durch Kraft verrichtete Arbeit
1.1 Definition der Arbeit
Wenn man ein Buch auf einem Tisch so lange schiebt, bis es sich bewegt, verrichtet man Arbeit am Buch. Fällt ein Gegenstand aufgrund der Schwerkraft zu Boden, so verrichtet die Schwerkraft Arbeit am Gegenstand. Schiebt man hingegen mit aller Kraft gegen einen Gegenstand, bis man stark schwitzt, ohne dass er sich bewegt, verrichtet man keine Arbeit. Im Alltag mag man zwar meinen, man habe durch das Schieben eines Gegenstands Arbeit verrichtet, physikalisch gesehen verrichtet man jedoch keine Arbeit, da der Gegenstand nicht verschoben wurde.
Arbeit an einem Objekt kann durch eine konstante Kraft (deren Betrag und Richtung konstant sind) oder eine variable Kraft (deren Betrag und Richtung sich ändert) verrichtet werden. Ein Beispiel für eine Kraft mit konstantem Betrag und konstanter Richtung ist die Gravitationskraft, die auf ein Objekt wirkt, wenn sich dieses in Bodennähe befindet. Befindet sich ein Objekt im freien Fall nahe der Bodenoberfläche, sind Betrag und Richtung seiner Fallbeschleunigung konstant, da Betrag und Richtung der auf das Objekt wirkenden Gravitationskraft konstant sind. Ein Beispiel für eine Kraft mit variablem Betrag (aber konstanter Richtung) ist die Federkraft . Ein weiteres Beispiel ist eine Rakete, die ins Weltall startet oder zur Erdoberfläche zurückkehrt. Beim Start einer Rakete ändert sich der Betrag der auf sie wirkenden Gravitationskraft umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands vom Erdmittelpunkt.
1.1.1 Arbeit, die von den konstanten Kräften verrichtet wird
Mathematisch gesehen ist die Arbeit, die eine konstante Kraft an einem Objekt verrichtet, definiert als das Produkt aus Verschiebung und Kraft bzw. der Kraftkomponente, die in die gleiche Richtung wie die Verschiebung des Objekts wirkt. Betrachten wir ein Objekt auf der Oberfläche einer rauen, ebenen Fläche, das durch eine Schubkraft (F) nach rechts verschoben wird.
Abbildung 1. (Oben) Die Richtung der Verschiebung des Objekts entspricht der Richtung der Kraft F. (Unten) Die Richtung der Verschiebung des Objekts entspricht der Komponente der Kraft F in horizontaler Richtung (F cos).
Die von der Schubkraft (F) verrichtete Arbeit beträgt:
W = (F)(s)(cos θ) = F s (cos 0) = F s (1)
W = F s
Die von der Kraftkomponente F in horizontaler Richtung (F cos θ) verrichtete Arbeit beträgt:
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)
W = F s cos θ
Die von der kinetischen Reibungskraft (f k ) verrichtete Arbeit beträgt:
W = (f k )(s)(cos 180) = (f k )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
Die von der Normalkraft (N) verrichtete Arbeit beträgt:
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
Die vom Gewicht (w) verrichtete Arbeit beträgt:
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
Beschreibung: W = Arbeit, s = Betrag der Verschiebung, θ = Winkel zwischen Kraft und Verschiebung.
Abbildung 2.
(a) Der Gegenstand befindet sich im freien Fall. Die Gewichtskraft wirkt in Richtung der Verschiebung. (b) Der Gegenstand bewegt sich senkrecht nach oben. Die Richtung der Gewichtskraft ist der Richtung der Verschiebung entgegengesetzt.
Im vorherigen Fall ist die vom Gewicht verrichtete Arbeit (w) gleich null, da die Richtung des Gewichts senkrecht zur Richtung der Verschiebung des Objekts verläuft. Es ist zu beachten, dass die vom Gewicht verrichtete Arbeit nicht null ist, wenn die Richtung des Gewichts mit der Richtung der Verschiebung des Objekts übereinstimmt oder ihr entgegengesetzt ist.
