Contoh Soal Pembahasan Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok
Pendahuluan
Dalam statistik, varian dan simpangan baku adalah dua ukuran statistik yang sangat penting untuk memahami dispersi atau sebaran data dari nilai rata-rata. Varian mengukur seberapa jauh data tersebar dari rata-rata, sedangkan simpangan baku adalah akar kuadrat dari varian, memberikan ukuran yang berada dalam satuan yang sama dengan data awal.
Definisi
– Varian (σ² atau S²): Merupakan rata-rata kuadrat dari selisih antara setiap nilai data dengan rata-rata data tersebut.
– Simpangan Baku (σ atau S): Merupakan akar kuadrat dari varian.
Rumus Varian dan Simpangan Baku Data Kelompok
Untuk data kelompok, kita menggunakan frekuensi data pada setiap kelas. Berikut adalah rumusnya:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Simpangan Baku
\[ S = \sqrt{S^2} \]
di mana:
– \( f_i \) = frekuensi masing-masing kelas.
– \( x_i \) = titik tengah (midpoint) dari setiap kelas.
– \( \bar{x} \) = rata-rata dari data kelompok.
– \( N \) = jumlah total data.
Contoh Soal dan Pembahasan
Asumsikan kita memiliki data berat badan sekelompok orang yang dikelompokkan dalam kelas-kelas.
| Interval Berat (kg) | Frekuensi (f) |
|———————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Langkah pertama adalah menentukan titik tengah dari setiap kelas ( \( x_i \) ) dan kemudian menghitung rata-rata (\( \bar{x} \)).
1. Menghitung Titik Tengah ( \( x_i \) )
\[ \text{Titik Tengah} = \frac{\text{Batas Bawah} + \text{Batas Atas}}{2} \]
| Interval Berat (kg) | Frekuensi (f) | Titik Tengah ( \( x_i \) ) |
|———————|————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Menghitung Rata-rata ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Jumlah total data \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Jadi, rata-rata (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Menghitung Varian ( \( S^2 \) )
Kita perlu menghitung \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align }
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]
Mengalikan dengan frekuensi:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{align }
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Sekarang kita bisa menghitung varian (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \approx 32.85 \]
4. Menghitung Simpangan Baku ( \( S \) )
Simpangan baku ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
Kesimpulan
Dari contoh data di atas, kita telah:
– Menghitung rata-rata berat badan: 62.8 kg
– Menghitung varian: 32.85 kg²
– Menghitung simpangan baku: 5.73 kg
Interpretasi dari simpangan baku adalah rata-rata deviasi data berat dari rata-ratanya adalah sekitar 5.73 kg. Ini menunjukkan penyebaran data relatif terhadap nilai rata-rata, yang bisa membantu menyimpulkan seberapa bervariasi data yang kita punya.
Pemahaman yang mendalam tentang varian dan simpangan baku ini sangat penting terutama bagi mereka yang bekerja di bidang statistik, penelitian, dan dicek dalam usaha untuk memahami data dalam bentuk kelompok atau distribusi. Mengetahui cara menghitung dan menginterpretasi kedua ukuran ini dapat membantu dalam pengambilan keputusan yang lebih baik berdasarkan data yang ada.
