Contoh Soal dan Pembahasan Vektor Berdimensi Tiga pada Sistem Koordinat Kartesius
Vektor berdimensi tiga adalah salah satu konsep penting dalam matematika dan fisika yang sering digunakan untuk merepresentasikan objek-objek atau fenomena dalam ruang tiga dimensi. Dalam sistem koordinat Kartesius, vektor ini direpresentasikan oleh tiga komponen yang biasanya dinotasikan sebagai \( (x, y, z) \). Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan penyelesaian terkait vektor berdimensi tiga dalam sistem koordinat Kartesius.
Pengertian Vektor Berdimensi Tiga
Sebuah vektor dalam ruang tiga dimensi dapat dinyatakan sebagai \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), dimana:
– \(A_x\) adalah komponen vektor di sepanjang sumbu x.
– \(A_y\) adalah komponen vektor di sepanjang sumbu y.
– \(A_z\) adalah komponen vektor di sepanjang sumbu z.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Operasi Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) dan \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\). Hitunglah penjumlahan dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan:
Penjumlahan dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian. Jadi, kita memiliki:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Substitusi nilai-nilai vektor yang diberikan:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Jadi, hasil penjumlahan vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\).
Soal 2: Operasi Pengurangan Vektor
Diberikan dua vektor, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) dan \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Hitunglah pengurangan dari kedua vektor tersebut, yaitu \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
Pembahasan:
Pengurangan dua vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) dilakukan dengan mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian. Jadi, kita memiliki:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
Substitusi nilai-nilai vektor yang diberikan:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Jadi, hasil pengurangan vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\).
Soal 3: Operasi Perkalian Skalar
Diberikan sebuah vektor \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) dan sebuah skalar \(k = 4\). Hitunglah hasil perkalian skalar vektor tersebut.
Pembahasan:
Perkalian skalar \(k\) dengan vektor \(\mathbf{A}\) dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut. Jadi, kita memiliki:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Substitusi nilai-nilai yang diberikan:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Jadi, hasil perkalian skalar \(k\) dengan vektor \(\mathbf{A}\) adalah \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\).
Soal 4: Panjang Vektor
Hitunglah panjang (magnitude) dari vektor \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
Pembahasan:
Panjang atau magnitude dari sebuah vektor \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Substitusi nilai-nilai yang diberikan:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Jadi, panjang dari vektor \(\mathbf{A}\) adalah 3.
Soal 5: Perkalian Titik (Dot Product)
Diberikan dua vektor, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) dan \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\). Hitunglah hasil perkalian titik (dot product) dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan:
Perkalian titik dua vektor \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) dan \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) dilakukan dengan mengalikan komponen-komponen yang bersesuaian dan kemudian menjumlahkannya. Jadi, kita memiliki:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Substitusi nilai-nilai yang diberikan:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Jadi, hasil perkalian titik dari vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah -2.
Soal 6: Perkalian Silang (Cross Product)
Diberikan dua vektor, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) dan \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\). Hitunglah hasil perkalian silang (cross product) dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan:
Perkalian silang dua vektor \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) dan \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) dilakukan dengan menggunakan rumus berikut:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
Substitusi nilai-nilai yang diberikan:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
Jadi, hasil perkalian silang dari vektor \(\mathbf{A}\) dan \(\mathbf{B}\) adalah \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\).
Kesimpulan
Vektor berdimensi tiga dalam sistem koordinat Kartesius merupakan alat yang sangat penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik. Melalui contoh-contoh soal dan pembahasan di atas, kita telah melihat bagaimana melakukan berbagai operasi dasar pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, serta perkalian titik dan silang. Pemahaman yang kuat tentang konsep-konsep ini akan sangat berguna tidak hanya dalam matematika tetapi juga dalam aplikasi praktis di bidang fisika, teknik, dan ilmu komputer.