Die von der Gewichtskraft (w) an dem in Abbildung a dargestellten frei fallenden Objekt verrichtete Arbeit beträgt:
W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
Die von der Gewichtskraft (w) an dem in Abbildung b dargestellten, sich vertikal nach oben bewegenden Objekt verrichtete Arbeit beträgt:
W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
Beschreibung: w = Gewicht (Newton), h = Höhe (Meter), m = Masse (kg), g = Erdbeschleunigung (Meter pro Quadratsekunde).
Aus der vorherigen Erklärung lassen sich folgende Schlussfolgerungen ziehen: Erstens: Erfährt ein Objekt keine Verschiebung, verrichtet die auf das Objekt wirkende Kraft keine Arbeit. (s = 0, W = 0) Zweitens: Bildet eine Kraft einen bestimmten Winkel zur Verschiebungsrichtung des Objekts, verrichtet nur die Komponente der Kraft, die in die gleiche Richtung wie die Verschiebung wirkt, Arbeit am Objekt. Drittens: Eine Kraft, die senkrecht zur Verschiebungsrichtung eines Objekts wirkt, bildet einen Winkel von 90 ° . (cos 90° = 0) Viertens: Arbeit kann ein positives oder negatives Vorzeichen haben. Wirkt die Kraft in die gleiche Richtung wie die Verschiebung des Objekts und bildet einen Winkel von 0 ° , verrichtet sie positive Arbeit am Objekt. Wirkt die Kraft hingegen entgegengesetzt zur Verschiebungsrichtung und bildet einen Winkel von 180 ° , verrichtet sie negative Arbeit am Objekt.
Abbildung 3. Kraft (F) – Weg (s)-Diagramm. Die Arbeit entspricht der schraffierten Fläche.
Die Arbeit, die von einer konstanten Kraft an einem Objekt verrichtet wird, wenn das Objekt eine Verschiebung erfährt, entspricht der schraffierten Fläche im Kraft (F) – Weg (s)-Diagramm.
Arbeit wird mit W (Großbuchstabe) und Gewicht mit w (Kleinbuchstabe) bezeichnet. Die SI-Einheit der Arbeit ist das Newtonmeter (Nm). Sie entspricht dem Joule, abgekürzt J.
Es wurde so benannt, um dem britischen Arzt des 19. Jahrhunderts , James Prescott Joule, Tribut zu zollen.
Beispielaufgabe 1: Arbeit, die von einer konstanten Kraft verrichtet wird
Ein Objekt ruht auf einer reibungsfreien Bodenoberfläche. Auf das Objekt wirkt eine Kraft von 10 N, die einen Winkel von 30° zur Bodenoberfläche bildet. Wenn sich das Objekt um 1 Meter bewegt, wie groß ist die von der Kraft verrichtete Arbeit?
Lösung:
Gegeben: F = 10 N, s = 1 Meter
Gesucht: Arbeit (W)
W = (F)(s)(cos 30 o ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m
Beispielaufgabe 2: Arbeit einer konstanten Kraft
Eine 0.2 kg schwere Kokosnuss fällt aus einer Höhe von 10 Metern über dem Boden. Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/s² beträgt , wie viel Arbeit verrichtet das Gewicht der Kokosnuss?
