor verrichtete Arbeit (W) beträgt 3,000 Joule.
Gesucht : Wärmeleistung (Q L )
Lösung:
Wärmeabgabe (Q L ) = Wärmezufuhr (Q H ) – vom Motor verrichtete Arbeit (W)
Q L = 10,000 Joule – 3,000 Joule
Q L = 7,000 Joule
4. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen zwei Wärmereservoirs mit Temperaturen von 500 K und 300 K arbeitet.
Lösung: Unter Verwendung der Carnot-Wirksamkeitsformel, \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}}\), erhalten wir \(\eta = 1 – \frac{300}{500} = 0.4\) oder \(40\%\).
5. Eine Wärmekraftmaschine nimmt 2000 J Wärme aus einem heißen Wärmereservoir auf und gibt 1200 J an ein kaltes Wärmereservoir ab. Berechnen Sie die von der Maschine verrichtete Arbeit.
Lösung: Unter Verwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, \(Q_{\text{heiß}} = W + Q_{\text{kalt}}\), beträgt die geleistete Arbeit \(W = 2000 – 1200 = 800\ \text{J}\).
6. Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine, die 1000 J aus einem heißen Reservoir aufnimmt und 600 J Arbeit verrichtet.
Lösung: \(\eta = \frac{W}{Q_{\text{hot}}} = \frac{600}{1000} = 0.6\) oder \(60\%\).
7. Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen 400 K und 200 K. Bestimmen Sie den maximal möglichen Wirkungsgrad.
Lösung: \(\eta_{\text{max}} = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}} = 1 – \frac{200}{400} = 0.5\) oder \(50\%\).
8. Eine Wärmekraftmaschine gibt 300 J an ein kaltes Wärmereservoir ab und verrichtet dabei 200 J Arbeit. Berechnen Sie die vom heißen Wärmereservoir aufgenommene Wärme.
Lösung: \(Q_{\text{heiß}} = W + Q_{\text{kalt}} = 200 + 300 = 500\ \text{J}\).
9. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad eines Otto-Kreisprozesses mit einem Verdichtungsverhältnis von 8.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} = 1 – \frac{1}{8^{(1.4 – 1)}} \approx 0.564\) or \(56.4\%\), wobei \(\gamma\) das Wärmekapazitätsverhältnis ist.
10. Eine Wärmekraftmaschine verrichtet 150 J Arbeit und gibt 100 J an das kalte Reservoir ab. Berechnen Sie die vom heißen Reservoir aufgenommene Wärmemenge.
Lösung: \(Q_{\text{heiß}} = W + Q_{\text{kalt}} = 150 + 100 = 250\ \text{J}\).
11. Ermitteln Sie den Wirkungsgrad eines Dieselmotors mit einem Verdichtungsverhältnis von 18 und einem Abschaltverhältnis von 2.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \left( \frac{r_c – 1}{r_c} \right) \approx 0.627\) oder \(62.7\%\), wobei \(r\) das Kompressionsverhältnis, \(r_c\) das Abschaltverhältnis und \(\gamma\) das Wärmekapazitätsverhältnis ist.
12. Berechnen Sie die Arbeit, die von einer Wärmekraftmaschine verrichtet wird, die 400 J aufnimmt und einen Wirkungsgrad von 50 % hat.
Lösung: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.5 \cdot 400 = 200\ \text{J}\).
13. Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen 600 K und 300 K. Bestimmen Sie den Carnot-Wirkungsgrad.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}} = 1 – \frac{300}{600} = 0.5\) oder \(50\%\).
14. Eine Wärmekraftmaschine nimmt 3000 J auf und gibt 1800 J an ein kaltes Reservoir ab. Berechnen Sie die verrichtete Arbeit.
Lösung: \(W = Q_{\text{heiß}} – Q_{\text{kalt}} = 3000 – 1800 = 1200\ \text{J}\).
15. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad einer Stirlingmaschine, die zwischen zwei Reservoirs mit Temperaturen von 800 K und 400 K arbeitet.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}} = 1 – \frac{400}{800} = 0.5\) oder \(50\%\).
16. Eine Wärmekraftmaschine gibt 500 J an ein kaltes Wärmereservoir ab und verrichtet dabei 300 J Arbeit. Berechnen Sie die vom heißen Wärmereservoir aufgenommene Wärme.
Lösung: \(Q_{\text{heiß}} = W + Q_{\text{kalt}} = 300 + 500 = 800\ \text{J}\).
17. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad eines Ericsson-Kreisprozesses mit heißen und kalten Reservoirs von 1000 K und 250 K.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}} = 1 – \frac{250}{1000} = 0.75\) oder \(75\%\).
18. Eine Wärmekraftmaschine verrichtet 700 J Arbeit und hat einen Wirkungsgrad von 70 %. Berechnen Sie die an den kalten Wärmebehälter abgegebene Wärme.
Lösung: \(Q_{\text{cold}} = \frac{W}{\eta} – W = \frac{700}{0.7} – 700 \approx 1000 – 700 = 300\ \text{J}\).
19. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad eines Brayton-Kreisprozesses mit Druckverhältnissen von 6.5 und \(\gamma = 1.4\).
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{1}{r_p^{(\gamma – 1)/\gamma}} \approx 0.433\) oder \(43.3\%\), wobei \(r_p\) das Druckverhältnis ist.
20. Berechnen Sie die Arbeit, die von einer Wärmekraftmaschine verrichtet wird, die 250 J aufnimmt und 100 J an das kalte Reservoir abgibt.
Lösung: \(W = Q_{\text{heiß}} – Q_{\text{kalt}} = 250 – 100 = 150\ \text{J}\).
21. Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen 450 K und 150 K. Bestimmen Sie den Carnot-Wirkungsgrad.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}} = 1 – \frac{150}{450} \approx 0.667\) oder \(66.7\%\).
22. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad eines Atkinson-Kreisprozesses mit einem Verdichtungsverhältnis von 10.
Lösung: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \approx 0.593\) or \(59.3\%\),
wobei \(r\) das Kompressionsverhältnis und \(\gamma\) das Wärmekapazitätsverhältnis ist.
20. Eine Wärmekraftmaschine absorbiert 180 J und hat einen Wirkungsgrad von 40 %. Berechnen Sie die verrichtete Arbeit.
Lösung: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.4 \cdot 180 = 72\ \text{J}\).
Hinweis: Bei Problemen mit spezifischen Wärmekreisläufen (wie Otto, Diesel usw.) wurden bestimmte Werte wie das Wärmekapazitätsverhältnis γ verwendet, die typisch für bestimmte Gase sind (z. B. γ = 1.4 für Luft). Diese Werte können je nach den im Motor verwendeten Stoffen variieren.
