Contoh Soal Pembahasan Vektor Kolom dan Vektor Baris
Dalam matematika, terutama aljabar linear, vektor adalah salah satu konsep dasar yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi, mulai dari pemodelan fisika hingga komputasi. Vektor kolom dan vektor baris adalah dua bentuk representasi dari vektor yang masing-masing memiliki karakteristik dan kegunaannya sendiri. Artikel ini akan membahas contoh soal beserta penyelesaiannya yang melibatkan vektor kolom dan vektor baris.
Definisi Vektor Kolom dan Vektor Baris
Sebelum kita masuk ke contoh soal dan pembahasannya, mari kita ulas terlebih dahulu definisi dasar dari vektor kolom dan vektor baris.
– Vektor Kolom adalah vektor yang disusun dalam bentuk kolom, yaitu satu dimensi vertikal. Contoh:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Vektor Baris adalah vektor yang disusun dalam bentuk baris, yaitu satu dimensi horisontal. Contoh:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Contoh Soal 1: Penjumlahan Vektor Kolom
Soal:
Diberikan dua vektor kolom berikut:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Hitunglah penjumlahan dari kedua vektor kolom tersebut.
Penyelesaian:
Penjumlahan dua vektor kolom dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil penjumlahan dari \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\) adalah \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Contoh Soal 2: Penjumlahan Vektor Baris
Soal:
Diberikan dua vektor baris berikut:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Hitunglah penjumlahan dari kedua vektor baris tersebut.
Penyelesaian:
Penjumlahan dua vektor baris dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil penjumlahan dari \(\mathbf{a}\) dan \(\mathbf{b}\) adalah \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Contoh Soal 3: Perkalian Skalar dengan Vektor Kolom
Soal:
Diberikan vektor kolom \(\mathbf{c}\) dan skalar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Hitunglah hasil perkalian skalar tersebut.
Penyelesaian:
Perkalian skalar dengan vektor kolom dilakukan dengan mengalikan setiap elemen vektor dengan skalar.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \times -3 \\
2 \times 4 \\
2 \times 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil perkalian skalar \(2\) dengan vektor kolom \(\mathbf{c}\) adalah \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Contoh Soal 4: Perkalian Skalar dengan Vektor Baris
Soal:
Diberikan vektor baris \(\mathbf{d}\) dan skalar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Hitunglah hasil perkalian skalar tersebut.
Penyelesaian:
Perkalian skalar dengan vektor baris dilakukan dengan mengalikan setiap elemen vektor dengan skalar.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil perkalian skalar \(-3\) dengan vektor baris \(\mathbf{d}\) adalah \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Contoh Soal 5: Perkalian Matrik \(1 \times 3\) dengan \(3 \times 1\) (Vektor Baris dengan Vektor Kolom)
Soal:
Diberikan sebuah vektor baris \(\mathbf{e}\) dan sebuah vektor kolom \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Hitunglah hasil perkalian kedua vektor tersebut.
Penyelesaian:
Untuk melakukan perkalian matriks, vektor baris \(\mathbf{e}\) diperlakukan sebagai matriks \(1 \times 3\), dan vektor kolom \(\mathbf{f}\) diperlakukan sebagai matriks \(3 \times 1\). Hasil perkalian ini adalah skalar yaitu jumlah hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \times 5) + (-1 \times 3) + (4 \times -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Jadi, hasil dari perkalian vektor baris \(\mathbf{e}\) dengan vektor kolom \(\mathbf{f}\) adalah \(-1\).
Contoh Soal 6: Perkalian Matrik \(3 \times 1\) dengan \(1 \times 3\) (Vektor Kolom dengan Vektor Baris)
Soal:
Diberikan sebuah vektor kolom \(\mathbf{g}\) dan sebuah vektor baris \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Hitunglah hasil perkalian kedua vektor tersebut.
Penyelesaian:
Perkalian matriks dari vektor kolom dengan vektor baris menghasilkan matriks (\(3 \times 1\)) dikali (\(1 \times 3\)) yang menghasilkan matriks \(3 \times 3\). Setiap elemen baru adalah hasil kali dari elemen-elemen yang bersesuaian:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \times 4 & 1 \times 5 & 1 \times 6 \\
2 \times 4 & 2 \times 5 & 2 \times 6 \\
3 \times 4 & 3 \times 5 & 3 \times 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil dari perkalian vektor kolom \(\mathbf{g}\) dengan vektor baris \(\mathbf{h}\) adalah matriks:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Kesimpulan
Melalui artikel ini, kita telah melihat beberapa contoh kasus yang melibatkan vektor kolom dan vektor baris. Penjumlahan vektor kolom maupun vektor baris dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian. Perkalian skalar dengan vektor juga dilakukan dengan mengalikan setiap elemen vektor dengan skalar tersebut. Akhirnya, kita juga memahami cara melakukan perkalian antara vektor baris dan vektor kolom yang memberikan hasil berupa skalar atau matriks tergantung pada urutannya. Menguasai operasi dasar ini sangat penting dalam aplikasi yang lebih kompleks di bidang aljabar linear dan analisis data.