Lösung:
Gegeben: m = 0.2 kg, h = 10 m, g = 10 m/ s²
Gesucht: Arbeit (W) nach Gewicht (w)
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s 2 )(10 m) = 20 kg m 2 /s 2 = 20 N m = 20 Joule
1.1.2 Arbeit durch variable Kräfte
Ein Beispiel für eine variable Kraft ist die Federkraft. Die Größe der Federkraft ändert sich ständig. Daher kann die von der Federkraft an einem Objekt verrichtete Arbeit nicht mit der Formel für konstante Kräfte (W = F s cos θ) berechnet werden. Wird eine Feder gedehnt, ist umso mehr Zugkraft erforderlich, je stärker die Feder gedehnt wird. Wird die Feder gestaucht, ist umso mehr Schubkraft erforderlich, je stärker die Feder gestaucht wird. Beim Zusammendrücken oder Dehnen der Feder ändert sich die Federkraft von null (x = 0) auf einen Maximalwert (F = kx). Daher wird die Größe der Federkraft über den Mittelwert berechnet. Die durchschnittliche Größe der Federkraft beträgt:
Die von einer Federkraft an einem Objekt verrichtete Arbeit beträgt:
W = Arbeit, x = Δx = Federauslenkung (Meter), F = Federkraft (Newton).
Beispielaufgabe 3: Arbeit einer variablen Kraft
An einer Feder hängt ein Gewicht mit einer Masse von 1 kg, wodurch sich die Feder um 2 cm ausdehnt. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Bestimmen Sie (a) die Federkonstante und (b) die Arbeit, die die Federkraft am Gewicht verrichtet.
Lösung:
Bekannt: m = 1 kg, g = 10 m/s² , x = Δx = 2 cm = 0.02 m.
(a) die Federkonstante
b) Die Arbeit wurde von der Federkraft am Gewicht verrichtet.
W = -1/2 kx² = -1/2 (500)(0.02) ² = – (250)(0.0004) = -0.1 Joule
Die von der Federkraft am Gewicht verrichtete Arbeit hat einen negativen Wert, da die Richtung der Federkraft der Richtung der Gewichtsverschiebung entgegengesetzt ist (Federkraft wirkt nach oben, Gewicht nach unten).
1.2 Nettoarbeit oder Arbeit durch Nettokraft
Wirkt bei einer Verschiebung eines Objekts nur eine einzige Kraft auf dieses Objekt, so entspricht die von der resultierenden Kraft verrichtete Arbeit der von der einzelnen Kraft verrichteten Arbeit. Befindet sich ein Objekt beispielsweise im freien Fall und wird der Luftwiderstand vernachlässigt, so wirkt nur die Gewichtskraft auf das Objekt. In diesem Fall ist die resultierende Kraft, die auf das Objekt wirkt, die Gewichtskraft (siehe Abbildung 2).
W <sub>net</sub> = W<sub> gravitation </sub>
Wenn an einem Objekt Kräfte wirken, während das Objekt eine Verschiebung erfährt, ist die von der resultierenden Kraft verrichtete Arbeit gleich der Summe aller an dem Objekt wirkenden Kräfte (siehe Abbildung 1).
W net = W 1 + W 2 + W 3 + W 4
Die Arbeit, die von der resultierenden Kraft an einem Objekt verrichtet wird, kann auch berechnet werden, indem man zuerst die resultierende Kraft ermittelt und diese dann mit dem Betrag der Verschiebung multipliziert.
W = ΣF s
Beispielaufgabe 4: Netzwerk
Ein ruhender Kasten auf dem Boden wird mit einer Kraft von 20 N angeschoben, bis er sich 1 Meter weit bewegt. Die Schubkraft wirkt in Richtung der Verschiebung des Kastens. Zusätzlich wirkt eine kinetische Reibungskraft von 2 N auf den Kasten. Bestimmen Sie die von der resultierenden Kraft am Kasten verrichtete Arbeit.
Lösung:
Gegeben: F = 20 N, f k = 2 N, s = 1 m
W 1 = F s = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 Joule
W 2 = f k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 Joule
Nettoarbeit oder Arbeit, die von einer Nettokraft verrichtet wird
W netto = W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
Beispielaufgabe 4) Die Schubkraft (F) verrichtet positive Arbeit, die kinetische Reibungskraft (f<sub> k</sub> ) verrichtet negative Arbeit
