25 Carnot-Maschine (Anwendung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik) – Aufgaben und Lösungen
1. Ein Motor arbeitet zwischen 1200 Kelvin und 300 Kelvin. Wie hoch ist der Wirkungsgrad dieses Motors?
Bekannt:
Hohe Temperatur (T H ) = 1200 K
Niedrige Temperatur (T L ) = 300 K
Gesucht: Effizienz (e)
Lösung:
2. Ein Motor arbeitet zwischen 727 ° C und 127 ° C. Die dem Motor zugeführte Wärmemenge beträgt 6000 Joule. Wie hoch ist der Wirkungsgrad des Motors und welche Arbeit verrichtet er pro Zyklus?
Bekannt:
Hohe Temperatur (T<sub> H</sub> ) = 727 ° C + 273 = 1000 K
Niedrige Temperatur (T L ) = 127 ° C + 273 = 400 K
Wärmezufuhr (Q H ) = 6000 Joule
Gesucht: Wirkungsgrad (e) und vom Motor verrichtete Arbeit (W)
Lösung:
Der Wirkungsgrad der Carnot-Maschine :
Die Arbeit wird von der Carnot-Maschine verrichtet:
W = e Q H
W = (0.6)(6000)
W = 3600 Joule
3. Ein Motor arbeitet zwischen 527 ° C und 127 ° C. Die Wärmezufuhr des Motors beträgt 10,000 Joule. Wie viel Wärme wird von diesem Motor als Abwärme abgegeben?
Bekannt:
Hohe Temperatur (T<sub> H</sub> ) = 527 ° C + 273 = 800 K
Niedrige Temperatur (T L ) = 127 ° C + 273 = 400 K
Wärmezufuhr (Q H ) = 10,000 Joule
Gesucht: Wärmeleistung (Q L )
Lösung:
Wirkungsgrad der Carnot-Maschine:
Die Arbeit wird von der Carnot-Maschine erledigt:
W = e Q 1
W = (0.5)(10.000)
W = 5000 Joule
Wärmeabgabe (Q L ) = Wärmezufuhr (Q H ) – Arbeit (W)
Q L = Q H – W
Q L = 10,000 – 5,000
Q L = 5000 Joule
4. Wie hoch ist der Wirkungsgrad des Motors und welche Arbeit leistet der Motor gemäß dem untenstehenden Diagramm?
Bekannt:
Hohe Temperatur (T H ) = 800 K
Niedrige Temperatur (T L ) = 300 K
Wärmezufuhr (Q H ) = 1000 Joule
Gesucht: Wirkungsgrad (e) und vom Motor verrichtete Arbeit (W).
Lösung:
Der Wirkungsgrad der Carnot-Maschine:
Die Arbeit wird von der Carnot-Maschine verrichtet:
W = e Q H
W = (0.625)(1000)
W = 625 Joule
5. Wenn eine Carnot-Maschine im Temperaturbereich von \( 500\,K \) bis \( 300\,K \) arbeitet, berechnen Sie ihren Wirkungsgrad.
Lösung: \( \eta = 1 – \frac{T_C}{T_H} = 1 – \frac{300}{500} = 0.4 = 40\% \)
6. Ermitteln Sie den Wirkungsgrad eines Carnot-Kühlschranks, der zwischen \( 300\,K \) und \( 250\,K \) arbeitet.
Lösung: \( \eta = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{250}{50} = 5 = 500\% \)
7. Der Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine beträgt 30 %. Wenn T_C = 300 K ist, bestimme T_H.
Lösung: \( T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{300}{0.7} \approx 428.57\,K \)
8. Wenn eine Carnot-Wärmepumpe zwischen \( 270\,K \) und \( 330\,K \) arbeitet, finden Sie den Leistungsbeiwert (COP).
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{330}{60} = 5.5 \)
9. Bestimmen Sie \( T_C \) für eine Carnot-Maschine mit \( 50\% \) Wirkungsgrad und \( T_H = 400\,K \).
Lösung: \( T_C = T_H \times (1 – \eta) = 400 \times 0.5 = 200\,K \)
10. Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen \( 373\,K \) und \( 273\,K \) arbeitet.
Lösung: \( \eta = 1 – \frac{273}{373} \approx 0.268 = 26.8\% \)
11. Ermitteln Sie den COP eines Carnot-Kühlschranks mit \( T_C = 260\,K \) und \( T_H = 300\,K \).
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{260}{40} = 6.5 \)
12. Eine Carnot-Maschine hat einen Wirkungsgrad von 25 % und eine Temperatur T<sub>C</sub> von 200 K. Bestimmen Sie T<sub>H</sub>.
Lösung: \( T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{200}{0.75} \approx 266.67\,K \)
13. Wenn eine Carnot-Wärmepumpe zwischen \( 220\,K \) und \( 320\,K \) arbeitet, bestimmen Sie den COP.
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{320}{100} = 3.2 \)
14. Bestimmen Sie \( T_C \) für eine Carnot-Maschine mit \( 60\% \) Wirkungsgrad und \( T_H = 500\,K \).
Lösung: \( T_C = T_H \times (1 – \eta) = 500 \times 0.4 = 200\,K \)
15. Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen \( 600\,K \) und \( 400\,K \) arbeitet.
Lösung: \( \eta = 1 – \frac{400}{600} \approx 0.333 = 33.3\% \)
16. Ermitteln Sie den COP eines Carnot-Kühlschranks mit \( T_C = 280\,K \) und \( T_H = 330\,K \).
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{280}{50} = 5.6 \)
17. Eine Carnot-Maschine hat einen Wirkungsgrad von 40 % und eine Temperatur T<sub>C</sub> von 250 K. Bestimmen Sie T<sub>H</sub>.
Lösung: \( T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{250}{0.6} \approx 416.67\,K \)
18. Wenn eine Carnot-Wärmepumpe zwischen \( 270\,K \) und \( 370\,K \) arbeitet, bestimmen Sie den COP.
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{370}{100} = 3.7 \)
15. Bestimmen Sie \( T_C \) für eine Carnot-Maschine mit \( 75\% \) Wirkungsgrad und \( T_H = 800\,K \).
Lösung: \( T_C = T_H \times (1 – \eta) = 800 \times 0.25 = 200\,K \)
16. Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen \( 700\,K \) und \( 300\,K \) arbeitet.
Lösung: \( \eta = 1 – \frac{300}{700} \approx 0.571 = 57.1\% \)
17. Ermitteln Sie den COP eines Carnot-Kühlschranks mit \( T_C = 250\,K \) und \( T_H = 350\,K \).
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{250}{100} = 2.5 \)
18. Eine Carnot-Maschine hat einen Wirkungsgrad von 10 % und eine Temperatur T<sub>C</sub> von 150 K. Bestimmen Sie T<sub>H</sub>.
Lösung: \( T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{150}{0.9} \approx 166.67\,K \)
19. Wenn eine Carnot-Wärmepumpe zwischen \( 200\,K \) und \( 400\,K \) arbeitet, bestimmen Sie den COP.
Lösung: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{400}{200} = 2 \)
20. Bestimmen Sie \( T_C \) für eine Carnot-Maschine mit \( 80\% \) Wirkungsgrad und \( T_H = 1000\,K \).
Lösung: \( T_C = T_H \times (1 – \eta) = 1000 \times 0.2 = 200\,K \)
